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2025-2026学年江西省九江市庐山外国语学校高一（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知为所在平面内的一点，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度，如图所示，已知半球的半径为，圆柱的高也为，则银杯盛酒部分的容积为( )
A. B. C. D.
6.正方体中，，是的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7.将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为( )
A. B. C. D.
8.体操中有“后空翻转体度”的动作，其中“度”等于( )
A. 弧度 B. 弧度 C. 弧度 D. 弧度
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论不正确的是( )
A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的弧长为
C. 若角的终边过点，则 D. 若角为锐角，则角为钝角
10.下列各式的值等于的有( )
A. B.
C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则下列说法正确的是
A. 与所成夹角为
B.
C.
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的最小正周期为______．
13.已知复数，满足，且，则 ______．
14.已知满足，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量．
若，求实数的值；
若，求实数的值；
若两向量的夹角为锐角，求的取值范围．
16.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，满足．
求；
若的周长为，面积为，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ求二面角的大小．
18.本小题分
已知函数的部分图像如图所示．
求函数的解析式；
函数的图像经过怎样的变换能得到函数的图像；
求函数的单调递减区间；
求不等式的解集．
19.本小题分
如图，在平行四边形中，，点为中点，点，在线段上，满足，设．
用向量表示向量；
若，求；
若，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，且，
所以，解得；
因为，所以，
又且，
所以，
即，
解得；
由两向量的夹角为锐角，则，且与不共线，
由，得，解得，
由与共线，得，
所以向量与的夹角为锐角时，
所以得取值范围为．
16.因为，
由正弦定理得，
故，
因为，所以，故，
即，所以，
因为，所以，
故，解得；
因为的周长为，面积为，
所以，即，
由余弦定理得，即，
化简得，解得．
17.解：Ⅰ证明：底面，平面，
，
如图，连接，
底面为正方形，
，
，分别为棱，的中点，
，，
又，，平面，
平面，
平面，
平面平面．
Ⅱ如图，设，，连接，则为线段的中点，
易知平面平面，
由Ⅰ知，平面，平面，
，
为二面角的平面角，
又底面，，
，
，
．
18.由图像得，且，
则，解得，
所以，
因为，
所以，
解得，，
又，
所以，即．
先将函数的图像上所有的点向右平移个单位，
可得到的图像，
再将图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，就可得到的图像，
最后将图像上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，就可得到的图像．
由，
解得，
所以的单调递减区间为．
因为，所以，
所以，
解得：，
所以不等式的解集是．
19.因点为中点，点，在线段上，满足，
可得，，
故；
由得，
所以，
因为，
所以，
解得；
若，
则根据平面向量数量积运算可得，
根据平面向量的加法法则可得，
所以，
所以．
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