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高二月考数学试卷(A)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的。
1.已知A(1,2,-3),则点A关于xOy平面的对称点的坐标是()
A.(-1,2,-3)
B.(1,2,3)
C.(-1,2,3)
D.（-1,-2,3)
2.若直线经过A(1,0),B(2,V3)两点，则直线AB的倾斜角为（)
A.30°
B.450
C.60°
D.120°
3.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(d+2b)I(2a-b),则()
A.x=},y=1B.x=y=-4C.x=2,y=-}D.x=1,y=-1
4.O为空间任意一点，若AP=-0A+号0B+t0C,若A,B,C,P四点共面，则1
=()
A.1
B.月
C.
D.
5.如图、在四面体OABC中，设OA=a,OB=b,OC=C,G为△OAB的重心，H
为AC的中点，则GH=()
A.à-6+B.-号à-6-8c.a-号6+D.à-6+
6.过点P(0,-1)作直线1，若直线1与连接A(-2,1),B(2W3,1)两点的线段总
有公共点，则直线1的倾斜角范围为（)
A.[g]
B.[g,]C.0,]U[,m)D.,]U[,)
7.在棱长为1的正四面体ABCD中，点M,N分别为棱BC,AD的中点，则下列命题
正确的个数为（)
①AB⊥CD:
②MN=2
侧棱与底面所成角的余弦值为码，④直线AM与CN所成角的正弦值为
高二数学月考A卷1300
第1页共
A.4
B.3
C.2
D.1
8.菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，E为AB的中点（如图1），将△ADE沿直线DE
翻折至△A'DE处（如图2)，连接A'B,A'C,若A'-EBCD的体积为4V3,点F为A'D
的中点，则F到直线BC的距离为()
D
D
E
E
B
图1
图2
A.③
2
B.2
C.③
2
4
D.②
4
二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知直线1：x+（a-1)y叶1=0，直线2：a+2y+2=0,则下列结论正确的是（)
A.11在x轴上的截距为-1
B.2恒过定点(0，-1)
C.若11∥2，则a=-1或a=2
D.若h山h,则a=号
10.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2,AB⊥AC,点E为B1C的中点，
则下列说法正确的是（)
10题图
M
11题图
A,AB=克AB+号AC+AA,
B.AB1∥平面A1CE
C.异面直线伍与4C所成的角的余弦值为号
D.点A1到平面ACE的距离为5
11.如图，在多面体ABCDES中，SA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形，且DE∥SA,
SA=AB=2DE=2,M,N分别是线段BC,SB的中点，2是线段DC上的一个动点
(含端点D,C),则下列说法正确的是(
A.存在点Q,使得Ng⊥SB
B.存在点Q,使得异面直线NQ与SA所成的角为60°
C.三棱锥2-AMW体积的最大值是号
D.当点2自D向C处运动时，直线DC与平面QMN所成的角逐渐增大
共2页高二（上）月考数学试卷答案
一．选择题（共7小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B C A B D A
二．多选题（共4小题）
题号 9 10 11
答案 ABD ABD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 　2 ．
13．（5分）在空间直角坐标系中，点M（0，0，1）为平面ABC外一点，其中A（1，0，0）、B（0，2，1），若平面ABC的一个法向量为（1，y0，﹣1），则点M到平面ABC的距离为 　　 ．
【解答】解：因为A（1，0，0）、B（0，2，1），所以，
记平面ABC的一个法向量为，
则，解得y0＝1，
故平面ABC的一个法向量为．
因为M（0，0，1），所以，
所以点M到平面ABC的距离为．
故答案为：．
14．（5分）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，SO＝AB＝4，AC＝BC，E为SC的中点，点D在SO上，若AD⊥BE，则OD＝　2　 ．
【解答】解：连接OC，以O为坐标原点，分别以OC，OA，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则S（0，0，4），A（0，2，0），B（0，﹣2，0），C（2，0，0），E（1，0，2）．
设D（0，0，a），则，．
∵AD⊥BE，∴，解得a＝2，即OD＝2．
故答案为：2．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（15分）已知点P（﹣2，0，2），Q（﹣1，1，2），R（﹣3，0，4），设，，．
（1）若实数k使与垂直，求k值．
（2）求在上的投影向量．
【解答】解：（1）依题意，，
，
由与垂直，得，解得k＝2，
所以k＝2．
（2）由（1）知，，，
所以在上的投影向量为．
16．（15分）已知△ABC的三个顶点为A（4，0），B（0，2），C（2，6）．
（1）求AC边上的高BD所在直线的方程；
（2）求BC边上的中线AE所在直线的方程．
【解答】解：由题，如图
（1）∵△ABC的三个顶点为A（4，0），B（0，2），C（2，6），
∴直线AC的斜率为，
∵AC⊥BD，∴，
∴直线BD的方程为，
化为一般式为：x﹣3y+6＝0；
（2）∵B（0，2），C（2，6），
∴BC的中点为E（1，4），又A（4，0），
∴直线AE的斜率为，
∴直线AE的点斜式方程为，
化为一般式为：4x+3y﹣16＝0．
17．（15分）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，底面是正方形，AD＝AB＝2，AA1＝1，∠A1AB＝∠DAA1＝60°，3，，设．
（1）试用表示；
（2）求MN的长度．
【解答】解：（1）
（）
；
（2）∵，∴M是线段D1B的中点，
∴A、M、C1三点共线，且M是线段AC1的中点，
∴（），
∴（）（）
，
∵||＝2，||＝2，||＝1， 0， 2×1×cos60°＝1， 2×1×cos60°＝1，
∴||
．
即MN的长度为．
18．（15分）如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，AF∥DE，DE⊥AD，AD⊥BE，，．
（Ⅰ）求证：BF∥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值；
（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，知AB∥CD，
又因为AB 平面CDE，CD 平面CDE，
所以AB∥平面CDE．………………（2分）
同理AF∥平面CDE，
又因为AB∩AF＝A，
所以平面ABF∥平面CDE．……………（3分）
又因为BF 平面ABF，
所以BF∥平面CDE．………………（4分）
（Ⅱ）连接BD，
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，DE⊥AD，
所以DE⊥平面ABCD．则DE⊥DB．
又因为DE⊥AD，AD⊥BE，DE∩BE＝E，
所以AD⊥平面BDE，则AD⊥BD．
故DA，DB，DE两两垂直，所以以DA，DB，DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，………………（6分）
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（﹣1，1，0），E（0，0，2），F（1，0，1），
所以，，（0，1，0）为平面DEF的一个法向量．
设平面BEF的一个法向量为（x，y，z），
由0， 0，得
令z＝1，得（1，2，1）．………………（8分）
所以cos，．
如图可得二面角B﹣EF﹣D为锐角，
所以二面角B﹣EF﹣D的余弦值为．………………（10分）
（Ⅲ）结论：线段BE上存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF．………………（11分）
证明如下：
设，
所以．
设平面CDQ的法向量为（a，b，c），又因为，
所以，0，即（12分）
若平面CDQ⊥平面BEF，则0，即a+2b+c＝0，………………（13分）
解得．
所以线段BE上存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF，且此时．……（14分）
19．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝1，CD，PD＝2，∠PDA＝60°，∠PAD＝30°，且平面PAD⊥平面ABCD，在平面ABCD内过B作BO⊥AD，交AD于O，连PO．
（ I）求证：PO⊥平面ABCD；
（ II）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值；
（ III）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长．
【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形ABCD内过B作BO⊥AD，交AD于O，连结PO，则四边形BODC为矩形，
在△PDO中，PD＝2，DO＝BC＝1，∠PDA＝60°，
则PO
∴PO2+DO2＝PD2，∴PO⊥AD，
且平面PAD⊥平面ABCD，PO 平面PAD
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PO，∠PAD＝30°，可得AO＝3，
则，O（0，0，0），A（3，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，，0），
设平面APB的法向量为，
，
由，得．
设平面CPB的法向量为（a，b，c），
由，得
cos．
∵二面角A﹣PB﹣C是钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的正弦值为．
（Ⅲ）设，
则（3，，0）+λ（﹣3，0，）＝（3﹣3λ，，λ），
又平面PAD的法向量为
直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为|cos|，
解得，
∴PM．
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