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2025-2026学年海南省海口市海南中学高一上学期新生能力综合测试夏令营（模拟）数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1.已知实数，，．（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
2.若变量，满足约束条件，则的最大值为( )
A. B. C. D.
3.在矩形中，，在边上随机取一点，若是最大边的概率为，则( )
A. B. C. D.
4.剪纸技艺是我国优秀传统文化的重要组成部分，也是一种古老的民间艺术，其中也蕴含着丰富的数学思想．为更好地传承和发扬传统文化，我国已将剪纸放入小学的美术课中．下图是某小学美术教材的剪纸图例三角形为正三角形，当经过如图所示的剪纸操作后，纸片的剩余率剪纸后剩余部分的面积与原纸片的面积的比值为( )
A. B. C. D.
5.如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数在第三象限的一个动点，以为顶点，原点为对称中心作矩形轴于点，过点的直线分别交边于点，以为一边作矩形，且直线恰好经过点如果点往轴负方向运动，那么的变化情况是( )
A. 先减小后增大 B. 先增大后减小 C. 一直不变 D. 一直减小
6.几何原本中的几何代数法用几何方法研究代数问题成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字”证明如图，是半圆的直径，点是上一点不同于，，，点在半圆上，且，于设，，则该图形可以完成的“无字”证明为( )
A. ，
B. ，，
C. ，
D. ，，
7.已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”其指的是这样一个数列：从第项开始，每一项都等于前两项之和．删去后，以第一个作为该数列的第一项，其中第项记为，如则( )
A. B. C. D.
9.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为( )
A. B. C. D.
10.如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
11.在实数范围内分解因式：
；
．
12.已知，则 ．
13.图是函数的图象，其两条渐近线分别为轴、轴．将函数图象绕其中心顺时针旋转，得到如图所示的双曲线图象．则双曲线在这个坐标系中的渐近线方程为 ，双曲线的方程为 ．
14.如图，二次函数与轴交于、两点，与轴交于，点是在以为圆心半径为的圆上一动点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（8分）已知实数、、、满足．
求证：为非负数．
若、、均为奇数，、是否可以都为整数？说明你的理由．
16.（10分）设函数．
若关于的不等式的解集为，求实数的值；
若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；
解关于的不等式：．
17.（12分）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点．以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点点在点的左侧．
求此抛物线的函数表达式．
当点在抛物线上运动时，弦的长度是否为定值？若不是定值，说明理由；若是定值，求弦的长．
如图，若直线过点，求证：是等边三角形．
18.（12分）平面解析几何是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支．
【圆】
我们定义圆为：到定点的距离等于定长的点的集合，圆的标准方程为，其中为圆的半径，为圆心坐标．
【椭圆】
我们定义椭圆为：平面内到两定点的距离之和等于常数该常数大于的动点的轨迹，写成表达式就是两定点称为椭圆的焦点．通常而言，为研究方便，我们会将椭圆的中心与坐标原点重合．
椭圆就像一个被压扁的圆，一端稍长，一端稍短．其中，稍长的轴叫作椭圆的长轴；稍短的轴叫作椭圆的短轴．椭圆与坐标轴的四个交点根据其方位命名为上下顶点、左右顶点．
椭圆的标准方程为，其中分别为长轴长、短轴长的一半．

试推导得到圆的标准方程．
现有一椭圆过点，点为该椭圆的左顶点，．
求的标准方程．
点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．
19.（12分）在平面直角坐标系中，从原点出发，每次只能走一步或，有两种路径可以选择，如图所示：

若某点可以表示为为整数，则称为可达点．
已知：向量的加法：；向量的数乘：．
分析可达点中、满足的函数关系，判断是否为可达点，并说明理由．
证明：若是可达点，则也是可达点．
若某些可达点满足，求在所有满足条件的可达点中，最小的点及此时的值．
参考答案
1.
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14.
15.【详解】方法一最优解：韦达定理应用，
变形结构，显然，
由韦达定理，我们可知，和是一元二次方程的两个根．
其中，所以为非负数；
方法二：由已知，可用表达．，
，所以为非负数；
若都为整数，
其可能的情况有：都为奇数和其中至少有一个为偶数．
若、都为奇数，则为偶数，为奇数，则为偶数，与已知矛盾．
若、为整数，且其中至少有一个为偶数，则必为偶数，为偶数，与已知矛盾．
因此不可能．

16.【详解】由题意知，是方程的两个根，
则，则．
，
则对于实数时恒成立，
则，即
解得
则的取值范围为．
依题意，等价丁，
当时，不等式可化为，解集为．
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为．
当时，不等式化为，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为或；
综上，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为．

17.【详解】因为抛物线的顶点为，所以可设抛物线的函数表达式为：，
又抛物线过点，所以．
所以抛物线的函数表达式为：．
是定值．
如下图所示，过点作轴，垂足为，连接，则：，
设点的坐标为，则．
由，有．
由，
有，
即，．
即弦的长为定值．
设直线的解析式为，
因为直线过点和点，所以．
所以直线的解析式为．
设，有等量关系和，
所以，解得．
当时，点在对称轴左侧，如图，此时．
，，，
，
．
即，即为等边三角形．
当时，在对称轴右侧，如图，此时．
此时，，，
同理可得，
所以，即为等边三角形．
综上可得：为等边三角形．

18.【详解】设一般圆的参数：圆心坐标为，半径为取平面内点．
由圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合，即圆上一点到圆心的距离相等．
由两点间距离公式：，
平方后得．
由题意可知直线的方程为，
当时，可解得点坐标．
可知得到，再代入点坐标，
可得：，解得，
所以标准方程为．
设与直线平行的直线束方程为，
当直线与椭圆相切时，取距离较远的切点为，此时的面积最大．

要找交点，联立直线和椭圆方程：，将用代换，
得到关于的一元二次方程，
化简后得到．
由相切可知，直线与椭圆有且仅有一个交点，即．
解得，．
即距离比较远的直线方程为．
由两点间的距离公式可知，．
三角形的高即为两平行线间的距离．
所以的面积的最大值为．

19.【详解】，
得，即．
．
即．
所有可达点满足．
代入点，有，故不是可达点．
由为可达点可知，．
构造：将表达为的形式，
有
解得．
故．
即仍为可达点．
．
令，即．
由是整数可知，，
即．
不妨设，则有．
即．
为使尽可能小，即要求尽可能大，且，解不等式有．
时，．
此时点坐标为，
最短步长为．

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