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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算：( )
A. B. C. D.
2.五位同学去听同时进行的个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是( )
A. B. C. D.
3.的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
4.用数字，，，，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A. B. C. D.
5.同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为，则( )
A. B. C. D.
6.哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到，，，四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法( )
A. B. C. D.
7.已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球，所有球除颜色外完全相同某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球则“从乙箱中取出的球是黑球”的概率为( )
A. B. C. D.
8.用四种颜色给下图的个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则( )
A. 课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有种排法
B. 课程“礼”排在“乐”的后面可以不相邻，共有种排法
C. 课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法
D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法
11.我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中展示了二项式系数表数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究下列结论正确的是( )
A. 第行的所有数字之和被除的余数为
B. 第行第个数和第个数的比为：
C. 从第行起到第行，每一行的第列数字之和为
D. 第行所有数的平方和等于第行最中间的数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.名同学中选名同学为代表参加学校园地竞标种植活动，共有______种不同选法．
13.设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则______．
14.年月日，是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年纪念日，北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式纪念抗战伟大胜利，弘扬抗战伟大精神未来，同学们进入大学的第一课就是军事训练，军训结束也要进行阅兵某大学院系选了名同学组成了排列的阅兵方阵，其中每名男同学都有至少一名男同学与之相邻，而所有女同学均不相邻相邻包括左右相邻和前后相邻，则这个方阵中最多有______女同学．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，求的取值范围．
16.本小题分
一个不透明的口袋中装有个红球、个黄球和个白球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出个球．
求摸出的白球个数比黄球个数多的概率；
记摸出的球的颜色种类为，求的分布列．
17.本小题分
在平行四边形中图，，为的中点，将等边沿折起，连接，，且图．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
若为线段上的动点不含端点，判断直线能否与平面平行，并说明理由．
18.本小题分
人工智能，英文缩写为，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词、解答难题、到人机比赛，它的身影无处不在小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束，已知小明第一局获胜的概率为从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局．
求小明以：获得比赛胜利的概率；
在小明以：获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率；
记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列．
19.本小题分
现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有，且．
当时，计算；
，若的定义域是，值域也是，其中求实数的取值范围；
已知，定义在上的函数，若方程恰有两个不等实根，，且，设，求的范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，
所以由正弦定理得：，
在中，，
所以，
又因为，所以，
所以，
即，
即，
又因为，所以，
所以，即，
即
因为，所以，
所以，即．
因为为锐角三角形，
所以，
解得：，
因为，所以由正弦定理得：，
即，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以，
故的取值范围为：．
16.一个不透明的口袋中装有个红球、个黄球和个白球，
这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出个球，
由摸出的白球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为个白球和个黄球或个红球，可能为个白球和个红球，
其中摸出个白球和个黄球或个红球的概率为，
摸出个白球和个红球的概率为，
故摸出的白球个数比黄球个数多的概率为；
记摸出的球的颜色种类为，
由题可知，的所有可能取值为，，，
，，
，
则的分布列为：
17.证明：在平行四边形中，为等边三角形，
则，
，，
在中，，，，
，
，，
在四棱锥中由可得，，
且，平面，平面，
平面．
分别取，中点，，连接，，
由可知，平面，
，平面，
平面，，
在正中，，
如图以为原点建立空间直角坐标系，
，，，，
，
即，
，，
，，
设向量，分别为平面和平面的一个法向量，
则，则，和，则，
令，则，令，则，
即，，
设平面与平面的夹角为，
则，
不能．
证明：假设存在上一点不包括端点使得平面，
，平面，平面，
平面，
，平面，平面，
则平面平面，
又平面平面，故矛盾，
假设不成立，
即不存在上一点不包括端点使得平面，
即直线不能与平面平行．
18.令事件表示“小明以：获得比赛胜利”，
所以，
则小明以：获得比赛胜利的概率为；
令事件表示“在第二局比赛中小明获胜”，
所以，
所以，
则在小明以：获得比赛胜利的条件下，在第二局比赛中小明获胜的概率为；
记整场比赛小明的获胜局数为，
由题意有的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以的分布列为：
19.因为对于任意实数，，都有且，
所以当时，；
因为，
所以，
所以，
由，得，
且在上是单调递减函数．
又因为，
所以．
因为的定义域是，值域也是，
所以，且，
即，
化简得：，
即，
因为，所以，
所以，
当时，，显然不成立，所以，．
当时，，
所以，
所以实数的取值范围是，
综上所述，实数的取值范围是；
由，
得，，
所以，
，
所以函数
，，
若方程恰有两个不等实根，
则，，
即在上恰有两个不等实根，
即当时，直线与的图象有两个不同的交点．
对于函数，，
令，，
则，，
由图可知当时，
与，的图象有两个不同的交点，
设其横坐标分别为，，
则有，，，
且，
所以．
所以
，
因为，所以，
所以，
所以．
所以的范围是．
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