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2025-2026学年湖北省十堰市八校教联体学校高二上学期9月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知随机事件和互斥，和对立，且，则( )
A. B. C. D.
3.样本数据的下四分位数为( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，是异面直线，，；，，则
6.下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续次考试成绩均不低于分”现有甲、乙、丙三位同学连续次数学考试成绩的记录数据记录数据都是正整数：
甲同学：个数据的中位数为，众数为；
乙同学：个数据的中位数为，总体均值为；
丙同学：个数据的中位数为，总体均值为，总体方差为；
则可以判定数学成绩优秀同学为( )
A. 甲、丙 B. 乙、丙 C. 甲、乙 D. 甲、乙、丙
7.直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为( )
A. B. C. D.
8.某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛决赛规则如下，累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束若经抽签，已知第一场甲，乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都为，则( )
A. 甲获得冠军的概率最大 B. 甲与乙获得冠军的概率都比丙大
C. 丙获得冠军的概率最大 D. 甲、乙、丙每人获得冠军的概率都一样大
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 一组样本数据的方差，则这组样本数据总和为
B. 数据，，，，，，，，，的第百分位数是
C. 若一个样本容量为的样本的平均数是，方差为现样本中又加入一个新数据，此时样本的平均数不变，方差变大
D. 若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
10.已知是随机事件，且，则下列说法正确的有( )
A. 与可能为互斥事件
B. 若，则与相互独立
C. 若，则
D. 若与相互独立，则
11.在信道内传输，信号，信号的传输相互独立，发送时，收到的概率为收到的概率为；发送时，收到的概率为收到的概率为共有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发一次；三次传输是指每个信号重复发送次．收到信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码例如，若依次收到，，，则译码为则( )
A. 采用单次传输方案，若依次发送，，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为
B. 采用三次传输方案，若发送，则收到的译码为的概率为
C. 采用单次传输方案，若随机发送一个信号发送和发送的概率都是，则收到的译码为的概率为
D. 当时，若发送，采用三次传输方案译码为的概率大于采用单次传输方案译码为的概率
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在三角形中，，，，则 ．
13.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为 ．
14.在棱长为的正方体中，点是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为 ；点是正方体表面上的一动点，且满足，则动点的轨迹长度是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在一个文艺比赛中，名观众代表和名专业人士组成一个评委小组，给参赛选手打分．已知这名观众代表对选手的打分分别为，，，，，，这名专业人士对选手的打分的平均分为，方差为．
求这名观众代表对选手的打分的平均分和方差；
求这名观众代表和名专业人士对选手的打分的平均分和方差．
16.本小题分
某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六组：，，，整理得到如图所示的频率分布直方图．

求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛的平均成绩；
按照成绩从高到低选出样本中前的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分？
在的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取名学生担任宣传队骨干，再从这人中随机选取人担任正副队长，求正副队长中至少有名学生成绩在的概率．
17.本小题分
甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；
求甲、乙两人共答对道题目的概率．
若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，是边长为的正三角形，，是中点，过点的平面与交于点．
求证：；
求证：；
求二面角的正切值．
19.本小题分
乒乓球被称为中国的“国球”，在年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌分制乒乓球比赛，每赢一球得分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得分的一方获胜比如：比分为，得分者胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立在某局双方：平后，甲先发球．
若两人又打了个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值；
若满足中条件取值，记事件“两人又打了个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”．
求； 直接写出．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：这名观众代表对选手的打分的平均分，
这名观众代表对选手的打分的方差为：
．
这名观众代表和名专业人士对选手的打分的平均分，
这名观众代表和名专业人士对选手的打分的方差为：
．

16.
解：因为频率分别直方图每组小矩形的面积之和为，
可得，解得，
竞赛的平均成绩：
解：由频率分别直方图的数据，可得：
成绩在内的频率为：，
成绩在内的频率为：，
所以成绩从高到低选出样本中前的学生，最低分即为分位数，设为，
可得分，即估计进入宣传队的学生成绩至少需要分
由题意得，样本中宣传队学生的人数为，
其中成绩在的学生人数为，
成绩在的学生人数为，
从样本中按分层抽样的的方法抽取人，则成绩在的学生有人，记为，
在的学生有人，记为，
从中选人担任正副队长的样本空间为：
，，
记事件“正副队长中至少有名学生成绩在”，则：
，
由古典摡型的概率计算公式，可得．

17.解：设“甲答对道题目”， “甲答对道题目”，
“乙答对道题目”， “乙答对道题目”，
根据独立事件的性质，可得，
，
，
，
，
设为“甲、乙两人共答对道题目”，
则，
因为与互斥，与，与分别相互独立，
，
所以甲、乙两人共答对道题目的概率；
“甲通过面试”，“乙通过面试”，与相互独立，
，
“甲、乙两人只有一人通过面试”，
则，
因为与互斥，
与，与分别相互独立，
所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 ．

18.解：
证明：因为底面是菱形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面平面，平面，所以；
由知，，所以，因为是中点，所以是中点，因为是正三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以；
解：
过作于，连接，由知平面，又因为平面，平面，所以，，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，所以就是二面角的平面角，在正三角形中，，，在中，，，所以，在中，，在中，，所以二面角的正切值为．
19.解：记表示打第个球是甲胜，
两人又打了个球比赛结束且甲获胜即，，各球的结果相互独立，
，，，；
，为奇数，为偶数，
，
，，，互斥，各球的结果相互独立．
，
，
，
，
；
．．，．
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