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2024-2025学年江西省宜春市第一中学高一上学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合或，，则集合( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第百分位数，第百分位数都分别对应相等，则( )
A. B. C. D.
4.若函数是幂函数，则函数其中且的图象过定点( )
A. B. C. D.
5.一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则前后共需经过的时间为( )
A. B. C. D.
6.已知定义域为的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则下列不等式一定正确的是( )
A. B.
C. D.
8.一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲乙之间进行，老师在黑板上写出，共个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙甲两人轮流擦去其中一个数即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数，如此下去，若最后剩下的两个数互为质数如和，则判甲胜；否则如和，判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 命题，的否定为，
B. 若都是第一象限角，且，则
C. 函数的定义域是，则函数的定义域为
D. 函数的最小值为
10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字表示第一次抛掷骰子的点数，数字表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记事件，事件，事件，注：余数运算表示整数除以整数所得余数为则( )
A. B. 与为对立事件 C. 与相互独立 D. 与相互独立
11.已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则( )
A. 是以为周期的周期函数
B. 点是函数的一个对称中心
C.
D. 函数有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到个类样本，个类样本若类样本的平均数为，总体的平均数为，则类样本的平均数为 ．
13.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为，则该勒洛三角形的面积与周长之比为 ．
14.设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简：；
已知角终边上一点，求的值．
16.本小题分
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：，用表示不超过的最大整数，例如：．
已知，正数满足，求的最小值；
设方程的解集为，集合，若，求的取值范围．
17.本小题分
十三届全国人大四次会议表决通过了关于“十四五”规划和年远景目标纲要的决议，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该款芯片的性能以某项指标值为衡量标准，性能指标的等级划分如表：
性能指标值
等级
为了解该款芯片的生产效益，该企业从试生产的产品中随机抽样并测量了每件产品的指标值，以组距为画频率分布直方图设“”，
当时为正整数，满足：
试确定的所有取值，并求；
从样本性能指标值不小于的产品中采用分层随机抽样的方法抽取件产品，然后从这件产品中一次性随机抽取件产品，并求出件都是等级的概率．
18.本小题分
已知函数是定义域为的奇函数．
求实数的值；
若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
若，且函数在上最小值为，求实数的值．
19.本小题分
已知函数的定义域为，对于给定的正整数，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为，最大值为，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“倍值区间”．
判断函数是否是“倍缩函数”？只需直接写出结果
证明：函数存在“倍值区间”；
设函数，，若函数存在“倍值区间”，求的值．
参考答案
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15.解：
；
由题可知，
则．

16.解：由题意，正数满足，则，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值．
，则，，即，
令
法一：当时，；当时，，
由，则，解得，即的范围是．
方法二：当时，，此时成立；
当时，，此时，
又，则，解得；
当时，，此时，
又，则，解得，
综上，，即；

17.解：根据题意，，按组距为可分成个区间，
分别是，，，
因为，且，，
所以的取值集合为．
每个小区间对应的频率值为．
所以，解得．
依题意等级产品的频率为，
等级产品的频率为，
所以等级产品和等级产品的频率之比为，
所以从样本性能指标值不小于的产品中采用分层随机抽样的方法抽取件产品，
等级产品的件数为，分别记为，，，，
等级产品的件数为，记为．
从这件产品中任意抽取件产品，所有的可能情况有，，，
，，，，，，，共种．
事件“抽取的件产品都是等级”包含的可能情况有，
，，，，，共种，
故所求概率为．

18.解：因为是定义域为的奇函数，所以，
所以，所以，经检验，当时，为上的奇函数．
由知：，
因为，所以，又且，所以，
则函数与均为上的单调递减函数，
所以是上的单调递减函数，
又是定义域为的奇函数，
所以，
，，
令，又在区间上单调递减，
所以的最大值为，
所以．
由知：，
因为，所以，解得或舍去，
所以，
令，则，
因为在上为增函数，且，所以，
因为在上最小值为，
所以在上的最小值为，
因为的对称轴为，
所以当时，，解得或舍去，
当时，，解得舍去，
综上可知：．

19.解：取，
在上单调递增，
在上的最小值为，最大值为，且，
故函数是“倍缩函数”．
取，
函数在上单调递增，
若函数存在“倍值区间”，等价于存在，使得成立，
等价于至少有两个不相等的实根，
等价于至少有两个零点，
，且在定义内连续不断，
在区间内均存在零点，
故函数存在“倍值区间”．
对，且，则，
，则，
，即，
故函数在上单调递增，
若函数存在“倍值区间”，即存在，使得成立，
即在内至少有两个不相等的实根，
是方程的根，则在内有实根，
若，则，即，且，
，即．

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