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2025-2026学年福建省泉州第五中学高一上学期第一次测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.如图所示，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A. B. C. D.
3.已知实数满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设全集，集合、是的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，，若，则的值可能为( )
A. B. C. D.
10.已知，为正实数，，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.设非空集合满足：当时，有给出如下命题，其中真命题是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，若，则的取值范围为 ．
13.已知，，且满足，则的最小值是 ．
14.设集合，，，，，中，至少有两个元素，且，满足：对于任意，，若，都有；对于任意，，若，则若有个元素，则有 个元素．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
求集合；
若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
解不等式：
解关于的不等式：
17.本小题分
已知函数．
当时，求不等式的解集；
求不等式的解集；
若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数
若的解集为，求实数的值；
当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围．
，解关于的不等式．
19.本小题分
已知集合为非空数集，定义：，．
若集合，直接写出集合，；
若集合，，且，求证：；
若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.【详解】对于集合，可得，解得，所以，
对于集合，可得，即，，
解得，所以，
所以或，
则；
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，
当时，此时解集为空集，满足题意；
当时，，即，
因为是的真子集，
所以，解得，所以，
综上实数的取值范围为．

16.【详解】解：因为，
所以，即．
解得：．
所以不等式的解集为．
由得．
当时，解得：．
当时．
当时，若，即时，解得：．
若，即时，解得：或．
若，即时，解得：或．
当时，解得：．
综上所述：时，不等式：的解集为；
当时，不等式：的解集为；
当时，不等式：的解集为；
当时，不等式：的解集为；
当时，不等式：的解集为或．

17.【详解】当时，，
所以方程的根为或，
所以不等式的解集为．
若，即，此时二次函数的图象在轴上方，
不等式的解集为；
若，即，此时方程为，
只有一个根，不等式的解集为；
若，即，
此时方程的两根分别为，，
不等式的解集为．
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
因为，故抛物线的对称轴为且开口向上，
而不等式的解集中恰有三个整数解，
故且，在不等式的解集中、关于对称，
，不在不等式的解集中、关于对称，
故
故．

18.【详解】由的解集为可得是方程的一个实数根，
因此，解得；
所以的另一实数根为，可得；
即实数的值为，；
由可得，即；
又因为，可得恒成立；
易知当时，，
当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值，
所以
不等式即为；
整理可得；
当时，不等式为，易知其解集为；
当时，不等式可分解为，其方程对应的两根分别为；
若，不等式等价为，此时不等式解集为；
若，不等式解集为；
若，不等式解集为；
若，不等式解集为；
综上可知，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．

19.【详解】当，则，
证明：因为集合，，且，所以中也只包含个元素，即，剩下的元素满足，所以．
集合，，记为集合中元素的个数，设集合满足题意，则，则，
所以，因为，由容斥原理，，
所以最小的元素为，最大的元素为，所以，即，解得，
实际上，当时满足题意；
证明如下：设，则
，则，依题意可知，，即，所以的最小值为，所以当时，
集合中元素最多，即时满足题意，
综上，的最大值为．

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