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福建省莆田市莆田第五中学 2026 届高三上学期期初检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ， 2 + 2 + 1 ≥ 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 + 2 + 1 ≥ 0 B. ∈ ， 2 + 2 + 1 < 0
C. ∈ ， 2 + 2 + 1 > 0 D. ∈ ， 2 + 2 + 1 < 0
2.已知集合 = | | = , ∈ Z ，集合 = ，则下列各选项中属于 的元素是( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
3.已知随机变量 , 2 ，且 ( ≤ 4) = 0.16, ( ≤ 8) = 0.84，则 的值为( )
A. 6 B. 7 C. 7.5 D. 10
4.已知实数 , 满足 4 ≤ ≤ 1, 1 ≤ ≤ 5，则 8 5 的取值范围是( )
A. 3 ≤ 8 5 ≤ 60 B. 21 ≤ 8 5 ≤ 78
C. 12 ≤ 8 5 ≤ 45 D. 3 ≤ 8 5 ≤ 45
5.已知在同一平面直角坐标系中，函数 = ( )及其导函数 = ′( )的部分图象如图所示，则( )
A.函数 = e ( )在区间[ , ]上单调递增
B.函数 = e ( )在区间[ , ]上单调递减
C.函数 = e ( )在区间[ , ]上单调递增
D.函数 = e ( )在区间[ , ]上单调递减
6.如图，在棱长为 1 的正四面体 中，点 ， 分别为棱 ， 的中点，则下列命题正确的个数为( )
① ⊥ ；② = 12
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3 5
③侧棱与底面所成角的余弦值为 3 ；④直线 与 所成角的正弦值为 3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.函数 ( ) = 5 + sin + 1， (3 ) + ( 1) = 2，且 > 0, > 0 3，则 +
1
的最小值为( )
A. 8 B. 10 C. 14 D. 16
8.水平桌面上放置了 4 个半径为 2 的小球，4 个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个
半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为( )
A. 4 B. 2 2 + 2 C. 2 3 + 2 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.使得“ > ”成立的充分不必要条件可以是( )
A. > 1 B. 1 < 1 C. > D. 0.3
1 < 0.3
10.下列命题正确的是( )
A.线性回归直线必过样本数据的中心点 , ；
B.当相关系数 > 0 时，两个变量负相关；
C.甲、乙两个模型的 2分别约为 0.88 和 0.80，则模型乙的拟合效果更好；
D.残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1， 是 1的中点，则( )
A. 1 ⊥ 1
B. 1三棱锥 1 1 的体积为2
C.若 在底面 内(包含边界)运动，且满足 = 1，则动点 的轨迹的长度为π
D. , , 3 2由 1 三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 2 + 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若集合 = | 2 + 2 + 1 = 0 中只有一个元素，则满足条件的实数 构成的集合为
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13.哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、两个结界兽、四大龙王共 8 个人物手办，小明随机购买 3 个盲盒(3
个盲盒内人物一定不同)，求在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙王有且仅有一位的概率为 ；
记小明抽到的龙王盲盒个数为 ，则 ( ) = ．
14 1.对于函数 ( ) = e 2 + , ( ) = ln ，若对任意的 1 ∈ 0, 1 ，存在唯一的 2 ∈ e2 , e 使得 1 =
2 ，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知集合 = { | 2 ≤ ≤ 5}，集合 = { | + 1 ≤ ≤ 2 + 1}，
(1)若 = 2，求 ∪ 和 ∩ ；
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
16.某学校号召学生参加“每天锻炼 1 小时”活动，为调查学生课后体育锻炼的情况，学校采用简单随机抽
样的方法抽取 80 名学生，得到了表中数据：
不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生 10 30 40
女生 20 20 40
合计 30 50 80
(1)根据小概率值 = 0.01 的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系？
(2)根据上表，从经常锻炼的学生中利用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机选取 3 人，设这 3 人
中女生的人数为 ，求 的分布列和期望．
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + ) , = + + + ．
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
17.设函数 ( ) = ln 在 = 1 处的切线垂直 轴.
(1)求函数 ( )的单调区间；
(2)若 > 1，证明： ( ) < e 1 + 1．
18.如图，四棱锥 中， 为正三角形， = = 2 = 2 2， // ，
⊥ , 为线段 的中点．
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(1)在平面 内，过点 作平面 的平行线 ，并证明；
(2)若 = 2 6，证明：平面 ⊥平面 ；
(3)若 , , , 四点在以 6为半径的球面上，求四棱锥 的体积．
19 3 2.甲和乙两个箱子中各装有 个大小、质地均相同的小球，并且各箱中5是红球，5是白球．
(1)当 = 5 时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出 3 个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到
的样本中红球的个数为 ，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为 ，求 ( )， ( )， ( )，
( )；
(2)当 = 10 时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出 5 个球作为样本，设 ( = 1,2,3,4,5)表示“第 次取
出的是红球”，比较 1 2 3 4 与 1 2 3 4 的大小；
(3)由概率学知识可知，当总量 足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不
放回地取 3 个小球，恰有 2 个红球的概率记作 1；从乙箱中有放回地取 3 个小球，恰有 2 个红球的概率记
作 2.那么当 至少为多少时，我们可以在误差不超过 0.003(即 1 2 ≤ 0.003)的前提下认为超几何分布近
似为二项分布？(参考数据： 290 ≈ 17.03)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 0,1
13. 8 315； 2/1.5
14.( 1 2e2 , 1]
15.【详解】(1)解： = 2 时， = { | 2 ≤ ≤ 5}， = { |3 ≤ ≤ 5}
所以 = { | < 3 或 > 5}，
所以 ∪ = { | 2 ≤ ≤ 5}
∩ ( ) = { | 2 ≤ < 3}；
(2) ∵ ∪ = ，
∴ ，
①若 = 时， + 1 > 2 + 1，解得 < 0，符合题意；
+ 1 2 + 1
②若 ≠ 时，{ + 1 5 ，解得 0 ≤ ≤ 2．
+ 1 2
综上可得 ≤ 2．
16.【详解】(1)零假设为 0：性别因素与锻炼的经常性无关，
2 = ( )
2
因为 ( + )( + )( + )( + ) , = + + + ，所以 = 80， = 10， = 30， = 20， = 20，
则 = 10 × 20 30 × 20 = 400，则( )2 = 160000，
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+ = 40， + = 40， + = 30， + = 50，所以( + )( + )( + )( + ) = 40 × 40 × 30 × 50 =
2400000，
2 = ( )
2 80×160000
则 ( + )( + )( + )( + ) = 2400000 ≈ 5.333，
根据小概率值 = 0.01 的独立性检验为 6.635，由 2 ≈ 5.333 < 6.635，
因此可以认为 0成立，即不能认为性别因素与同学锻炼的经常性有关系．
(2)经常锻炼的学生为 50 人(男生 30 人，女生 20 人)，按比例抽取 5 人，其中男生抽取 3 人，女生抽取 2
人．
则 的可能取值为：0，1，2，则：
3 2 1 1 2 ( = 0) = 33 =
1
， ( = 1) = 3 2 = 3， ( = 2) = 3 2 3
10 3 3
= ，
5 5 5 5 10
所以 的分布列为：

0 1 2
1 3 3
10 5 10
1 3 3 6
( ) = 0 × 10 + 1 × 5+ 2 × 10 = 5 = 1.2
17.【详解】(1)因为函数 ( ) = ln 在 = 1 处的切线垂直于 轴，所以 ′(1) = 0．
由 ( ) = ln 得 ′( ) = 1 ，则
′(1) = 11 = 0 = 1，
则 ( ) = ln ， ′( ) = 1 1 =
1
，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0，此时 ( )单调递减；
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0，此时 ( )单调递增；
则 ( )的单调增区间为(1, + ∞)，单调减区间为(0,1)．
(2) ( ) < e 1 + 1，即 ln < e 1 + 1，
即 2 ln e 1 1 < 0，设 ( ) = 2 ln e 1 1，
1 1
则 ′( ) = 2 e 1 = 2 e 1 ，令 ( ) = 2 e
1 1，
则 ′( ) = 2 e 1 + e 1 ，
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再设 ( ) = e 1，则 ′( ) = e 1( + 1)，因为 > 1，则 ′( ) > 0 恒成立，
则 ( )在(1, + ∞)上单调递增，则易知 ′( ) = 2 e 1 + e 1 在(1, + ∞)上单调递减，
则 ′( ) < ′(1) = 0，则 ( ) = 2 e 1 1 在(1, + ∞)上单调递减，
则 ( ) < (1) = 0，则 ′( ) < 0 在(1, + ∞)恒成立，
则 ( ) < (1) = 0，即 ( ) < e 1 + 1．
18.【详解】(1)如图，连接 ，直线 即为直线 ，
1取 的中点 ，连接 ，则 // , = 2 ，
// , = 1而 2 ，则 // , = ，
四边形 为平行四边形，因此 // ，又 平面 , 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)由 ⊥ ，且 = = 2 2，得 = 4，
又 为正三角形，则 = = = 4，
又 = 2 2, = 2 6，则 2 = 2 + 2， ⊥ ，
而 ⊥ , // ，于是 ⊥ ，又 ∩ = , , 平面 ，
则直线 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(3)延长 至 ，使得 = = 2，即 = ，连接 ，
又 // , ⊥ ，则四边形 为正方形，连接 ∩ = ，
过点 作 ⊥平面 ，以 为原点，直线 , , 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，
由 , , , 四点在以 6为半径的球面上，由球的性质知球心 在 轴上，设点 (0,0, )，
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于是( 6)2 = 2 + 2 = 2 + 22，解得 = 2，即 (0,0, 2)，
又 为正三角形，连接 ，则 ⊥ ，
又 ⊥ , ∩ = , , 平面 ，
于是 ⊥平面 ，点 在坐标平面 内，设点 ( , 0, )，又 (0, 2,0)，
则 = 2 + ( 2)2 = 6, = 2 + ( 2)2 + 2 = 4，
解得 = 2 2，因此四棱锥 的高 = 2 2，
1
直角梯形 的面积 = 2 ( + ) =
1
2 (2 2 + 2) 2 2 = 6，
1
所以四棱锥 的体积 = 3 =
1
3 6 2 2 = 4 2．
19.【详解】(1)对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为 0.6，且每次试验之间的结果是独立的，
(3, 3 ), ( ) = 3 × 3 9则 ～ 5 5 = 5 , ( ) = 3 ×
3 × 2 = 185 5 25
服从超几何分布， 的可能取值为 1，2，3，则
C2C1 3 C1C2 3 C3
( = 1) = 2 3
1
3 = 10 , ( = 2) =
2 3 3
C C3
= , ( = 3) = 3 =
5 5 5 C5 10
∴ ( ) = 1 × 3 + 2 × 3+ 3 × 1 910 5 10 = 5，
2 2
( ) = 1 9 × 3 + 2 9 × 3 + 3 9
2
× 1 95 10 5 5 5 10 = 25，
3 3 1 9 2 9
或 ( ) = 12 × 10 + 2
2 × 25 + 3 × 10 5 = 25；
4
(2) ∵ ( ) =
6×A9 = 3 35 5，即采用不放回摸球，每次取到红球的概率都为 = 5：A10
3 4 81
∴ ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) = 5 = 625
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4 1
又 1 2 3 4 =
A6C6 = 6×5×4×3×6 1 81
A510 10×9×8×7×6
= 14 < 625，
则 1 2 3 4 < 1 2 3 4 ．
2
(3)因为 = C2 3 2 542 3 5 × 5 = 125 ( = 0.432)，
C23 C
1 3
2
3 1
3 5
5 5 22 5 18
3
5 1 1 = C3 = ( 1)( 2) = 25
× ( 1)( 2)，
6
318 5 1∵ 1 2 ≤ 0.003，即25 × ( 1)( 2) 0.432 ≤ 0.003，
18
3 1 3 1 29
即 5 525 × ( 1)( 2) ≤ 0.435，即( 1)( 2) ≤ 48，
由题意知( 1)( 2) > 0 3，从而 48 5 1 ≤ 29( 1)( 2)，
化简得 2 195 + 290 ≥ 0，
解法 1：
> 0 290 290又 ，∴ + ≥ 195，令 ( ) = + ( > 0)，
′( ) = 1 290
2
= 290则 2 2 ，
所以当 0 < < 290时 ′( ) < 0，当 > 290时 ′( ) > 0，
所以 ( )在 0, 290 上单调递减，在( 290, + ∞)上单调递增，
( 290此处证单调性另解： ( ) = + ( > 0)为对勾函数，
( ) = + 290 ≥ 2 290 ≈ 34.06，(当且仅当 = 290时取等)．
所以 ( )在 0, 290 上单调递减，在( 290, + ∞)上单调递增)，
所以 ( )在 = 290 ≈ 17.03 290处取得最小值，从而 = + 在 ≥ 18 时单调递增，
当 ≤ 20 时， + 290 < 147，又 193 +
290
193 ≈ 194.50 < 195，194 +
290
194 ≈ 195.49 > 195，
∴当 ≥ 194 时，符合题意
2 3
考虑到5 ，5 都是整数，则 一定是 5 的正整数倍，
所以 至少为 195 时，在误差不超过 0.003(即 1 2 ≤ 0.003)的前提下认为超几何分布近似为二项分布．
解法 2：
化简得 2 195 + 290 ≥ 0，
2 2
< 195 195 4×290 195+ 195 4×2902 或 2 ，
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∵ 为整数，∴ ≤ 1 或 ≥ 194
∵ 25
3
，5 都是整数，则 一定是 5 的正整数倍，
所以 至少为 195 时，在误差不超过 0.003(即 1 2 ≤ 0.003)的前提下认为超几何分布近似为二项分布．
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