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甘肃省渭源县第一中学 2026 届高三上学期开学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { ∈ N∣ 1 < < 2}，则 的真子集的个数是( )
A. 8 B. 7 C. 4 D. 3
2.在复平面内，复数 对应的点为(1, 2) 1+ ，则 +1的虚部是( )
A. 12 i B. 1 C.
1
2 D.
1
2
3.已知偶函数 ( )的定义域为 R，且当 > 0 时， ( ) = 3 + ，若 ( 2) = 7，则 (3) =( )
A. 11 B. 15 C. 25 D. 29
4 :
2 2
.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)
2
的顶点到渐近线的距离为实轴长的5，则双曲线 的离心率为( )
A. 4 B. 2 33 3 C.
5
3 D. 3
2
5.已知函数 ( ) = 2 , < 0 + ln( + 1), ≥ 0在 上单调递增，则 的取值范围是( )
A. ( ∞,0] B. [ 1,0] C. [ 1,1] D. [0, + ∞)
6.抛掷一枚质地均匀的硬币 3 次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向
上”为事件 ，“三次试验恰有 1 次正面向上”为事件 ，“三次试验恰有 2 次正面向上”为事件 ，“三
次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件 ，则下列说法错误的是( )
A. 与 不互斥 B. 与 相互独立
C. 与 相互独立 D. 与 互斥但不对立
7.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0,0 < < π)的部分图象如图所示，若 ( ) = 1，则 cos 2 +
π
3 =( )
A. 79 B.
7
9 C.
8 8
9 D. 9
8.已知 tan( ) = 12，tan =
1
7， , ∈ 0, π ，则 2 的值是( )
A. π B. π 3π 3π4 4 C. 4 D. 4
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选)如图，在正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别为所在棱的中点， 为下底面的中心，则( )
A.平面 1 ⊥平面 1 1 B. ⊥ 1
C. ⊥ 1 D. //平面 1 1
10.随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入
(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 = 2.1，样本方差 2 = 0.01，
已知该种植区以往的亩收入 服从正态分布 1.8, 0.12 ，假设推动出口后的亩收入 服从正态分布 , 2 ，
则( )(若随机变量 服从正态分布 , 2 ， ( < + ) ≈ 0.8413)
A. ( > 2) > 0.2 B. ( > 2) < 0.5 C. ( > 2) > 0.5 D. ( > 2) < 0.8
11.设 , 1 1 1是一次随机试验中的两个事件，且 ( ) = 3 , ( ) = 4 , ( ∣ ) = 4，则( )
A. , B. + = 11相互独立 12
C. = 13 D. ∣ ≠ ∣
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在(2 )4 1 2 的展开式中， 3 3的系数为 ．
13.若直线 = 2 + 5 是曲线 = e + + 的一条切线，则 = ．
14.某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课，学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课，并且
每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案共有 种(用数字作答)．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的短轴长为 4，离心率为 2 ,过右焦点 的动直线 与 交于 ， 两点，点 ，
在 轴上的投影分别为 ′， ′( ′在 ′的左侧)．
(1)求椭圆 的方程；
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(2) 4若直线 ′与直线 ′ 交于点 ， 的面积为3 ,求直线 的方程．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = e ln + 1．
(1)若在(1, (1))处的切线斜率为 1，求 ；
(2)若 ( ) ≥ 0 恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
正在改变着我们的工作和生活.为了解不同学历人群对 的使用情况，随机调查了 200 人，得到如
下数据：
使用情况
学历 合计
经常使用不经常使用
本科及以上65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
(1)依据 = 0.01 的独立性检验，能否认为 的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“ 模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有 3 道题目，甲、乙同时
依次作答，3 道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或同时答错，每人得 0 分；
若一人答对而另一人答错，答对的得 10 分，答错的得 10 分.比赛结束后，3 道题的得分之和为该选手的
3
最后总分.两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，且甲正确回答每道题的概率为5，
1
乙正确回答每道题的概率为2．
( )求甲的总分为 10 分的概率；
( )求在甲的总分为 10 分的条件下，乙恰好回答对 1 道题的概率．
( )2
参考公式与数据： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
临界值表
0.1 0.05 0.01 0.0050.001
2.7063.8416.6357.87910.828
18.(本小题 17 分)
如图，多面体 中，四边形 为矩形，二面角 为45 ， // ， ⊥ ， = 2， = 3，
= 4， = 5．
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(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
19.(本小题 17 分)
2
已知函数 ( ) = e 33

2 2 ．
(1)当 = 0 时，求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程；
(2)若 ( )在[0, + ∞)上单调递增，求 的取值范围；
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.8
13.4
14.64
2 = 4
15.解：(1)由题意可得： 2 2，解得： 2 = 8，
= 1 2 = 2
故 = 2 2， = 2， = 2，
2 2
所以椭圆 的方程为 8 + 4 = 1．
(2)当直线 斜率为 0 时，不符合题意，舍去．
当直线 斜率不为 0 时，设直线 方程为 = + 2( ≠ 0)，设 1, 1 , 2, 2 ，
= + 2
联立 2 2 ，得 2 + 2 2 + 4 4 = 0，
8 + 4 = 1
易知 = 16 2 + 16 2 + 2 > 0 + = 4 4，则 1 2 2+2， 1 2 = 2+2．
易知 ′ 1, 0 ， ′ 2, 0 ，

所以直线 ′： = 1 ′ 2 ①，直线 ： =
2
1 ②，1 2 2 1
= 1 2+ 2 1 = 1+2 2+ 2+2 2 联立①② 1 1 2 1+ 2 1+
= 2 +
2 1+
= 4，
2
1
所以 = 2
′ =
1
1 2
1
2 4 1 = 2 2 2 1 2 ，
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1 因为 2 1+
= 1，
2
1 2
所以 = 2 2 2 + =
1 = 11 2 2 1 2 2 1 +
2
2 4
2 2 +2 4
1 2 = 2+2 = 3，
解得 =± 1，
故直线 的方程为 2 = 0 或 + 2 = 0．
16. ln 解：(1)因为 ( ) = e + 1，
′( ) = e 1 ln ′(1) = e1 1 ln1 所以 2 2，依题意 12 12 = 1，解得 = e；
(2)因为 ( ) = e ln +

1 的定义域为(0, + ∞)，

( ) = e ln + 1 = e ln + 又 ≥ 0，
所以 e ln + ≥ 0 恒成立，
令 ( ) = e ln + ， ∈ (0, + ∞)，则 ′( ) = ( + 1) e 1 ，
令 ( ) = e 1， ∈ (0, + ∞)，则 ′( ) = e + 1 2 > 0，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
1 1
又 2 = e2 2 < 0， (1) = e 1 > 0，
∈ 1所以 0 2 , 1 使得
′
0 = 0，即 0 = 0，e 0
1
= 0，则 ln 0 = 0，0
所以当 ∈ 0, ′0 时 ( ) < 0，当 ∈ 0, + ∞ 时 ′( ) > 0，
所以 ( )在 0, 0 上单调递减，在 0, + ∞ 上单调递增，
所以 ( )min = 0 = e 0 0 ln 0 0 + = 1 + 0 0 + ≥ 0，所以 ≥ 1，
即实数 的取值范围为[ 1, + ∞)．
17.解：(1)零假设为 0： 的使用情况与学历无关，
2
根据列联表中的数据，可得 2 = 200×(65×50 35×50)100×100×115×85 ≈ 4.604 < 6.635，
依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，没有充分证据推断 0不成立，
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因此可以认为 0成立，即认为 的使用情况与学历无关；
(2)(ⅰ)当甲，乙同时回答第 ( = 1,2,3)道题时，甲得分为 ，
3 1 3 = 10 = 5 × 2 = 10，
= 0 =
3
5 ×
1
2 +
2
5 ×
1 1
2 = 2，
= 10 =
2
5 ×
1
2 =
1
5，
比赛结束甲的得分 的取值为 10 的概率为：
2 2
( = 10) = C13 ×
3 1 1 1 3 279
10 × 2 + C3 × 5 × 10 = 1000，
(ⅱ)设 =“比赛结束后甲总分是 10 分”， =“比赛结束时乙恰好答对一道题”，
由( )可得 ( ) = 2791000，
2
( ) = Cl × 1 × 3 + A3 × 3 × 1 × 3 × 1 1 × 2 × 1 = 162 = 813 5 10 3 5 2 5 2 5 2 1000 500，
81
( ) 18
则 ( | ) = ( ) =
500
279 = 31，
1000
1 18所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对 道题的概率为31．
18.解：(1) ∵四边形 是矩形，∴ // ，
平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
∵ // ， 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
∩ = ，∴平面 //平面 ，∵ 平面 ，∴ //平面 ；
(2) ∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ ∠ 即为二面角 的平面角，
∴ ∠ = 45 ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，作 ⊥ 于 ，因为 平面 ，
所以 ⊥ ，又 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，连结 ，
所以直线 与平面 所成角为∠ ，
= 13， = 2 2 26，所以 sin∠ = = 13 = 13 ．
直线 26与平面 所成角的正弦值为 13 ；
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(3)由(2)得 ⊥平面 ，又 = ，所以距离 = ，又由已知可得
15 5 = 2， = 3， = 2，所以 = 2 2．
2
19.解：(1)当 = 0 时， ( ) = e 2， (1) = e
1 ′
2， ( ) = e
， ′(1) = e 1，
所以曲线 = ( ) 1在点 1, (1) 处的切线方程 e 2 = e 1 ( 1)，即 2 e 1 2 + 1 = 0．
(2)因为 ( )在[0, + ∞)上单调递增，所以 ′( ) = e 2 2 ≥ 0 在区间 0, + ∞ 上恒成立，
≤ e

所以 2+2 ，min
e e 1 2+2 e 2
令 ( ) = ′ 2+2，则 ( ) = 2 2 ， +2
令 ( ) = e 1 2 + 2 e 2 ，则 ′( ) = 2e + 2 ，
当 ≥ 0 时， ′( ) ≥ 0， ( )单调递增， ( ) ≥ (0) = 0，
所以 ′( ) ≥ 0，所以 ( )单调递增，
( )min = (0) =
1
2，
1
所以 ≤ 2．
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