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2024-2025学年江西省丰城中学高一上学期期末考试
数学试卷（创新班）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为( )
A. B. C. D.
2.若，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
4.若正数，满足：，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知是圆的直径，是圆上两点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题：
存在，使圆与圆相切；
对任意，直线上都存在点，圆上都存在两点、，使则( )
A. 都为真命题 B. 为真命题，为假命题
C. 为假命题，为真命题 D. 都为假命题
8.三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于，有如下判断，其中正确的判断是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，则是锐角三角形
10.已知数据满足：，若去掉后组成一组新数据，则( )
A. 若，则原数据的第百分位数为
B. 新数据与原数据相比，中位数不变
C. 新数据与原数据相比，平均数不变
D. 新数据与原数据相比，方差变小
11.“大鹏曲线”的方程为，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名直线与的交点可能个数的集合记为，下列选项正确的是( )
A. 该曲线关于轴对称
B.
C.
D. “”的充要条件是“且”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则实数 ．
13.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 ．
14.已知定义在上的函数，满足，为偶函数，满足，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面平面，为的中点，，
求证：平面平面．
求异面直线与所成角的余弦值．
16.本小题分
哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试全学年共人，现从中抽取了人的数学成绩，绘制成频率分布直方图如下图所示已知这人中分数段的人数比分数段的人数多人．
根据频率分布直方图，求，的值，并估计抽取的名同学数学成绩的中位数；
现用分层抽样的方法从分数在的两组同学中随机抽取名同学，从这名同学中再任选名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这名同学的分数不在同一组内的概率．
17.本小题分
在中，内角的对边分别是，，．
求角；
若，求边上的角平分线长；
若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
18.本小题分
已知圆：．
若直线平分圆，求的最小值；
顶点在原点，焦点在轴上的抛物线的准线与圆相切，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点，求的最大值．
19.本小题分
椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比已知椭圆与椭圆：相似．
求椭圆的离心率；
若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左右顶点，的一点．
当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值．
参考答案
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15.【详解】由于，所以，
由于平面平面且交线为，平面，
所以平面，由于平面，
所以．
由于平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面．
由于，所以是异面直线与所成角或其补角，
，，
，，
所以，所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．

16.【详解】由频率分布直方图的面积和为，则
，得，
又由人中分数段的人数比分数段的人数多人
则，解得，
中位数中位数为
设“抽取的名同学的分数不在同一组内”为事件，
由题意知，在分数为的同学中抽取人，分别用，，，表示，
在分数为的同学中抽取人，分别用，表示，
从这名同学中抽取人所有可能出现的结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，共种
抽取的名同学的分数不在同一组内的结果有：，，，，，，，，共种
所以抽取的名同学的分数不在同一组内的概率为．

17.【详解】在中，由正弦定理及，
得
，
即，而，，
解得，又，所以．
由及，余弦定理得，
又，解得，
由得，
即，则，所以．
因为是的中点，所以，
则，
由正弦定理得，
即，
为锐角三角形，，所以，所以，
所以，所以
所以
所以，即边上的中线的取值范围为．

18.【详解】由圆的方程，即，
则圆的圆心，半径，
由题意知，直线过圆心，
则，即，，，
由，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是．
由题意，抛物线的准线为，所以抛物线方程为，焦点，
所以，，，其中，
所以，时有
，
当且仅当，即时等号成立；
而时，，，则．
所以的最大值是．

19.【详解】对于椭圆：，长轴长为，短轴长为，焦距为，
椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，
依题意可得，所以，
则椭圆的离心率．
由相似比可知，，解得，所以椭圆：，
设，则直线的方程为，即，
记，则的方程为，
将其代入椭圆的方程，消去，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即，
将代入上式，整理得，
同理可得，
所以为关于的方程的两根，
所以，
又点在椭圆上，
所以，
所以，为定值．

由相似比可知，，解得，所以椭圆：，
其左、右顶点分别为，，恰好为椭圆的左、右焦点，
设，易知直线、的斜率均存在且不为，
所以，
因为在椭圆上，所以，即，
所以．
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，
由，得，
设，，则，，
所以
，
同理可得，
所以．


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