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广东省广州奥林匹克中学 2026届高三上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = ，集合 = 2 2 > 0 ， = = lg( 1) ，则 ∩ =( )
A. > 2 或 < 0 B. 1 < < 2
C. 1 < ≤ 2 D. 1 ≤ ≤ 2
2.已知复数 = 3+ (1 3 )2， 是 的共轭复数，则 =
A. 14 B.
1
2 C. 1 D. 2
2 23.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)
2 5
的顶点到渐近线的距离为 3 ，焦点到渐近线的距离为 5，则该双曲
线的方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2A. 9 5 = 1 B. 4 5 = 1 C.

5
= 1 D. 9 5 4 = 1
4.已知 : ∈ R, 2 + 1 < 0 成立， :函数 ( ) = ( 1) 是减函数，则 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知 sin = 35， 是第二象限角，且 tan( + ) = 1，则 tan 的值为( )
A. 7 B. 7 C. 34 D.
3
4
6 3.已知函数 ( )满足 ( ) + 2 (1 ) = ，则 ( )在点(
1
2 , 2)处的切线方程为( )
A. 4 + 4 = 0 B. 12 4 = 0 C. 2 2 + 3 = 0 D. 12 + 4 = 0
7 mg.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 (单位： L )与时间 (单位：h)间的关系
为 = 0e ，其中 0、 是正的常数.如果前 5 h 消除了 10％的污染物，那么前 10 h 消除的污染物的占比
为( )
A. 19％ B. 20％ C. 28％ D. 81％
8.已知函数 = ( )( ∈ )满足： ( + 2) = ( )，且当 ∈ [ 1,1]时， ( ) = 2，那么方程 ( ) = lg
的解的个数为( )
A. 1 个 B. 8 个 C. 9 个 D. 10 个
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2， 、 分别是 ， 1的中点，则( )
A. 1// B. 1 ⊥
C. 1//平面 D.三棱锥 1 的体积为 1
10.已知函数 ( ) = sin( + )(其中 > 0, > 0, | | < π) 5π的部分图象如图所示，图像经过点( 12 , 0)，关
2π
于直线 = 3 对称，则下列说法正确的是( )
A. ( ) π的图象关于点 6 , 0 中心对称
B. ( ) π在区间 3 ,
π
6 上单调递增
C. ( ) = π的图象关于直线 3对称
D. π 23π 8π直线 = 1 与 = ( )( 12 ≤ ≤ 12 )图象的所有交点的横坐标之和为 3
11.记 ( )( )为函数 ( )的 阶导数， ( )
′
( ) = ( 1)( ) ≥ 2, ∈ ，若 ( )( )存在，则称 ( ) 阶可
′
导．英国数学家泰勒发现：若 ( )在 附近 + 1 阶可导，则可构造 ( ) = + 00 0 1! 0 +
(2) ( )0
2!
2 + + 00 !

0 (称其为 ( )在 0处的 次泰勒多项式)来逼近 ( )在 0附近的函数
值．下列说法正确的是( )
A. π若 ( ) = sin ，则 ( )( ) = sin + 2
B.若 ( ) = 1 ( ) ，则 ( ) = ( 1) ( ! )
( +1)
2 3
C. ( ) = e 在 0 = 0 处的 3 次泰勒多项式为 3( ) = 1 + +

2 +

6
D. cos1 ≈ 0.55(精确到小数点后两位数字)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.各项均为正数的等比数列 中，且 2 = 1 1， 4 = 9 3，则 4 + 5等于 ．
13.已知( 1)(2 + 1)7 = 0 + 1 + 22 + + 8 8，则 2等于 ．
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14.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 1、2、3、4 外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，
再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主
持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了 1 号箱，若用
表示 号箱有奖品( = 1,2,3,4)，用 表示主持人打开 号箱子( = 2,3,4)，则 2∣ 3 = ； 2 = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
3 2
已知数列 的前 项和 满足 = 2 ，数列 log3 是公差为 1 的等差数列， 1 = 1．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 = 2 +1 + 2 +1，求数列 的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
过四棱柱 1 1 1 1的顶点 作截面 ，其中底面 是菱形，∠ = 60°．
(1)证明：截面 是平行四边形；
(2)已知 是正三角形，平面 ⊥平面 ，且 = 2， = 3，求直线 与平面 所成角的正
弦值．
17.(本小题 15 分)
为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影
响，为此随机抽查了男女生各 100 名，得到如下数据：
锻炼
性别
不经常 经常
女生 40 60
男生 20 80
(1)依据 = 0.01 的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)从这 200 人中随机选择 1 人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
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(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动
的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第 1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能
地将球传给另外两个人中的任何一人.求第 次传球后球在甲手中的概率．
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
18.(本小题 17 分)
已知椭圆 3的中心为坐标原点，对称轴为 轴、 轴，且过 (0, 2), 2 , 1 两点．
(1)求 的方程；
(2)设过点 (1, 2)的直线交 于 ， 两点，过 且平行于 轴的直线与线段 交于点 ，点 满足 = .
证明：直线 过定点．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + sin ．
(1)当 = 1 时，求 ( )的极小值；
(2)当 ≥ 0 时， ( ) ≥ 0，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.27
13. 70
14.12/0.5
1
； 3
2
15. 3 , = 1【详解】(1)由 1 = 2 得 = , 1, ≥ 2
当 = 1 时， 1 = 1 =
3 1
2 = 1，
2
≥ 2 = = 3 3( 1)
2 ( 1)
当 时， 1 2 2 = 3 2，所以 = 1 满足 ≥ 2 时的情况，
所以 = 3 2，
因为log3 = log3 1 + ( 1) × ( 1) = 1 ，所以 = 31 ；

(2)因为 = 2 +1 + 2 +1 = 3(2 + 1) 2 + 31 (2 +1) = 6 + 1 +
1
9 ，
1 1
= (7+6 +1) 9
1 9
所以 2 + 1 ，所以 = 3
2 + 4 + 1 1 1 ．
1 8 9 9
16.【详解】(1)因为平面 ∩平面 1 1 = ，平面 ∩平面 1 1 = ，
因为平面 1 1//平面 1 1，所以 // ，同理 // ，
所以四边形 是平行四边形；
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(2)解法一：设 的中点是 ，连 , .因为底面 是菱形，∠ = 60°，所以 是正三角形，所
以 ⊥ .
因为面 ⊥面 ， 是面 与面 的交线，所以 ⊥面 ，
设 的中点是 ，连 , ，所以 // ，所以 ⊥面 .所以∠ 是 与面 所成的角， 因为
∠ = ∠ = 3， = 3， = 1，所以 = 7，所以 sin∠ =
30
10 ．
解法二：设 的中点是 ，连 ．∵ 是正三角形，
∴ ⊥ ，∵面 ⊥面 ， 是面 与面 的交线，且 面 ，∴ ⊥面 ．
∵ 底面 ABCD 是菱形，∠ = 60°，∴△ 是正三角形，
∴ ⊥ . ∴ ⊥ 面
建立如图的空间直角坐标系，
1
则有 (0,1,0), 3, 0,0 , 3, 2,0 , 3, 2 , 0 ,
1 3 3 1 3 3
3,2 ,

2 , ∴ = 3,2 , 2 .
而面 //面 ，所以面 的法向量是 = (1,0,0)，
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3 30∴ cos , = sin30 = = = ,
2 10
1 × 3+ 1
2
+ 3 32 2
所以直线 与面 30所成角的正弦值 10 ．
17. (1) 2 = 200×(40×80 60×20)
2
【详解】 100×100×60×140 ≈ 9.524 > 6.635，
故依据 = 0.01 的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)设从这 200 人中随机选择 1 人，设选到经常锻炼的学生为事件 ，选到的学生为男生为事件 ，
则 ( ) = 80， ( ) = 140
= ( )则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率 ( ) =
80 4
140 = 7；
(3)设 次传球后球在甲手中的概率为 ， = 1,2,3 ，
1 1 1则有 1 = 0， +1 = 2 1 + 0 = 2 + 2，
设 +1 + =
1 + = 1 32 ，则 +1 2 2 ，
所以 32 =
1 = 12，解得： 3，
所以 1 = 1 1 1 1 +1 3 2 3 ，其中 1 3 = 3，
1 1 1故数列 3 是以 3为首项， 2为公比的等比数列，
1 1 1
所以 3 = 3 ×
1
2 ，
1 1
故 = 1 1 1 1 1 3 3 × 2 = 3 1 2 ，
1 1
1
故第 次传球后球在甲手中的概率为3 1 2 ．
18. (1) 2 + 2 = 1 (0, 2), 3【详解】 解：设椭圆 的方程为 ，过 2 , 1 ，
4 = 1 1 1
则 9 ，解得 = ， = ，
4 + = 1 3 4
2 2
所以椭圆 的方程为： 4 + 3 = 1．
(2) (0, 2), ( 32 , 1)
2
，所以 : + 2 = 3 ，
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2 2
①若过点 (1, 2)的直线斜率不存在，直线 = 1.代入 3 + 4 = 1，
可得 (1, 2 6 2 63 )， (1, 3 )，代入 =
2
方程 3 2，可得
( 6 + 3, 2 6 )，由 3
= 得到 ( 2 6 + 5, 2 63 ).求得 方程：
= (2 + 2 63 ) 2，过点(0, 2)．
②若过点 (1, 2)的直线斜率存在，设 ( + 2) = 0, ( 1, 1), ( 2, 2)．
( + 2) = 0
联立 2 2 ,得(3 2 + 4) 2 6 (2 + ) + 3 ( + 4) = 0，
3 + 4 = 1
6 (2+ ) 8(2+ )1 + 2 = 2 1 + 2 = 3 2+4
可得 3 +4
= 3 (4+ )
, 4(4+4 2 2) ,
1 2 3 2+4 1 2 = 3 2+4
且 1 2 + 2 1 = 1 1 1 2 + 2 1 1 2 = 2 1 2 ( + 2) 1 + 2
6 2(4+ ) 6 (2+ ) 24
= ( + 2) =
3 2 +4 3 2 +4 3 2 +4
24 即 1 2 + 2 1 = 3 2+4 ( )
= 1 3
联立 1 = 2 2 ,可得 ( 2 + 3, 1), (3 1 + 6 1, 1).3

可求得此时 : 1 22 = 3 +6 ( 2)，1 1 2
将(0, 2)，代入整理得 2( 1 + 2) 6( 1 + 2) + 1 2 + 2 1 3 1 2 12 = 0，
将( )代入，得 24 + 12 2 + 96 + 48 24 48 48 + 24 2 36 2 48 = 0,
显然成立，
综上，可得直线 过定点(0, 2).
19.【详解】(1)当 = 1 时， ( ) = 2 + sin ，则 ′( ) = 2 1 + cos
令 ( ) = ′( ) = 2 1 + cos ，则 ′( ) = 2 sin > 0，
所以 = ( )在 上单调递增，
又因为 (0) = 0，所以当 < 0 时， ( ) = ′( ) < 0，此时 ( )单调递减；
当 > 0 时， ( ) = ′( ) > 0，此时 ( )单调递增；
故 ( )在区间( ∞,0)上单调递减，在区间(0, + ∞)上单调递增．
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所以 = 0 为函数 = ( )的极小值点，极小值 (0) = 0．
(2)当 = 0 时，符合题意；
sin
当 ∈ 0, π 时，得 ≥ 2 ．
令 ( ) = sin ′ 2 , ( ) =
cos +2sin
3 ，
令 ( ) = cos + 2sin ，
则 ′( ) = cos + sin 1，令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = cos ，
∈ 0, π当 2 时，
′( ) > 0, ′( )单调递增，
π
当 ∈ 2 , π 时，
′( ) < 0, ′( )单调递减，
因为 ′(0) = 0, ′ π2 =
π ′
2 1 > 0, π = 2，
∈ π所以存在 ′0 2 , π ，使得 0 = 0，
且在 0, 上 ′0 ( ) > 0，在 0, π 上 ′( ) < 0，
( )在 0, 0 单调递增，在 0, π 单调递减，
又因为 (0) = 0, π = 0，
即当 ∈ 0, π 时， ′( ) > 0, ( )单调递增；
1
所以当 ∈ 0, π 时， ( ) ≤ π = π．
当 ∈ π, + ∞ 1时，令 ( ) = 2π + sin ，
′( ) = 2π 1 + cos >
2
π × π 1+ cosπ = 0，
则 ( )在 π, + ∞ 上单调递增，此时 ( ) > π = 0，
∈ π, + ∞ sin 1故当 时， 2 < π．
sin ≤ 1所以 2 π，
1
故 的取值范围为 π , + ∞ ．
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