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福建省连城县第一中学 2026 届高三上学期 8 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 2,4,6,8,9 ，集合 = ∈ ∣1 ≤ ≤ 6.8 ，则 ∩ =( )
A. 2,4 B. 2,6 C. 4,6 D. 2,4,6
2.命题“ ∈ R，都有 2 + 2 ≥ 0”的否定为( )
A. ∈ R，使得 2 + 2 ≥ 0 B. R，使得 2 + 2 < 0
C. ∈ R，都有 2 + 2 ≤ 0 D. ∈ R，使得 2 + 2 < 0
3.下列函数 ( )中，满足“对任意的 1, 2 ∈ (0, + ∞)时，均有( 1 2)[ ( 1) ( 2)] > 0”的是( )
A. ( ) = 12 B. ( ) =
2 4 + 4
C. ( ) = 2 D. ( ) = log1
2
4.已知 ∈ ，则“| 1| < 2”是“( + 1)( 5) ≤ 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若 1 ≤ ≤ 3 1，则 +
1
4 的最小值为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
(2 1) + 1, > 0
6.若函数 ( ) = { 2 + (2 ) , ≤ 0在 上为增函数，则实数 的取值范围为
A. [1,2] B. 12 , 2 C. (1,2] D.
1
2 , 2
7.已知函数 ( ) = 1 2 2 +1，若不等式 (2 ) +
2 2 ≤ 0，则 的取值范围是( )
A. ( ∞, 0] B. [0, + ∞) C. [0,1] D. [1, + ∞)
8.函数 ( ) = ln + 2 + 2 恰有一个零点，则实数 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( )为奇函数，则其图象可能为( )
A. B. C. D.
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10.下列叙述正．确．的是( )
A. 1不等式 < 2 的解集是 >
1
2
B.函数 = 2与 =
2
是同一函数
C.已知函数 (2 + 1)的定义域为[ 1,1]，则函数 ( )的定义域为[ 1,3]
D.若函数 1 = 3 ，则 ( ) = 2 2( ≥ 1)
11.已知定义在 上的函数 ( )满足 (1 + ) + (1 ) = 0，且 ( )不是常函数，则下列说法中正确的有( )
A.若 2 为 ( )的周期，则 ( )为奇函数 B.若 ( )为奇函数，则 2 为 ( )的周期
C.若 4 为 ( )的周期，则 ( )为偶函数 D.若 ( )为偶函数，则 4 为 ( )的周期
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知定义在 R 上的 ( )函数满足 ( + 2) = ( )，且 (3) = 2，则 (2025)的值为 ．
13.已知平面 的一个法向量 = 1, 3, 2 ，直线 的方向向量 = (1,0, 1)，则直线 与平面 所成角的正弦
值为 ．
2
14 + 1.已知函数 ( ) = e ，则下列命题正确的有
①函数 ( )有且只有两个零点
②函数 ( )在( 1,2)上为增函数
③函数 ( )的最大值为 5e 2
④若方程 ( ) = 有三个实根，则 ∈ (0,5e 2)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
若函数 ( ) = log ( + ) ( > 0 且 ≠ 1)的图象过点 ( 1,0)．
(1)求 的值；
(2) ( )求函数 = +1的定义域．
16.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， = = 1．
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(1)求证： 1 ⊥平面 1；
(2)求直线 1 与 1所成角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
已知二次函数 ( ) = 2 + 2 + 2．
(1)若 1 ≤ ≤ 5 时，不等式 ( ) > 3 恒成立，求实数 的取值范围．
(2)解关于 的不等式( + 1) 2 + > ( )(其中 ≥ 0).
18.(本小题 17 分)
已知 ∈ ， ( ) = + ．
(1)当 > 0 时，判断函数 = ( )的单调性，并写出函数的单调区间；
(2)当 = 1 时，判断函数 = ( )在区间(1, + ∞)上的单调性，并用单调性定义进行证明；
(3)当 > 0 时，求函数 = ( )在区间[2,4]上的最小值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln + ，其中 , ∈ R．
(1)若函数 ( )有 = 1 处取得极大值 0，求 , 的值；
(2)函数 ( ) = ( )．
( )证明：曲线 = ( )图象上任意两个不同点处的切线均不重合；
( )当 = 1 时，若 ∈ ( 1, + ∞)，使得 ( + 1) 2sin < 0 成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.14/0.25
14.①②④
15.【详解】(1)由题意可得： ( 1) = log ( 1 + ) = 0，则 1 + = 1，解得 = 2．
(2)由(1)可得： ( ) = log2( + 2)，
= ( ) = log2( +2) + 2 > 0对于函数 +1 +1 ，可得 + 1 ≠ 0，解得 > 2 且 ≠ 1，
= ( )故函数 +1的定义域为( 2, 1) ∪ ( 1, + ∞)．
16.【详解】(1)由题意以 为坐标原点，分别以 , , 1所在直线为 , , 轴建立空间直角坐标系，如图所
示，设 = 1，则 = = 1 = 1，
则 (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), 1(0,1,1), 1(0,0,1)，
所以 1 = (0,1, 1), = (1,0,0), 1 = (0,1,1)，
所以 1 = 0, 1 1 = 1 1 = 0，
所以 1 ⊥ , 1 ⊥ 1，即 1 ⊥ , 1 ⊥ 1，
又因为 ∩ 1 = , 平面 1， 1 平面 1，
所以 1 ⊥平面 1．
(2)由(1)知， 1 = (1,0, 1), 1 = (0,1,1)，所以 1 = 2, 1 = 2, 1 1 = 1，
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记直线 1 与 1所成角为 ，则

cos = cos < 1

, 1 1 11 > = 1
=
1 2
，
1
故直线 1 与 1所成角的余弦值为2．
17.【详解】(1)不等式 ( ) > 3 2 + 2 + 2 > 3 < 2 + 2，
当 ∈ [1,5] 2 2 2时， ( ) > 3 < + 恒成立，而 + ≥ 2 = 2 2，
当且仅当 = 2时取等号，则 < 2 2，
所以实数 的取值范围是 < 2 2．
(2)不等式( + 1) 2 + > ( ) ( + 1) 2 + > 2 + 2 + 2 ( 2)( + 1) > 0，
当 = 0 时，不等式为 2 > 0，解得 > 2；
1 1
当 > 0 时，不等式为( 2)( + ) > 0，解得 < 或 > 2；
所以当 = 0 时，原不等式解集为(2, + ∞)；
当 > 0 1时，原不等式解集为( ∞, ) ∪ (2, + ∞)．
18.【详解】(1)当 > 0 时，函数 ( ) = + 定义域为( ∞,0) ∪ (0, + ∞)，
( ) = + = ( )，函数 ( )是奇函数，
由对勾函数知，函数 ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
由奇函数的性质知，函数 ( )在( , 0)上单调递减，在( ∞, )上单调递增，
所以函数 ( )的单调递减区间是( , 0), (0, )；递增区间是( ∞, ), ( , + ∞)．
(2)当 = 1 时， ( ) = 1 在(1, + ∞)上单调递增．
任取 1 < 1 1 11 < 2，有 ( 1) ( 2) = ( 1 ) ( 2 ) = ( 1 2)(1 + )，1 2 1 2
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由 1 < 11 < 2，得 1 2 < 0，1 + > 0，则 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，1 2
所以函数 = ( )在区间(1, + ∞)上单调递增．
(3)由(1)知，当 > 0 时，函数 ( ) = + 在(0, ]上单调递减，在[ , + ∞)上单调递增，
①当 ≤ 2，即 0 < ≤ 4 时， ( ) = + 在[2,4]

上单调递增，则 ( )min = (2) = 2 + 2；

②当 ≥ 4，即 ≥ 16 时， ( ) = + 在[2,4]上单调递减，则 ( )min = (4) = 4 +

4；
③当 2 < < 4，即 4 < < 16 时， ( )min = ( ) = 2 ，
2 + 2 , 0 < ≤ 4
所以 ( )min = 2 , 4 < < 16．
4 + 4 , ≥ 16
19.【详解】(1) ( ) = ln + , > 0 1，得 ′( ) = + ，
由题设知
′(1) = 1 + = 0 = 1，解得 ,
(1) = = 0 = 1
此时 ′( ) = 1 1 =
1
( > 0)
当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0, ( )为增函数；
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) < 0, ( )为减函数；
所以函数 ( )在 = 1 处取得极大值，满足题意，
故 = 1, = 1．
(2)( )函数 ( ) = ( )．
由 ( ) = ( ) = ln + 2 ，得 ′( ) = 2 + ln + 1，
设点 1, 1 和点 2, 2 ，不妨设 0 < 1 < 2，
则曲线 = ( )在点 处的切线 1方程为 1 = ′ 1 1 ，
即 = ′ 1 ′ 1 1 + 1 ；
同理曲线 = ( )在点 处的切线 ′ ′2方程为 = 2 2 2 + 2 ；
′ 1 = ′ 假设 21与 2重合，则 ,
′ 1 ′1 + 1 = 2 2 + 2
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ln 1 ln 2 + 2 1 2 = 0化简得 ,1 + 2 = 1
1 1
两式消去 ，得 ln ln 2 × 1 2 = 0 ln ，则 11 2 2 ×
2
= 0，
1+ 2 2 1 +12
2
令 = 1 (0 < < 1), ( ) = ln 2 ×
1 ′ 1 4 ( 1)
2 +1
， ( ) = ( +1)2 = ( +1)2 > 0，
由 ′( ) > 0，所以 ( )在(0,1)上单调递增，
所以 ( ) < (1) = 0，即 ( ) = 0 无解，所以 1与 2不重合，
即对于曲线 = ( )图象上任意两个不同点处的切线均不重合．
(ⅱ)当 = 1 时，先解决对于 ∈ ( 1, + ∞), ( + 1) 2sin ≥ 0 恒成立，
令 + 1 = , ( ) = 2 + ln 2sin( 1)，则 ( ) ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立，
由 (1) ≥ 0，解得 ≥ 1．
下面证明当 ≥ 1 时， ( ) ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立．
则当 ≥ 1 时， ( ) ≥ 2 + ln 2sin( 1)，
令 ( ) = 2 + ln 2sin( 1)，则 ′( ) = 2 + ln 2cos( 1)，
则当 ∈ [1, + ∞)时，由 2 ≥ 2,2cos( 1) ≥ 2，
则 ′( ) ≥ 0，则 ( )在[1, + ∞)上单调递增，所以 ( ) ≥ (1) = 0；
当 ∈ (0,1)时，令 ( ) = ′( ) = 2 + ln 2cos( 1)，
则 ′( ) = 2 + 1 + 2sin( 1) ≥ 0，则 ( )在(0,1)上单调递增，
所以 ( ) = ′( ) < ′(1) = 0，所以 ( )在(0,1)上单调递减，
所以 ( ) ≥ (1) = 0 成立，
所以对于 ∈ ( 1, + ∞)，不等式 ( + 1) 2sin ≥ 0 恒成立，
实数 的取值范围为[1, + ∞)．
所以 ∈ ( 1, + ∞)，使得 ( + 1) 2sin < 0 成立， 的取值范围为( ∞,1)．
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