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2025-2026学年宁夏回族自治区银川一中高二上学期月考一
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过，两点的直线倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.“关于，的方程：表示圆”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充要条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若两平行直线与之间的距离是，则( )
A. B. C. D.
4.已知点，直线：，则到的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
5.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
7.若对圆上任意一点的取值与，无关，则实数的可能取值是( )
A. B. C. D.
8.已知定点，圆与轴相切，直线是圆的一条对称轴．若圆上存在两点使得，则圆圆心的横坐标的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，：，则( )
A. 若，则的一个方向向量为 B. 若 ，则或
C. 若，则 D. 恒过定点
10.已知直线：，圆：，则下列说法错误的是( )
A. 若或，则直线与圆相切
B. 若，则圆关于直线对称
C. 若圆：与圆相交，且两个交点所在直线恰为，则
D. 若，圆上有且仅有两个点到的距离为，则
11.已知，点满足，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 过点作曲线的切线，切线长为
B. 当三点不共线时，
C. 在上存在点，使得
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知中心在坐标原点的椭圆，其两个顶点分别为直线与轴和轴的交点，则该椭圆的离心率为 ．
13.过点作圆的切线，切点为、，则过切点，的直线方程为 ．
14.已知为圆上的动点，为圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点是，，．
求边上的高所在直线的方程
若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程．
16.本小题分
已知直线的方程为．
求证：不论为何值，直线必过定点；
过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长．
17.本小题分
已知圆上一定点，为圆内一点，，为圆上的动点．
求线段的中点的轨迹方程
若，求线段的中点的轨迹方程．
18.本小题分
已知圆过，，且圆心在轴上．
求圆的周长；
若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
过点且不与轴重合的直线与圆相交于，，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，，记的面积为，的面积为，求的最大值．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为分别为左右焦点，短轴一个端点到右焦点的距离为．
求椭圆的方程；
斜率为的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程；
设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．
参考答案
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15.解：因为，所以边上的高所在直线的斜率为，
所以边上高所在直线为，即．
因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或过的中点，
当直线与平行，
所以，所以，即．
当直线过的中点，
所以，所以，即．
综上：直线的方程为或．
16.【详解】由可得，，
令所以直线过定点．
由知，直线恒过定点，
由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为，
令，得；令，得．
所以的面积，
当且仅当，即时等号成立，此时面积最小，
，，
的周长为．
所以当面积最小时，的周长为．

17.解：设线段的中点为，由中点坐标公式可知，点的坐标为，
因为点在圆上，所以 ，故线段的中点的轨迹方程为
设线段的中点为，则在中，，
设为坐标原点，连接，则，所以，
所以，
故线段的中点的轨迹方程为．

18.【详解】由圆心在轴上，设圆的方程为，
又圆过，得
解得，，所以圆的方程为，
其周长为；
因为直线与圆截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离为，

若直线的斜率不存在时，直线与圆交点为，
直线与圆截得的弦长为，故直线符合题意；
若直线斜率存在时，设，整理得，
所以圆心到直线的距离为，解得，
则直线，即直线，
综上所述，直线的方程为或；
因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合，
，，设直线的斜率为，则直线的方程为，

由，得，
解得或
则点的坐标为，
又直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，
解得或
则点的坐标为，
由题可知：，，
故，
又因为，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为．

19.【详解】设椭圆的半焦距为，依题意，而，
解得，所以椭圆的方程为．
设直线，直线与椭圆的交点为，
联立方程，消去得，
则，解得，
可得，
则
，解得，
所以直线方程为．
设，当轴时，直线，
由，得，则；
当与轴不垂直时，设直线的方程为，即，
依题意，，则，
联立，得，
则，
，
当时，
，
当且仅当，即时等号成立；
当时，直线，由
得，则；
综上所述，，
则的面积，
所以面积的最大值．

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