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2024-2025学年江西省景德镇一中高一上学期期末考试数学试卷(A)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某工厂为了对个零件进行抽样调查，将其编号为，，，，现要从中选出个，利用下面的随机数表，从第一行第列开始，由左至右依次读取，选出来的第个零件编号是( )


A. B. C. D.
2.在某次测量中得到的样本数据如下，，，，，，，，，，若，样本数据恰好是样本数据都减后所得数据，则，两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数
3.若，则函数的图象一定经过( )
A. 第一、二象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
4.( )
A. B. C. D.
5.设，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.如图所示，表示种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为，则系统的可靠性是( )
A. B. C. D.
7.已知某药店只有，，三种不同品牌的口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是，，买品牌口罩的概率分别为，，则甲、乙两人买相同品牌的口罩的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数为奇函数，则下列叙述错误的是( )
A.
B. 函数在定义域上是单调增函数
C.
D. 函数所有零点之和大于零
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高中有学生人，其中男生人，女生人，为获得该校学生的身高单位：信息，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为的样本经计算得到样本中男生身高的平均数为，方差为；女生身高的平均数力，方差下列说法中正确的是( )
A. 样本中男生的人数为 B. 每个女生入样的概率均为
C. 样本的平均数为 D. 样本的方差为
10.下列各式化简运算结果为的是( )
A. B.
C. 且 D.
11.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，当时，都有；下列选项成立的( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. ，，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校高一年级一名学生五次月考数学成绩满分分分别为，，，，，则这名学生五次月考数学成绩的第百分位数为 ．
13.已知函数，若，，则的取值范围是 ．
14.设函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数且点在函数的图象上．
求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；
求不等式的解集；
若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
16.本小题分
手机运动计步已经成为一种新时尚某单位统计了职工一天行走步数单位：百步，绘制出如下频率分布直方图：
求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；
若该单位有职工人，试估计职工一天行走步数不大于的人数；
在的条件下，该单位从行走步数大于等于的组职工中用分层抽样的方法选取人参加远足拉练活动，再从人中选取人担任领队，求这两人均来自区间的概率．
17.本小题分
随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试在每一次报名中，每个学员有次参加科目二考试的机会这次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或次都没有通过，则需要重新报名，其中前次参加科目二考试免费，若前次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交元的补考费某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，试用或的运算表示，并求的大小；
求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元的概率．
18.本小题分
设函数，
若，求使不等式对恒成立的的取值范围；
若，且在上的最小值为，求的值．
19.本小题分
已知函数，，．
若，解关于的方程；
设，函数在区间上的最大值为，求的取值范围；
当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：由的图象经过点，
可得，即，解得，
则
函数的图象如下图：
即为或
即或，
则解集为；
有两个不相等的实数根，
即有的图象和直线有两个交点，
由图象可得，即，
可得的取值范围是．

16.解：由题意得，
解得；
设中位数为，
则，解得，
所以中位数是．
由，
所以估计职工一天步行数不大于步的人数为人．
在区间中有人，
在区间中有人，
在区间中有人，
按分层抽样抽取人，
则从中抽取人，中抽取人，中抽取人；
设从中抽取职工为，从中抽取职工为，从中抽取职工为，
则从人中抽取人的情况有共种情况，它们是等可能的，
其中满足两人均来自区间的有共有种情况，
所以；
所以两人均来自区间的概率为．

17.解：这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”
则
设这对夫妻中，“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，则．
设事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”．
则．
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为；
设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费元”，
事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元”，则
，
．
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元的概率为

18.解：因为，所以是奇函数，
因为为减函数，为增函数，所以是减函数，
所以是奇函数且是减函数，
所以不等式，
可变为，
则，即恒成立，
所以，即，
解得：，故的取值范围是．
由，得，
解得或舍，
所以
令，当时，，
所以，
当即时，，解得舍去，
当即时，，解得：符合题意，
所以．

19.解：当时，，
则，定义域为．
由，可得，可得，
解得或舍去，因此，关于的方程的解为；
当时，．
当时，对任意的恒成立，则，
此时，函数在区间上为增函数，，合乎题意；
当时，对任意的恒成立，则，
此时，函数在区间上为减函数，，解得，不合乎题意；
当时，令，得，此时
所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数．
，，由于，所以，解得．
此时，．
综上所述，实数的取值范围是；
，
由于内层函数在区间为减函数，外层函数为增函数，
所以，函数在区间上为减函数，
所以，，
由题意可得，可得，
所以，．
当时，；
当时，令，设，
可得．
下面利用定义证明函数在区间上的单调性，
任取、且，即，
，
，，，，即，
所以，函数在区间上单调递减，
当时，函数取得最大值．
综上所述，函数在上的最大值为，．
因此，实数的取值范围是．

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