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2024-2025学年江西省景德镇一中高一上学期期末测试数学试卷(C)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，若，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
2.已知角，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，设，则( )
A. B. C. D.
5.若向量的夹角为，，若，则实数( )
A. B. C. D.
6.在中，已知，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形
7.已知函数的图象的一条对称轴是，则函数的最大值是( )
A. B. C. D.
8.如图，在四边形中，，点在边上，且，点为边含端点上一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列关于函数的说法正确的是( )
A. 函数在上单调递增
B. 函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到
C.
D. 若函数在上至少有个零点，则的最小值为
10.下列命题中，正确的是( )
A. 在中，若，则为钝角三角形
B. 已知函数，则的最小正周期是
C. 在中，若，则是等腰直角三角形
D. 已知，，则的最小值为
11.已知外接圆的圆心为点，半径为，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则在上的投影向量为
C. 若，当取最小值时，
D. 若为锐角三角形，，则的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.已知向量，，若在上的投影向量，则向量与的夹角为 ．
13.在中，的平分线为与交于点，，则 ．
14.已知函数其中为的最小正周期，且满足若函数在区间上恰有一个最大值一个最小值，的取值范围是 ．
15.如图，边长为的正方形中，半径为的动圆的圆心在边和上移动包含端点，是圆上及其内部的动点，设，，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知向量，，设函数．
求函数的最大值，及取得最大值时取值的集合；
设，，为锐角三角形的三个内角，若，，求的值．
17.本小题分
如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点．
试用表示和；
若，求．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
若，的面积为，求，的值；
若，且角为钝角，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图是函数图象的一部分
求函数的解析式；
若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
20.本小题分
锐角面积为，角的对边分别为，且．
求证：；
求的取值范围．
21.本小题分
已知函数，，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”．
试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由；
设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；
已知函数为为常数上的“完美三角形函数”函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.．
15.
16.解：由题意可得：
，
可知当，即时，函数取到最大值，
所以函数的最大值为，此时取值的集合为．
因为，即，
且，则，可知，即，
又因为，，则，
所以．

17.解：因为，所以，
设，所以，
又三点共线，所以，解得，
所以．
因为，
设，
又三点共线，所以，解得，所以，
所以，
又，即，
即，解得或舍去．

18.解：中，，
，
，
；
，
；
又的面积为：
，
；
由组成方程组，解得，或，；
当，，
；
又为钝角，则，
即，解得；
所以的取值范围是．

19.解：由图可得，
函数的最小正周期为，则，
所以，因为，
则，因为，所以，解得，
所以．
由，
可得，
即，
即，
即，其中，
因为，则，令，
则有，则关于的方程在上有解，
由可得，
令，则，
因为，在上均为减函数，
所以函数在上为减函数，且当趋向于时，趋向于正无穷大，
则，所以，解得，故实数的取值范围是．

20.解：由可得，
，故，
，，
由于，
由于为锐角三角形，因此，故．
，
由于，所以，故，
．

21.解：是上的“完美三角形函数”．
因为，所以．
所以．
因为“”是“为上的“完美三角形函数”的充要条件，
所以函数是上的“完美三角形函数”．
因为，
所以
．
且．
因为，所以．
所以的最大值为，最小值为．
当时，
由，得．
当时，，满足题意．
当时，
由，得．
综上，实数的取值范围是．
因为，则，所以，
由，得，则，又因为，故．
假设存在满足题意的三个点，则，
且，
所以，
所以．
即．
因为，所以．
所以．
因为，所以．
所以，与矛盾．
故不存在点满足题意．

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