资源简介

黑龙江省绥化市第二中学 2026 届高三上学期开学考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数 = i( 2 + i)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合 = 1,3,5,7 ， = 2 < < 6 ，则 ∩ =( )
A. 3,5 B. 3,4,5 C. 2,3,5,6 D.
3.已知向量 = ( , 2)， = ( 3,6)，若 // ，则 =( )
A. 4 B. 4 C. 1 D. 1
4.圆 : ( 3)2 + 2 = 4 与圆 : 2 + 21 2 = 1 的位置关系是( )
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
5.已知函数 ( + 1)是定义在 上的偶函数，且 ( )在区间[1, + ∞)上单调递增，则 ( 1)， (1)， (2)的大
小关系是( )
A. ( 1) < (1) < (2) B. (1) < (2) < ( 1)
C. (1) < ( 1) < (2) D. (2) < (1) < ( 1)
6.已知函数 ( ) = sin2 + cos2 ，则函数 ( )( )
A.最小正周期为 2π B.是奇函数 C. π 3π在区间 2 , 4 上单调递增 D.一条对称轴是 =
π
8
7.已知正三棱锥 ，平面 分别与 ， ， ， 交于 ， ， ， ，其中 ， 分别是 ，
的中点.如果直线 //平面 ，那么四边形 是( )
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
8
2
.已知双曲线 : 2 4 = 1 的左、右顶点分别为点 ， ，点 在双曲线的右支上且异于点 .若直线 的斜
1
率的取值范围是 2 , 1 ，则直线 的斜率的取值范围是( )
A. [4,8] B. (2,4] ∪ [8, + ∞) C. (4,8) D. (0,4] ∪ [8, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列 的前 项和为 ，若 2 = 2， 4 + 6 = 8，则下列结论正确的是( )
A. = 2 6 B. 2 = 5
C. 取得最小值时 = 3 D.数列 2 是等比数列
10.一个口袋中有大小相同的 2 个白球和 4 个黑球，从中随机取出 3 个球，记取出的黑球个数为 ，则下列
结论正确的是( )
第 1页，共 9页
2 1 3
A. C C C的可能取值为 0，1，2，3 B. ( ≥ 2) = 4 2 + 4
C3 36 C6
C. ( ) = 2 D. (2 1) = 4
11.已知函数 ( ) = 2 2 3 e ，则下列结论正确的是( )
A.函数 ( )有 2 个极值点
B.函数 ( )无最小值
C. 3 3 3若函数 ( )在 2 , 上是减函数，则实数 的取值范围是 2 , 4
D.函数 = 3 ( ) 2 + 2 ( ) 1 有 5 个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.( )5的展开式中 3 2的系数是 ．
13.已知数列 的前 项和为 ， 1 = 1， +1 + = 2 ，则 11 = (用数字作答)．
14.已知函数 ( ) = e2 + e 2 e e 1，若 ( ) ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立，则实数 的取值范围
是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 6 ．
(1)求曲线 = ( )在点 2, (2) 处的切线方程；
(2)当 ∈ (0, + ∞)时，求证： ( ) ≥ 3 2．
16.(本小题 15 分)
为应对中国近视率高发问题，普及科学用眼知识，国家确定每年的 6 月 6 日为“全国爱眼日”.某校在爱眼
日前用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行视力调查，通过调查得到了如下数据：抽取的学生中男生与
女生的比例是 3: 2，其中男生中有 40%的同学近视，女生中有 25%的同学近视．
(1)若在抽取的这些学生中随机抽取一名学生，这名学生近视的概率是多少？
(2)若抽取的学生总共 100 人，请完成下面的 2 × 2 列联表．
视力
性别 合计
近视 不近视
男生
女生
合计
试根据小概率值 = 0.05 的独立性检验，分析该校学生的视力是否与性别有关．
第 2页，共 9页
2 = ( )
2
附： 2( + )( + )( + )( + ) ( 的值保留三位小数)

0.1 0.05 0.01 0.005

2.706 3.841 6.635 7.879
17.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2， 是椭圆 上一点，且 1 2的周长是 4 +
2 3 3，椭圆 的离心率为 2 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 为坐标原点，过点 (4,0)的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，且 = 35，求| |．
18.(本小题 17 分)
如图，四棱锥 的底面 是正方形， ⊥平面 ， = = 2.已知 ， 分别为 ，
的中点，平面 与棱 交于点 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3) 5判断线段 上是否存在一点 ，使得点 到平面 的距离为10？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
19.(本小题 17 分)
“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，
意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：(Ⅰ)当 的三个内角均小于 120°时，满足∠ =
∠ = ∠ = 120°的点 为费马点；(Ⅱ)当 有一个内角大于或等于 120°时，最大内角的顶点为费
第 3页，共 9页
马点.请用上述知识解决下面的问题：在锐角 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，且 2 sin (2
)sin = (2 )sin ．
(1)求 ；
(2)已知 = 4，点 为 的费马点．
①若∠ = 45°，记∠ = ，求 tan ；
②求| | | | + | | | | + | | | |的取值范围．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.10
13.1365
14.( ∞,2]
15.【详解】(1)由题 (2) = 4， ′( ) = 3 2 6，所以切线斜率为 = ′(2) = 6．
因为切点为(2, 4)，
所以切线方程为 + 4 = 6( 2)，即 6 16 = 0．
(2)证明：令 ( ) = ( ) + 3 + 2 = 3 3 + 2, > 0，则 ′( ) = 3 2 3 = 3( 1)( + 1)，
当 ∈ (0,1)时 ′( ) < 0，所以 ( )在(0,1)上单调递减，
当 ∈ (1, + ∞)时 ′( ) > 0，所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
所以当 = 1 时， ( )有最小值为 (1) = 0，
所以当 ∈ (0, + ∞)时， ( ) ≥ 0，即当 ∈ (0, + ∞)时， ( ) ≥ 3 2．
16.【详解】(1)记 1 =“抽取的学生是男生”， 2 =“抽取的学生是女生”， =“抽取的学生近视”．
由题意可知 1 =
3
5， =
2
2 5， 1 = 0.4， 2 = 0.25，
所以 ( ) = 1
3 2
1 + 2 2 = 5 × 0.4 + 5 × 0.25 = 0.34．
(2)零假设为 0：视力与性别相互独立，即视力与性别无关．
第 5页，共 9页
由题意可得下面的列联表：
视力
性别 合计
近视 不近视
男生 24 36 60
女生 10 30 40
合计 34 66 100
根据列联表中的数据，经计算得到
2 = 100×(24×30 36×10)
2
= 100×360×36034×66×60×40 34×66×60×40 ≈ 2.406 < 3.841，
所以根据小概率值 = 0.05 的独立性检验，没有充分证据推断 0不成立，
因此可以认为 0成立，即视力与性别无关．
2 + 2 = 4 + 2 3
17.【详解】(1)设椭圆的焦距为 2 ，由题意可得 ,
= =
3
2
解得 = 2， = 3，所以 2 = 2 2 = 1，
2
所以椭圆 的方程为 + 24 = 1．
(2)由题意可知直线 的斜率存在，设为 ，所以直线 的方程为 = ( 4)．
设 1, 1 ， 2, 2 ，
2 + 24 = 1由 ，得 1 + 4 2 2 32 2 + 64 2 4 = 0，
= ( 4)
32
2 64 2 4 1
所以 1 + 2 = 1+4 2， 1 2 = 1+4 2 ，由 > 0 得 0 ≤
2 < 12．
由
2
= 1 2 + 1 2 = 1 + 2 1 2 4 2 + 2
76 4 3
1 2 + 16 = 1+4 2 = 5，
得 2 = 1 816，满足 > 0，所以 1 + 2 = 5， 1 2 = 0，
所以| | = 21 2 + 21 2 = 1+ 2 1 + 22 4
17 8 2 17
1 2 = 4 × 5 = 5 ．
18.【详解】(1)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ．
因为四边形 为正方形，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
第 6页，共 9页
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
因为 为 中点， = ，所以 ⊥ ．
又 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
(2)
由(1) ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
因为四边形 为正方形，所以 ⊥ ，
, 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 为 的中点， = ，所以 ⊥ ，
∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ，所以 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ π，故∠ = 2，
由(1) ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，故∠ = π2，又∠ = ∠ ，
所以 ∽△ = ，所以 ，
由已知 = 2 + 2 = 2 2， = 2 + 2 = 2 3， = 2，
所以 = 2 33 ，故 =
1
3 ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
第 7页，共 9页
(0,0,0) (0,2,0) 2则 ， ，易知 3 ,
2 4
3 , 3 ，
= (0,2,0) = 2 , 2 , 4所以 ， 3 3 3 ．
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
2 = 0
则 2 + 2 + 4 = 0，令 = 1，则 = 2，3 3 3
所以平面 的一个法向量为 = ( 2,0,1)．
平面 的一个法向量为 1 = (0,0,1)．
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 cos = cos 1, =
1 5
1
= 5 ，
5
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 5 ，
(3)因为 (1,0,1)， (0,1,1)，所以 = ( 1,1,0)，
设 ( , , )， = (0 ≤ ≤ 1)，
所以( 1, , 1) = ( 1,1,0)，所以 (1 , , 1)，所以 = (1 , , 1)．
由(2)知平面 的一个法向量为 = ( 2,0,1)，

= = | 2+2 +1| = 5 1 3所以 5 10，解得 = 4或 = 4，
1 3 3 1
所以点 的坐标为 4 , 4 , 1 或 4 , 4 , 1 ．
19.【详解】(1)由正弦定理及 2 sin (2 )sin = (2 )sin ，
得 2 2 (2 ) = (2 ) ，
2+ 2 2 1 1
整理得 2 = 2，即 cos = 2．
因为 0 < < π π，所以 = 3．
第 8页，共 9页
(2)因为 是锐角三角形， 为费马点，所以∠ = ∠ = ∠ = 120°．
4 4 6
①在 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，即 2 = 3，得 = 3 ．
2 2
在 中，由正弦定理得sin∠ = sin ，< 1 >
在 中，∠ = 60 180 120 (∠ ) = 45° ，

由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，< 2 >
< 1 >，< 2 > 4 sin(45° )两式相除得 = sin ，化简得 1 + 3 sin = cos ，
1 3 1
所以 tan = 3+1 = 2 ．
②由 = + + ，
1
得2 | | | |sin120° +
1
2 | | | |sin120° +
1
2 | | | |sin120° =
1
2 sin60°，
整理得| | | | + | | | | + | | | | = ．
4 8 3
因为sin∠ = sin∠ = sin∠ = sinπ = ，3 3
所以 = 8 33 sin∠
8 3
3 sin∠ =
64 π
3 sin∠ sin ∠ + 3
= 64 sin∠ cos π ∠ = 643 6 3
1
2 sin ∠ +
π
6 ∠ + sin ∠
π
6 + ∠ =
16
3 +
32 sin 2∠ π3 6 ．
π
0 < ∠ < π 0 < ∠ <
因为 2是锐角三角形，所以 2π，即0 < ∠ < 0 < 2π ∠ < π2 3 2
π
所以6 < ∠ <
π π π 5π 1 π
2，所以6 < 2∠ 6 < 6，则2 < sin 2∠ 6 ≤ 1，
32
所以 3 < ≤ 16，所以| | | | + | | | | + | | | |
32
的取值范围是 3 , 16 ．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑