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北师大版（2024）八年级数学上册第七章《证明》
7.2认识证明（2）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 七
课题 认识证明 课时 1
课标要求 新课标强调培养学生的核心素养，本即可重点指向：推理意识、模型意识和应用意识，本节课了解公理、定理的概念，能否正确区分定理、公理和命题。能根据公理对定理进行证明。
教材分析 本节课主要学习定理、公理和定理的证明，了解8个公理，证明知识在贯穿于整个初中数学知识体系,但作为单独的章节进行学习,还是首次,在设计上体现了对数学本原的思考,关注的是数学知识的产生和发展过程,目的就是为了通过本节课以及后续知识的学习,使学生感受整个数学体系的建立和完善的过程,是由实验几何向推理几何过渡的重要章节.
学情分析 本节课针对的是八年级上学期的学生,他们在数学学习上已经有了一定的积累,但这是他们第一次接触到严格的几何定理证明，要让学生初步体会证明的思路与书写的过程，这将会是他们学习上的一大难点
核心素养目标 1．了解公理、定理和证明的概念，会区分定理、公理和命题。2．了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题．3．通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力．
教学重点 公理、定理的定义及其区别和联系
教学难点 如何证明命题
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义 2、命题:判断一件事情的句子,叫做命题.3、命题的结构:每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.4、命题的特征:一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.5、命题的分类:真命题和假命题练习：判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题则举一个反例加以说明.(1)一个钝角、一个锐角的和必为一个平角；【假命题，92°+ 30° ≠ 180°】（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；【假命题，只有两条直线平行时才对】（3）两个锐角的和等于直角；【假命题. 30° + 50° ＝ 80° ≠ 90°】 （4）有三条边对应相等的两个三角形全等；【真命题】 学生回顾定义与命题的概念，命题的形式、结构和分类。并完成课前检测题。 用温故知新的形式引入，让学生及早融入课堂，积极思考，更重要的是，希望学生明白命题的重要性，为学习定理和公理奠定基础.
三、探究 1、公理 ：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.2、定理 ：数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 。3、常用的公理；（1）数与式的运算定律和运算法则都可以看作公理.(2)等式和不等式的有关性质都可以看作公理(3)在等式中,一个量可以用它相等的量来代替.例如:如果 a=b , b=c ,那么 a=c , 这一性质也可看作公理,称为“等量代换”.又如:如果 a＞b , b＞c ,那么 a＞c , 这一性质也可看作公理。常用的定理（目前学过的）（1）两点确定一条直线;（2）两点之间线段最短;（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这 两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）;（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;（8）三边分别相等的两个三角形全等.5、公理、定理和命题的关系 理解定理和公理的含义了解常见的公理和定理。小组交流讨论公理、定理、命题三者之间的关系。 讲授公理和定理的含义和命题需要和命题结合，使学生明白公理和定理都属于真命题，都可以用来证明命题的。从而理解公理、定理、命题之间的联系
四、典例精析 1、证明同角的补角相等已知：∠2是∠1的补角，∠3是∠1的补角。求证：∠2=∠3证明：∵∠2是∠1的补角 ( 已知 ) ∴ ∠2＋∠1＝180° ( 补角定义 ) ∴ ∠2＝180°-∠1 （等式性质）同理，∠3=180°-∠1∴ ∠2=∠3 ( 等量代换 )2、证明同角的余角相等已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角。求证：∠2=∠3证明：∵∠2是∠1的余角 ( 已知 ) ∴ ∠2＋∠1＝90° ( 余角定义 ) ∴ ∠2＝90°-∠1 （等式性质）同理，∠3=90°-∠1∴ ∠2=∠3 ( 等量代换 )3、证明对顶角相等已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。求证：∠AOC =∠BOD证明：∵直线AB与直线CD相交于点O （已知） ∴ ∠AOB与∠COD都是平角 （平角的定义） ∴ ∠AOC＋∠AOD＝180° ( 等式性质) 同理∠COB=180°-∠AOC ∴ ∠AOC =∠BOD ( 等量代换 )4、证明三角形任意两边之和大于第三边。证法1已知：三角形ABC求证：AB+AC＞BC证明：根据几何公理“两点之间线段最短”，在三角形ABC中： 从点B到点C的最短路径是线段 BC，而路径B →A → C 的长度为 BA+AC。由于线段 BC是两点间的最短路径，因此有 BA+ AC>BC 。 同理，可得 AB+BC> AC和 AC+BC >AB 证法2（反证法）已知：三角形ABC求证：AB+AC＞BC证明：假设存在三角形ABC,AB+ACBC, 根据几何公理， 若AB+AC=BC,则A点在线段BC上，A，B、C三点共线，此时无法构成三角形。如图1 若AB+AC＜BC,则与公理“两点之间线段最短” 矛盾，因此假设不成立。故原命题成立。如图2 1、教师示范证明同角的补角相等，学生仿照证明同角的余角相等、对顶角相等。2、小组交流讨论证明三角形任意两边之和大于第三边。，然后形成两个基本的证明方法。 如何证明命题，是本节课的难点，通过对4个定理的证明，使学生了解证明的基本格式，注意书写的规范性和每一步的依据是什么
五、尝试 基础达标1.下列四个句子中是命题的是 ②③④ （填序号） ①延长线段AB. ②对顶角相等. ③同旁内角不互补，两条直线就不平行. ④在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.2、下列命题是真命题的是 ①②⑤(填序号). ①对顶角相等. ②直角都相等. ③相等的角是对顶角. ④ 若a2=4 a=2.⑤若|a|>|b|，则a2＞b2.3.“对顶角相等”是 真 命题(真、假)，写成“如果…，那么…”的形式__如果两个角是对顶角，那么这两个角相等__4.下列语句中，是命题的是（ C ） A. 直线AB和CD垂直吗 B. 过线段AB的中点C画AB的垂线C. 同旁内角不互补，两直线不平行 D. 连接A，B两点5.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举一个反例并画出图形，说明其是假命题.解：如图，∠1＞90°，∠2＜90°， ∠2是∠1的补角，而∠2＜∠1.所以，“任何一个角的补角都不小于这个角“是假命题.6.根据题意，把下列推理的依据写出来，并指出是公理还是定理．①如图所示，若∠1＝∠2，则a∥b；内错角相等，两直线平行，是定理.②在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，则△ABC≌△A′B′C′； 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理.③如果a=b，b=c，那么a=c.等量代换，是公理．能力提升7.如图，EG∥AF，请你从下面三个等式中再选两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题(只需要写出一种情况)，并给予证明．①∠B＝∠ACB；②DE＝DF；③BE＝CF.已知：EG∥AF，∠B＝∠ACB，DE＝DF．求证：BE＝CF．证明：∵EG∥AF，∴∠GED＝∠F，∠EGD＝∠DCF.又∵DE＝DF，∴△EGD≌△FCD(AAS). ∴EG＝CF.∵EG∥AF， ∴∠EGB＝∠ACB.∵∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠EGB.∴BE＝EG.∴BE＝CF.(答案不唯一)拓展迁移：8.请你完成命题“有两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等”的证明．(画出图形，写出已知、求证，并完成证明)解：已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线，AD＝A′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线，∴BD＝BC，B′D′＝ B′C′.∵BC＝B′C′，∴BD＝B′D′.在△ABD和△A′B′D′中，∴△ABD≌△A′B′D′(SSS). ∴∠B＝∠B′.在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). 完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸1公理：不需要推理证实的真命题2、定理：定理都是真命题3、公理和定理都可以作为推理论证其他命题的依据.4、证明的一般步骤：(1)根据题意分析题中的条件和问题，几何题画出图形；(2)根据条件和结论，结合图形写出已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 引导学生进行课堂小结。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ B ） A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ C ） A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题3.下列关于“证明”的说法正确的是（ C ）A. “证明”是一种命题 B. “证明”是一种定理C. “证明”是一种推理过程 D. “证明”就是举例说明4、 下列说法错误的是（ A ）A. 所有的命题都是定理 B. 定理是真命题C. 公理是真命题 D. “画线段AB=CD”不是命题5.如图，已知AC⊥BC，C为垂足，E是BC上一点，并且∠1＝∠2.试问：DE与BC有何位置关系？请说明理由.解：DE⊥BC.理由：∵∠1＝∠2，∴AC∥DE.∴∠ACE＋∠DEC＝180°.∵AC⊥BC，∴∠ACE＝90°.∴∠DEC＝180°－90°＝90°.∴DE⊥BC.能力提升：6.对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题（至少写两个命题）．解：答案不唯一，如：若a∥b，b∥c，则a∥c； 若a∥b，a∥c，则b∥c；若b∥c，a∥c，则a∥b； 若a⊥b，a⊥c，则b∥c；若a⊥b，b∥c，则a⊥c； 若b∥c，a⊥c，则a⊥b．拓展迁移：7、阅读下面内容，并解答问题．在学行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥BC，直线EF分别交AB，CD于点E，F.∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G.求证： ．(1)请补充要求证的结论，并写出证明过程；(2)请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择______题．A.在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为______．B.如图3，AB平行CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F.点O在直线AB、CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠EFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为______．解:(1) EG⊥FG (2)已知：AB∥CD，EG是∠BEF的平分线，FG是∠DFE的平分线 求证：EG⊥FG 证明：∵AB∥CD（已知） ∴∠BEF+∠EFE=180°（两直线平行同旁内角互补） 又∵EG是∠BEF的平分线，FG是∠DFE的平分线（已知） ∴∠BEG=∠GEF,∠EFG=∠GFD（角平分线定义） ∴∠GEF+∠GFE=90°（等量代换） ∵∠GEF+∠GEF+∠EGF=180°（三角形内角和定理） ∴∠EGF=90° ∴EG⊥FG（3）A.在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为 45°．B.如图3，AB平行CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F.点O在直线AB、CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠EFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 ∠EOF=2∠EPF ．
教学反思
命题
真命题
假命题
公理（正确性由实践总结）
定理（正确性通过推理证实）
命题
真命题
假命题
公理（正确性由实践总结）
定理（正确性通过推理证实）
举反例说明
推理过程就是证明
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第七章 证明
7.2认识证明(2)
01
教学目标
02
知识回顾
03
课前检测
04
探究新知
05
典例精析
06
课堂作业
07
课堂总结
08
作业布置
01
教学目标
了解公理、定理和证明的概念，会区分定理、公理和命题.
01
了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题．
02
通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力．
03
02
温故知新
1、定义:
对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义
2、命题:
判断一件事情的句子,叫做命题.
3、命题的结构:
每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.
4、命题的特征:
一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.
5、命题的分类:
真命题和假命题
03
课前检测
判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题则举一个反例加以说明.
(1)一个钝角、一个锐角的和必为一个平角；
假命题，92°+ 30° ≠ 180°
（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；
假命题，只有两条直线平行时才对
（3）两个锐角的和等于直角；
假命题. 30° + 50° ＝ 80° ≠ 90°
（4）有三条边对应相等的两个三角形全等；
真命题
04
新知探究
探究：公理与定理
公理 ：
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.
定理 ：
数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 。
04
新知探究
数与式的运算定律和运算法则都可以看作公理
等式和不等式的有关性质都可以看作公理
在等式中,一个量可以用它相等的量来代替.
例如:如果 a=b , b=c ,那么 a=c , 这一性质也可看作公理,称为“等量代换”.
又如:如果 a＞b , b＞c ,那么 a＞c , 这一性质也可看作公理。
常用的公理
04
新知探究
1.两点确定一条直线;
2.两点之间线段最短;
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这 两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）;
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;
8.三边分别相等的两个三角形全等.
下列的真命题作为定理：（课本186页)
04
新知探究
定理 同角(等角)的补角相等
定理 同角(等角)的余角相等
定理 对顶角相等
定理 三角形的任意两边之和大于第三边
从这些公理出发，就可以证明已经探索过的结论了。例如，我们可以证明下面的定理;
知识点1
命题
真命题
假命题
公理（正确性由实践总结）
定理（正确性通过推理证实）
05
典例精析
证明定理 同角的补角相等
已知：∠2是∠1的补角，∠3是∠1的补角。
求证：∠2=∠3
证明：∵∠2是∠1的补角
( 已知 )
∴ ∠2＋∠1＝180°
( 补角定义 )
∴ ∠2＝180°-∠1
（等式性质）
同理，∠3=180°-∠1
∴ ∠2=∠3
( 等量代换 )
05
典例精析
证明定理 同角的余角相等
已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角。
求证：∠2=∠3
证明：∵∠2是∠1的余角
( 已知 )
∴ ∠2＋∠1＝90°
( 余角定义 )
∴ ∠2＝90°-∠1
（等式性质）
同理，∠3=90°-∠1
∴ ∠2=∠3
( 等量代换 )
05
典例精析
证明定理 对顶角相等
已知：如图，直线AB与直线CD相交于
点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。
求证：∠AOC =∠BOD
证明：
∵直线AB与直线CD相交于点O
（已知）
∴ ∠AOB与∠COD都是平角
（平角的定义）
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°
( 补角定义)
同理∠COB=180°-∠AOC
∠AOD=180°-∠AOC
( 等式性质)
∴ ∠AOC =∠BOD
( 等量代换 )
05
典例精析
证明定理 三角形任意两边之和大于第三边。
已知：三角形ABC
求证：AB+AC＞BC
证明：根据几何公理“两点之间线段最短”，在
三角形ABC中： 从点B到点C的最短路径是线段 BC，而路径B →A → C 的长度为 BA+AC。由于线段 BC是两点间的最短路径，因此有 BA+ AC>BC 。 同理，可得 AB+BC> AC和 AC+BC >AB 。
证法1
05
典例精析
证明定理 三角形任意两边之和大于第三边。
已知：三角形ABC
求证：AB+AC＞BC
证明：假设存在三角形ABC,AB+AC BC,
根据几何公理， 若AB+AC=BC,则A点在线段BC上，A，B、C
三点共线，此时无法构成三角形。如图1
若AB+AC＜BC,则与公理“两点之间线段最短”
矛盾，因此假设不成立。故原命题成立。如图2
证法2(反证法）
06
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1、下列四个句子中是命题的是 填序号）
①延长线段AB. ②对顶角相等.
③同旁内角不互补，两条直线就不平行.
④在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
2、下列命题是真命题的是___________(填序号).
①对顶角相等. ②直角都相等. ③相等的角是对顶角. ④ 若a24 a=2.⑤若，则a2＞b2.
①②⑤
②③④
06
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.“对顶角相等”是____ 命题(真、假)，写成“如果…，那么…”的形式______________________________________．
4.下列语句中，是命题的是（ ）
A. 直线AB和CD垂直吗 B. 过线段AB的中点C画AB的垂线
C. 同旁内角不互补，两直线不平行 D. 连接A，B两点
5.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举一个反例并画出图形，说明其是假命题.
真
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
C
解：如图，∠1＞90°，∠2＜90°，
∠2是∠1的补角，而∠2＜∠1.
所以，“任何一个角的补角都不小于这个角“是假命题.
06
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
6.根据题意，把下列推理的依据写出来，并指出是公理还是定理．
①如图所示，若∠1＝∠2，则a∥b；
内错角相等，两直线平行，是定理.
②在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，
∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，则△ABC≌△A′B′C′；
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理.
③如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
等量代换，是公理．
06
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7.如图，EG∥AF，请你从下面三个等式中再选两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题(只需要写出一种情况)，并给予证明．
①∠B＝∠ACB；②DE＝DF；③BE＝CF.
已知：EG∥AF，∠B＝∠ACB，DE＝DF．
求证：BE＝CF．
06
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
证明：∵EG∥AF，
∴∠GED＝∠F，∠EGD＝∠DCF.
又∵DE＝DF，
∴△EGD≌△FCD(AAS). ∴EG＝CF.
∵EG∥AF， ∴∠EGB＝∠ACB.
∵∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠EGB.
∴BE＝EG.
∴BE＝CF.(答案不唯一)
06
课堂练习
【综合拓展类作业】
8.请你完成命题“有两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等”的证明．(画出图形，写出已知、求证，并完成证明)
解：已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线，AD＝A′D′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线，
∴BD＝ BC，B′D′＝ B′C′.
∵BC＝B′C′，∴BD＝B′D′.
在△ABD和△A′B′D′中，
06
课堂练习
【综合拓展类作业】
∴△ABD≌△A′B′D′(SSS). ∴∠B＝∠B′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
07
课堂小结
公理：
不需要推理证实的真命题；
定理
定理都是真命题
都可以作为推理论证其他命题的依据.
证明的一般步骤：
(1）根据题意分析题中的条件和问题，几何题画出图形.
(2)根据条件和结论，结合图形写出已知和求证.
(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
08
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1、“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题
2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ）
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题
3.下列关于“证明”的说法正确的是（ ）
A. “证明”是一种命题 B. “证明”是一种定理
C. “证明”是一种推理过程 D. “证明”就是举例说明
4、 下列说法错误的是（ ）
A. 所有的命题都是定理 B. 定理是真命题
C. 公理是真命题 D. “画线段AB=CD”不是命题
B
C
C
A
08
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5.如图，已知AC⊥BC，C为垂足，E是BC上一点，并且∠1＝∠2.试问：DE与BC有何位置关系？请说明理由.
解：DE⊥BC.理由：
∵∠1＝∠2，∴AC∥DE.
∴∠ACE＋∠DEC＝180°.
∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90°.
∴∠DEC＝180°－90°＝90°.
∴DE⊥BC.
08
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
6.对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列论断：
①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．
请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题（至少写两个命题）．
解：答案不唯一，
如：若a∥b，b∥c，则a∥c； 若a∥b，a∥c，则b∥c；
若b∥c，a∥c，则a∥b； 若a⊥b，a⊥c，则b∥c；
若a⊥b，b∥c，则a⊥c； 若b∥c，a⊥c，则a⊥b．
08
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
阅读下面内容，并解答问题．
在学行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，AB∥BC，直线EF分别交AB，CD于点E，F.∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G.求证： ．
(1)请补充要求证的结论，并写出证明过程；
(2)请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择______题．
A.在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为______．
B.如图3，AB平行CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F.点O在直线AB、CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠EFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为______．
08
作业布置
【综合拓展类作业】
解:(1) EG⊥FG
(2)已知：AB∥CD，EG是∠BEF的平分线，FG是∠DFE的平分线
求证：EG⊥FG
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+∠EFE=180°（两直线平行同旁内角互补）
08
作业布置
【综合拓展类作业】
又∵EG是∠BEF的平分线，FG是∠DFE的平分线（已知）
∴∠BEG=∠GEF,∠EFG=∠GFD（角平分线定义）
∴∠GEF+∠GFE=90°（等量代换）
∵∠GEF+∠GEF+∠EGF=180°（三角形内角和定理）
∴∠EGF=90°
∴EG⊥FG
08
作业布置
【综合拓展类作业】
A.在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为______．
B.如图3，AB平行CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F.点O在直线AB、CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠EFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 ．

45°
∠EOF=2∠EPF
Thanks!
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第七章 证明
7.2认识证明导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1．了解公理、定理和证明的概念，会区分定理、公理和命题。
2．了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题．
3．通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力．
学习重点：
公理、定理的定义及其区别和联系
学习难点：如何证明命题
预习自测
知识链接
1、定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义
2、命题:判断一件事情的句子,叫做命题.
3、命题的结构:每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.
4、命题的特征:一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.
自学自测
判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题则举一个反例加以说明.
(1)一个钝角、一个锐角的和必为一个平角；【 】
（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；【 】
（3）两个锐角的和等于直角；【 】
（4）（4）有三条边对应相等的两个三角形全等；【 】
教学过程
一、合作交流、新知探究
1、公理 ：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.
2、定理 ：数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 。
3、常用的公理；
(1)数与式的运算定律和运算法则都可以看作公理
(2)等式和不等式的有关性质都可以看作公理
(3)在等式中,一个量可以用它相等的量来代替.例如:如果 a=b , b=c ,那么 a=c , 这一性质也可看作公理,称为“等量代换”.
又如:如果 a＞b , b＞c ,那么 a＞c , 这一性质也可看作公理。
常用的定理（目前学过的）
（1）两点确定一条直线;
（2）两点之间线段最短;
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这 两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）;
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;
（8）三边分别相等的两个三角形全等.
5、公理、定理和命题的关系
典例精析
1、证明同角的补角相等
已知：∠2是∠1的补角，∠3是∠1的补角。
求证：∠2=∠3
证明：∵∠2是∠1的补角 ( 已知 )
∴ ∠2＋∠1＝180° ( 补角定义 )
∴ ∠2＝180°-∠1 （等式性质）
同理，∠3=180°-∠1
∴ ∠2=∠3 ( 等量代换 )
2、证明同角的余角相等
已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角。
求证：∠2=∠3
证明：∵∠2是∠1的余角 ( 已知 )
∴ ∠2＋∠1＝90° ( 余角定义 )
∴ ∠2＝90°-∠1 （等式性质）
同理，∠3=90°-∠1
∴ ∠2=∠3 ( 等量代换 )
3、证明对顶角相等
已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。
求证：∠AOC =∠BOD
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O （已知）
∴ ∠AOB与∠COD都是平角 （平角的定义）
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180° ( 等式性质)
同理∠COB=180°-∠AOC
∴ ∠AOC =∠BOD ( 等量代换 )
4、证明三角形任意两边之和大于第三边。
证法1
已知：三角形ABC
求证：AB+AC＞BC
证明：根据几何公理“两点之间线段最短”，在三角形ABC中： 从点B到点C的最短路径是线路BC，而路径B →A → C 的长度为 BA+AC。由于线段 BC是两点间的最短路径，因此有 BA+ AC>BC 。 同理，可得 AB+BC> AC和 AC+BC >AB
证法2（反证法）
已知：三角形ABC
求证：AB+AC＞BC
证明：假设存在三角形ABC,AB+ACBC,
根据几何公理，
若AB+AC=BC,则A点在线段BC上，A，B、C
三点共线，此时无法构成三角形。如图1
若AB+AC＜BC,则与公理“两点之间线段最短”
矛盾，因此假设不成立。故原命题成立。如图2
课堂练习、巩固提高
基础达标
1.下列四个句子中是命题的是 （填序号）
①延长线段AB. ②对顶角相等.
③同旁内角不互补，两条直线就不平行.
④在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
2、下列命题是真命题的是 (填序号).
①对顶角相等. ②直角都相等. ③相等的角是对顶角. ④ 若a2=4 a=2.
⑤若|a|>|b|，则a2＞b2.
“对顶角相等”是 命题(真、假)，写成“如果…，那么…”的形式如果 。
下列语句中，是命题的是（ ）
A. 直线AB和CD垂直吗 B. 过线段AB的中点C画AB的垂线
C. 同旁内角不互补，两直线不平行 D. 连接A，B两点
5.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举一个反例并画出图形，说明其是假命题.
6.根据题意，把下列推理的依据写出来，并指出是公理还是定理．
①如图所示，若∠1＝∠2，则a∥b；
②在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，则△ABC≌△A′B′C′；
③如果a=b，b=c，那么a=c.
能力提升
7.如图，EG∥AF，请你从下面三个等式中再选两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题(只需要写出一种情况)，并给予证明．
①∠B＝∠ACB；②DE＝DF；③BE＝CF.
拓展迁移：
8.请你完成命题“有两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等”的证明．(画出图形，写出已知、求证，并完成证明)
五、总结反思、拓展升华
1公理：不需要推理证实的真命题
2、定理：定理都是真命题
3、公理和定理都可以作为推理论证其他命题的依据.
4、证明的一般步骤：
(1)根据题意分析题中的条件和问题，几何题画出图形；
(2)根据条件和结论，结合图形写出已知和求证；
(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
五、【作业布置】
基础达标：
1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题
2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ）
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题
3.下列关于“证明”的说法正确的是（ ）
A. “证明”是一种命题 B. “证明”是一种定理
C. “证明”是一种推理过程 D. “证明”就是举例说明
4、 下列说法错误的是（ ）
A. 所有的命题都是定理 B. 定理是真命题
C. 公理是真命题 D. “画线段AB=CD”不是命题
5.如图，已知AC⊥BC，C为垂足，E是BC上一点，并且∠1＝∠2.试问：DE与BC有何位置关系？请说明理由.
能力提升：
6.对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列论断：
①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．
请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题（至少写两个命题）．
拓展迁移：
7、阅读下面内容，并解答问题．
在学行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，AB∥BC，直线EF分别交AB，CD于点E，F.∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G.求证： ．
(1)请补充要求证的结论，并写出证明过程；
(2)请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择______题．
A.在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为______．
B.如图3，AB平行CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F.点O在直线AB、CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠EFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为______．
课堂作业参考答案：
②③④
①②⑤
3、真；两个角是对顶角，那么这两个角相等
4、C
5、解：如图，∠1＞90°，∠2＜90°，
∠2是∠1的补角，而∠2＜∠1.
所以，“任何一个角的补角都不小于这个角“是假命题.
6、①内错角相等，两直线平行，是定理.
② 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理.
③等量代换，是公理．
7、已知：EG∥AF，∠B＝∠ACB，DE＝DF．
求证：BE＝CF．
证明：∵EG∥AF，
∴∠GED＝∠F，∠EGD＝∠DCF.
又∵DE＝DF，
∴△EGD≌△FCD(AAS). ∴EG＝CF.
∵EG∥AF， ∴∠EGB＝∠ACB.
∵∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠EGB.
∴BE＝EG.
∴BE＝CF.(答案不唯一)
8、解：已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线，AD＝A′D′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线，
∴BD＝BC，B′D′＝ B′C′.
∵BC＝B′C′，∴BD＝B′D′.
在△ABD和△A′B′D′中，
∴△ABD≌△A′B′D′(SSS). ∴∠B＝∠B′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
课外作业参考答案：
B
C
C
A
5、解：DE⊥BC.理由：
∵∠1＝∠2，∴AC∥DE.
∴∠ACE＋∠DEC＝180°.
∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90°.
∴∠DEC＝180°－90°＝90°.
∴DE⊥BC.
6、解：答案不唯一，
如：若a∥b，b∥c，则a∥c； 若a∥b，a∥c，则b∥c；
若b∥c，a∥c，则a∥b； 若a⊥b，a⊥c，则b∥c；
若a⊥b，b∥c，则a⊥c； 若b∥c，a⊥c，则a⊥b．
7、解:(1) EG⊥FG
(2)已知：AB∥CD，EG是∠BEF的平分线，FG是∠DFE的平分线
求证：EG⊥FG
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+∠EFE=180°（两直线平行同旁内角互补）
又∵EG是∠BEF的平分线，FG是∠DFE的平分线（已知）
∴∠BEG=∠GEF,∠EFG=∠GFD（角平分线定义）
∴∠GEF+∠GFE=90°（等量代换）
∵∠GEF+∠GEF+∠EGF=180°（三角形内角和定理）
∴∠EGF=90°
∴EG⊥FG
（3）
A.在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为 45°．
B.如图3，AB平行CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F.点O在直线AB、CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠EFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 ∠EOF=2∠EPF ．
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