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甘肃省张掖市民乐县第一中学 2026 届高三上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = ∣ 1 ≤ ≤ 2 , = ∣2 ≤ 1 ，则集合 ∩ =( )
A. [ 1,1] B. [0,2] C. [ 1,0] D. [1,2]
2.若函数 ( ) = + 3，则 ( + 1) =( )
A. 2 + 3( ≥ 1) B. 2 + 3( ≥ 0)
C. 2 + 2 + 4( ≥ 1) D. 2 + 2 + 4( ≥ 0)
3.已知一个扇形的周长为 20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
4 2 2cos2 .已知角 的终边上一点 ( 1,2)，则 =( )
sin 32π+
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
5.若“ 1 ≤ ≤ 4，使得 2 + + 1 ≥ 0”是假命题，则实数 的取值范围是( )
A. { < 9 } B. { < 3 } C. { > 9 } D. { > 3 }
6.若命题 : < 2，命题 :直线 = 1 与抛物线 = 2无公共点，则 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
27.函数 ( ) = 3 3| |的图象大致为( )
A. B.
C. D.
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8.下列说法正确的个数为( )
①命题“ ∈ ， 2 + 1 < 0”的否定是“ ∈ ， 2 + 1 > 0”
②幂函数 ( ) = 2 2 2 +3对于 ∈ ，都有 ( ) ( ) = 0，则 = 12
③设(1 2 )9 = 0 + 1 + 22 + + 9 9，则 1 + 2 + 3 + + 9 = 81
( ) = ( + 1) +
2, < 2
④已知函数 2 + log2 , ≥ 2
在 上单调递增，则 的取值范围是( 1,1]
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ln > ln ，则下列不等式成立的有( )
A. 1 < 1 B. 3
> 1 C. 3 > 3 D. lg( ) < 1
10.已知函数 ( ) = 2cos2 8 1，则( )
A. 是 ( )的周期 B. ( ) 2 在区间 6 , 3 上单调递减
C. + 3 8 是奇函数 D. ( )在区间(0, )上恰有 2 个零点
11.已知 ( )是定义在 上的偶函数，且对任意 ∈ ，有 (1 ) = (1 + )，当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2 +
2，则( )
A. ( )是以 2 为周期的周期函数
B.点( 3,0)是函数 ( )的一个对称中心
C. (2021) + (2022) = 2
D.函数 = ( ) log2( + 1)有 3 个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( + 2)的定义域为( 3,4) ( +1)，则函数 ( ) = 3 1的定义域为 ．
13.已知 、 均为正数，且 = 4 + ，则 2 + 的最小值 ．

14 2 , ≥ 1.已知 > 0 且 ≠ 1，函数 ( ) = , < 1，若关于 的方程
2( ) 5 ( ) + 6 = 0 恰有 3 个不相等的实
数解，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知全集 = ( ∞,12]，集合 = { ∣ 2 ≤ ≤ 10}， = { ∣1 ≤ ≤ 1 + }．
(1)求集合 U ；
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(2)若 ，求实数 的取值范围；
(3)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2sin( + ) > 0, | | ≤ π2 的部分图象如图所示．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2) π将函数 ( )的图象向左平移4个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到函数
( )的图象，若关于 的方程 ( ) 2 = 0 在区间 0, π 上有两个不同的实数解，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
3

已知定义在 上的奇函数 ( ) = 3 +1．
(1)求实数 ， 的值．
(2)用定义法证明： ( )在 上单调递增．
(3)若对任意的 ∈ [ 1,2]，关于 的不等式 2 5 + (2 + 1) ≤ 0 恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
π
设函数 ( ) = sin 2 6 2sin
2 + 1( ∈ R)
(1)若 ( ) = 12， ∈ 0,
π
2 ，求角 ；
(2)若不等式 ( ) 2 + 2 cos 2 + π π π6 2 2 < 0 对任意 ∈ 12 , 6 时恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln( + 1) + 2．
(1)若 = 2，求 ( )在 = 0 处的切线方程；
(2)当 ≥ 0 时， ( ) + 2 + ln( + 1) ≥ 0 恒成立，求整数 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 13 , 5
13.6 + 4 2
14. 2,3
15.(1) ∵全集 = ( ∞,12]，集合 = ∣ 2 ≤ ≤ 10 ，
∴ U = ∣ < 2或 10 < ≤ 12 ．
(2) ∵ = ∣ 2 ≤ ≤ 10 ， = ∣1 ≤ ≤ 1+ ， ，
∴ 1 ≤ 21 + ≥ 10，解得 ≥ 9，即实数 的取值范围为[9, + ∞)．
(3) ∵ ∩ = ，∴ ．
当 1 > 1 + ，即 < 0 时， = ，符合题意；
1 ≤ 1 +
当 ≠ 时， 1 ≥ 2，解得 0 ≤ ≤ 3．
1 + ≤ 10
综上， ≤ 3，即实数 的取值范围为( ∞,3]．
16.(1) 由图可得：2 =
7π
8
3π 2π
8，即 = = π，则 = 2，
故 ( ) = 2sin(2 + )，
∵ 3π8 = 2，即 sin 2 ×
3π 3π
8 + = 1，则 sin 4 + = 1，
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∴ 3π4 + =
π π
2 + 2 π, ∈ Z，则 = 4 + 2 π, ∈ Z，
π π
又∵ | | ≤ 2，则 = 4，
故 ( ) = 2sin 2 π4 ．
(2) π π π π根据题意：将函数 ( )的图象向左平移4个单位，得到 = + 4 = 2sin 2 + 4 4 =
2sin 2 + π4 ，
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到函数 ( ) = 2sin + π4 ，
∵ ( ) 2 = 0，则 ( ) = 2 ，
π
由题意可得：直线 = 2 与函数 ( ) = 2sin + 4 有两个不同的交点，
∵ 0 ≤ ≤ π π ≤ + π ≤ 5π又 ，则4 4 4 ，
∴ 22 ≤ sin +
π
4 ≤ 1
π π π π
，当且仅当 + 4 = 2，即 = 4时，sin + 4 = 1，
故 ( ) ∈ 1, 2 ，
1 2
则可得：1 ≤ 2 < 2，即2 ≤ < 2 ，
1故 的取值范围为 2 ,
2
2 ．
17. (0) = 0,(1)因为 ( )是定义在 上的奇函数，所以 ( 1) = (1),
1
+1 = 0,
即 3 1 3 解得 = = 1．
3 1+1 = 3+1 ,
经验证 = = 1 符合题意．

(2)由(1)可知 ( ) = 3 1 23 +1 = 1 3 +1．
2 2 2 3
1 3 2
任取 1 < 2，则 1 2 = 3 2+1 3 1+1 = 3 1+1 3 2+1 .
因为 1 < 2，所以3 1 3 2 < 0，所以 1 2 < 0，
则 ( )在 上单调递增．
(3)由 2 5 + (2 + 1) ≤ 0，得 2 5 ≤ (2 + 1)，
因为 ( )为奇函数，所以 2 5 ≤ ( 2 1)，
因为 ( )在 上单调递增，所以 2 5 ≤ 2 1，即 2 ( 2) 4 ≤ 0，
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因为对任意的 ∈ [ 1,2]，关于 的不等式 2 5 + (2 + 1) ≤ 0 恒成立，
即关于 的不等式 2 ( 2) 4 ≤ 0 在[ 1,2]上恒成立，
1 + 2 4 ≤ 0,
故 4 2( 2) 4 ≤ 0,
解得 2 ≤ ≤ 5，即实数 的取值范围是[2,5]．
18.(1)由 ( ) = sin 2 π6 2sin
2 + 1 = 32 sin2
1
2 cos2 + cos2
= 3 sin2 + 1 cos2 = sin(2 + π2 2 6 )，
所以 ( ) = sin(2 + π6 ) =
1 π π π
2，又 ∈ 0, 2 ，2 + 6 ∈ [ 6 ,
7π
6 ]，
π π 5π π
所以 2 + 6 = 6或 6 ，解得 = 0 或 = 3；
(2)由题设sin2(2 + π6 ) + 2 cos 2 +
π
6 2 2 < 0 在 ∈
π π
12 , 6 时恒成立，
令 = 2 + π6 ∈ (0,
π
2 )，故sin
2 + 2 cos 2 2 < 0，则cos2 2 cos + 2 + 1 > 0，
2
令 = cos ∈ (0,1)，则 2 2 + 2 + 1 > 0，即 2 > +1 1恒成立，
2
对于 = +1 2 1 = 2 [(1 ) + 1 ]，令 = 1 ∈ (0,1)，则 = 2 ( +
2
)，
又在 ∈ (0,1)上 = + 2 2 单调递减，故 = 2 ( + )在 ∈ (0,1)上单调递增，
2
综上 = +1 1 < 1
1
，故只需 2 ≥ 1 ≥ 2．
19.(1)若 = 2，则 ( ) = ln( + 1) 2 + 2， (0) = 2，则切点坐标为(0,2)，
′( ) = 1 +1 2，则切线斜率 =
′(0) = 1，
所以切线方程为 2 = ( 0)，即 + 2 = 0．
(2)由 ( ) + 2 + ln( + 1) ≥ 0，得 ≤ ( + 1)[ln( + 1) + 2]，
当 = 0 时， 0 ≤ 2， ∈ ；
当 > 0 ( +1) ln( +1)+2时， ≤ ，
( ) = ( +1) ln( +1)+2 2 ln( +1)设 ，
′( ) = 2 ，
设 ( ) = 2 ln( + 1)， ′( ) = +1 > 0，
则 ( )在(0, + ∞)单调递增，
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(3) = 1 ln4 < 0， (4) = 2 ln5 > 0，所以存在 0 ∈ (3,4)使得 0 = 0，即 0 2 = ln 0 + 1 ．
∈ 0, 0 时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0； ∈ 0, + ∞ 时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，
则有 ( )在 0, 0 单调递减，在 0, + ∞ 单调递增， ( )min = 0 ，
≤ = 0+1 ln 0+1 +2 所以 0+1 0 2 +20 = = 0 + 1，0 0
因为 0 ∈ (3,4)，所以 0 + 1 ∈ (4,5)，所以整数 的最大值为 4．
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