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2025年秋季学期高二9月月考数学试卷参考答案

【解答】依题意得，
又，则．

【解答】因为直线的斜率为，所以的倾斜角为．

【解答】由题意知，即，解得或，
经过验证可得：时两条直线重合，舍去．

【解答】向量在向量上的投影向量为．

【解答】由题意，
因为函数为奇函数，所以，则，
又，所以当时，有最小值是．

【解答】依题意，有且，
解得，又当时，，
当时，，因为在上单调递减，所以解得，综上：．

【解答】设关于直线的对称点为，，
当、、三点共线时，取得最大值 ．

【解答】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体体对角线的交点，

以为原点，、、所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
所以，，，，，，
设三棱锥外接球的半径为，，则，
，，
，，，，
，
，
所以，
当时，取得最小值．

【解答】这天日均值单位：从小到大为，，，，，，，，，，所以众数为，故A正确
因为第百分位数为，所以B错误
因为平均数为，所以C正确
因为前天的均值为，所以前天的方差为，
因为后天的均值为，所以后天的方差为，故D正确．

【解答】两点，到直线的距离相等，
，化为．，解得或．

【解答】选项A，取的中点，连接、，则．
由题可知，和均为等边三角形，
由对称性可知，在翻折的过程中，与平面所成的角为，
当时，为等边三角形，此时，即选项A错误；
选项B，当点在平面内的投影为的重心点时，有平面，，
又平面，，
又，、平面，平面，平面，，即选项B正确；
选项C，当二面角的大小为时，平面平面，
，，平面平面，平面，
平面，平面，，又，为等腰直角三角形，
，即选项C正确；
选项D，取的中点，，若点到平面的距离为，则平面，
平面，，由，，得，
又，，在中，，显然不成立，故D错误．

【解答】 为纯虚数，则解得．

【解答】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，故，
所以，故，
所以异面直线和所成角的大小为．

【解答】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
注意到动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点，
则有，，
故当且仅当时取等号
15. 解：因为直线：，：，时，
则，解得，此时直线的方程为，
所以两条直线间的距离；
当时，则直线的方程为：，
联立，解得，，即两条直线的交点的坐标为，
又因为所求的直线垂直于，设所求的直线方程为，
将点的坐标代入可得，解得．
所以直线的方程为．
16. 解：由，可得，
即，所以，
所以，因为，所以，又，所以．
由余弦定理可得，
因为，所以，即，当且仅当时，等号成立．
故面积的最大值为．

17. 解：为线段的中点，，，，
；
．
18. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），（ii）
解（1）由于，故，则，
由于E为AC的中点，所以，
因为平面，故平面，又平面，
故平面平面.
（2）（i）因为，
所以为边长为2的等边三角形，则，，
，又平面，
故平面，故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
令，则，平面的一个法向量为，
所以，由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为；
（ii）设则，所以，
则，
当且仅当时取到等号，故的最大值为
19. 解：由已知可得直线的方向向量，
平面的法向量，记直线与平面所成角为，
则，，
，直线与平面所成角的余弦值为；
由已知可得平面的法向量，
在平面内任取一点．又，则，
点到平面的距离故点到平面的距离；
由集合，知，
是一个底面以为棱长，高为的正四棱柱，则
由集合，，知，
由一个棱长是的正方体和个高为的正四棱锥构成，
如图所示，设几何体相邻两个面有公共棱所成的角为，
平面：，设法向量，
平面：，设法向量，
所以，，几何体相邻两个面有公共棱所成的二面角为 2025年秋季学期高二9月月考数学试卷
总分：150分 时长：120分钟 命题人：
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.直线：的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知直线：与：平行，则实数的值为
A. 或 B. 或 C. D.
4.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像若函数为奇函数，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知是上的减函数，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.点在直线上运动，，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，，，两两垂直，且若为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物某地月日到日的日均值单位：分别为，，，，，，，，，，则关于这天中日均值的说法正确的是( )
A. 众数为 B. 第百分位数是
C. 平均数是 D. 前天的方差比后天的方差小
10.已知两点到直线的距离相等，则的值可取( )
A. B. C. D.
11.如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连接，则在翻折过程中，下列说法正确的是( )
A. 与平面所成的最大角为
B. 存在某个位置，使得
C. 当二面角的大小为时，
D. 存在某个位置，使得到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是纯虚数，则 ．
13.直三棱柱中，，，点是的中点，则异面直线和所成角的大小为 ．
14.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，：，其中为实数．
当时，求直线，之间的距离；
当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程．
16.本小题分
记的内角 所对的边分别为，已知．
求；
若，求面积的最大值．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．
以、、为一组基底表示向量；
若，，，求．
18.本小题分
如图，四面体中，，，， 为的中点.
证明：平面；
设，，点在线段上，
（i）求二面角的余弦值；
（ⅱ）记与平面所成角为，求的最大值.
19.本小题分
在空间直角坐标系中，已知向量，点若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为．
已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值
已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离
若集合，，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积
(ⅱ)若集合，，，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面有公共棱所成二面角的大小．

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