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绝密★启用前
试卷类型：A
九年级教学质量监测
数学
注意事项：
1．全卷满分120分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列判断正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则b的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD的中点，若，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
6．将一元二次方程配方后得到的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．2025年暑假，西安某景区单日客流量大约50万人次．而2023年暑假，该景区单日客流量大约36万人次，设这两年暑假该景区单日客流量的年平均增长率为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，，直角三角形EOF的直角顶点在正方形的中心点O处，直角三角形EOF与正方形分别交于点M，N，则MN的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．3 D．6
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．如果关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是______．
10．如图，在中，对角线，请你添加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，你添加的条件是______．（答案不唯一，写出一个即可）
11．一个非零数的平方的3倍等于这个数的2倍，则这个数是______．
12．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行．如图，战旗护卫队排成的队伍是菱形，记为ABCD，其中，，则菱形ABCD的面积为______．
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，，P是BD上一点，且，则PD的长为．
14．如图，在矩形ABCD中，，，在AD上任取一点M，连接BM，以BM为边作，且，，连接CN．当CN最短时，的周长为______．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15．（本题满分5分）解方程：（配方法）
16．（本题满分5分）解方程：（公式法）
17．（本题满分5分）解方程：．
18．（本题满分5分）如图，四边形ABCD是矩形，请用尺规作图法作菱形EBFD，其中点E，F分别在AD，BC上．（不写作法，保留作图痕迹）
19．（本题满分5分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，取OA，OD，AD的中点E，F，M，并连接ME，MF，求证：四边形EOFM为菱形．
20．（本题满分5分）某学校在做参加最美校园评选的准备工作，校园园艺师计划在校园的一块矩形空地上建造一个花坛，要求花坛的面积是矩形面积的一半，其余部分进行智能化改造．九年级八班的同学们负责设计方案，同学们分成了2个大组来进行研究，具体分工与作法如下：
①好学小组测得矩形空地的长是16米，宽是12米．
②创新小组的设计如图所示．在矩形内部设计两条宽度相等的道路用来建造花坛，四周的四个小矩形用来进行智能改造．
请聪明的你用所学的数学知识，帮助创新小组进行计算，当道路的宽是多少时，这样的设计符合要求？
21．（本题满分6分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，过点D作，且，连接CE，延长DE，BC交于点F．
（1）求证：四边形DOCE是矩形．
（2）若菱形ABCD的面积为16，则的面积为______．
22．（本题满分7分）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有实数根．
（2）若m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数，求m的值．
23．（本题满分7分）真正的学习是自学的，下面是小诗同学的数学笔记，请认真学习笔记内容．
解方程：．
解：设，则原方程化为，
解得，（舍去）．
当时，，
解得，．
总结：①解方程的过程中，设，用到了换元法，把看作一个整体a，先解关于a的一元二次方程．
②注意取值范围，舍去不符合条件的a的值，再求出x的值．
根据小诗同学笔记本上的内容，解方程：．
24．（本题满分8分）某学校艺术节期间举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操场，学校利用操场东北角的一面最大长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2米宽的小门，方便参加比赛的选手出入．设矩形场地的宽EF为x米．
（1）请你写出FN的长为______米．（用含x的代数式表示）
（2）若围成的矩形场地的面积为384平方米，请你求出宽EF．
25．（本题满分8分）学习数学最好的方式是自学加深度思考，持续探索．学完配方法，小美同学认真阅读了课本第39页的读一读，自学了数学家赵爽的关于一元二次方程的解法．她继续探索阿拉伯数学家阿尔·花拉子米的方法．她通过网络收集的材料如下：
阿尔·花拉子米是著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形巧妙解出了一元二次方程的一个解．如图，将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x、宽为1的长方形拼合在一起，面积就是，而由原方程变形得，即边长为的正方形的面积为36，据此可得．
（1）请你运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形，画出拼接的正方形并求出正根．
（2）反思总结：这种方法用到的数学思想是______．
26．（本题满分12分）
【问题提出】
（1）如图1，正方形ABCD的边长为6，M是对角线BD上的一个动点，N是边BC的中点，连接MN，MC，则在点M的运动过程中，的最小值为______．
【问题探究】
（2）如图2，四边形ABCD是菱形，，M，N是对角线BD上的动点，MN的长度为4且始终保持不变，连接AM，CN，求的最小值．
【问题解决】
（3）某国防教育基地在操场训练军体拳，要求训练方阵为正方形ABCD，如图3．为了效果更好，站在AE处的学生队伍要平分，其中，教学生军体拳的主教官站在点D处，另外两位教官分别在边AD上的点M处和边AE上的点N处指导纠正学生的动作，即M，N分别为边AD，AE上的动点．通过记录并计算，得到的最小值为请你计算学生训练方阵正方形ABCD的边长．

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