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2025-2026学年广东省梅州市兴宁一中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足，则复数( )
A. B. C. D.
2.设，，若，则( )
A. B. C. D.
3.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为( )
A. B.
C. D.
4.某中学共有名教职员工，其中一线教师人，行政人员人，后勤人员人，采取分层随机抽样，拟抽取一个样本容量为的样本，则行政人员应抽取( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
5.已知向量，，则使，成立的分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则( )
A. B. C. D.
7.将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷次，第次和第次某一面朝下的概率分别记为，，则，的大小关系为( )
A. ，的大小由确定 B.
C. D.
8.美国数学家于年提出优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择我国著名数学家华罗庚于世纪、年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面过点，其法向量，则下列点不在平面内的是( )
A. B. C. D.
10.记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则( )
A. B. 的周长为
C. D. 外接圆的面积为
11.如图，正方体的棱长为，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 平面
C. 存在点，使得平面平面
D. 三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值为______．
13.将个数据按照从小到大的顺序排列如下：，，，，，，，，，，若该组数据的分位数为，则 ______．
14.在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，其中．
若，求的值；
若对应的点在第一象限，求的取值范围．
16.本小题分
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取次，记录如下：
甲
乙
求甲成绩的分位数；
现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度在平均数、方差或标准差中选两个考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？
17.本小题分
在中内角，，所对的边分别为，，已知．
求角的大小；
设，，求和外接圆的面积．
18.本小题分
已知长方体，，，为棱的中点，为线段的中点．
求异面直线与所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图所示．
在图中：
求证：平面平面；
求点到平面的距离；
求二面角的余弦值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.因为，所以，解得或；
由已知可得，
解得，
所以的取值范围为．
16.解：甲成绩按从小到大排列为：，，，，，，，，
所以，
所以甲成绩的分位数；
甲的平均数是，乙的平均数是，
甲的方差是，
乙的方差是，
因为甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，
所以甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．
17.由及正弦定理，
则，
又，则，
故，
化简得，
又，故；
由题意，，，
由余弦定理，，
则外接圆半径，
故外接圆面积．
18.解：以为原点，以、、分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
则，，，
则，，直线与所成角为，
则．
故异面直线与所成角的余弦值为．
，，，
设面的法向量为，
则，令，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19.证明：由题意知，，，
则，故AC，
又，且，，平面，
故AD平面，
而平面，
故平面平面D.
由，可得，由知平面，
所以，
又，
所以．
在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为，
连接，由平面，平面，故AD，
因为，，，平面，
所以平面，
由知，因为平面，故C，又，
，，平面，
所以平面，
又平面，所以，又，
则为二面角的平面角，
又平面，故C，
由题意知直角三角形中，，，
故，
又，则，
所以，
故二面角的余弦值为．
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