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2024-2025学年江西省九江第一中学高一上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
3.若函数的定义域是，则函数的定义域是( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.设，为两个随机事件，以下命题正确的为( )
A. 若，是对立事件，则
B. 若，是互斥事件，，则
C. 若，且，则，是独立事件
D. 若，是独立事件，，则
6.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知，且，则“”是“函数在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是( )
A. 数据的平均数为
B. 数据的方差为
C.
D.
10.已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则( )
A. 直线是的对称轴
B. 是的对称中心
C.
D. 不等式的解集为
11.已知函数若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的最小值为
C.
D. 方程最多有个不同的实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.当且时，函数的图象一定经过定点
13.已知函数，且关于的不等式的解集为当时，恒成立，则实数的取值范围是 ．
14.定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于的不等式的解集为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
若；求实数的取值范围；
命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值集合．
16.本小题分
某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分．现从中随机选出名学生的成绩满分为分，按分数分为，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图．

求的值，并求这名学生成绩的平均数和中位数保留一位小数；
现采用分层抽样的方式从和的学生中抽取名学生参加运动交流会，大会上需要从这名学生中随机抽取名学生进行经验交流发言，求抽取的名发言者分数差大于分的概率．
17.本小题分
在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决赛．现有甲、乙、丙三名学生去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，已知甲和丙都答对第一题的概率为，且他们三人是否答对各道题之间是互不影响的．
求甲进入决赛的概率；
求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率．
18.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求的值；
判断函数的单调性并证明；
若关于的不等式在有解，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，．
若，对，使得成立，求实数的取值范围；
若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：，当时，，解得：．
当时，或，或．
是的充分条件，，
，解得：或．
所以实数的取值集合为或

16.解：，解得，
平均数为，
中位数为分；
在中抽取人，记为；
在中抽取人，记为所有的取法为：共种．
，满足条件的有共种．
所求概率为．

17.解：由题知：甲和丙都答对第一题的概率为，则；
记“甲进入决赛”为事件，由题知：；
记“乙进入决赛”为事件，记“丙进入决赛”为事件，
由题知：；；
则甲、乙、丙三位学生中恰有两人进入决赛的概率为
．

18.解：由为定义在上奇函数，可知，解得则，
，故．
由单调递增可知在上为减函数，证明如下：
对于任意实数，，不妨设，
递增，且，，，，
故在上为减函数．
由为奇函数得：，等价于．
又由在上为减函数得：，即；
因为，所以原问题转化为在上有解，
，当且仅当，即时，等号成立，
当时，取得最大值．，解得，
的取值范围是．

19.解：，即，
若，使得成立，只需要成立．
因为，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，，则，
因为，令，分离参数可得，
令，其中，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故，．
所以实数的取值范围为．
由可得，
由题意知，方程有且只有一个实根，
即方程有且只有一个实根，
令，则方程有且只有一个正根，
即方程有且只有一个正根，构造函数．
当时，，令，解得，不合乎题意；
当时，则，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
，
由于，要使得方程有且只有一个正根，
则，解得；
当时，则，
设方程的两根分别为，，
由韦达定理可得，，则方程有且只有一个正根．
综上所述，实数的取值范围是．

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