资源简介

海南省陵水黎族自治县顺湖中学 2026届高三上学期 9月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∣ < 1}, = ∣ 2 + 2 8 < 0 ，则 ∪ =( )
A. { ∣ < 4} B. { ∣ < 2} C. { ∣ 4 < < 1} D. { ∣ 2 < < 1}
2.设 ∈ ，则“ > 1”是“ 2 > ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知二次函数 = 2 + + 的图象如图所示，下列结论：① < 0，② 2 = 0，③ + > 0，
④2 + < 0，其中正确的个数有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
4 .已知关于 的不等式 2 4 + 3 2 < 0( < 0)的解集为 1, 2 ，则 1 + 2 + 的最大值是( )1 2
A. 63 B.
2 3
3 C.
4 3 4 3
3 D. 3
5 log , > 0 1.已知函数 ( ) = 22 + 1, ≤ 0，则 2 的值为( )
A. 1 B. 32 2 C. 3 D. 5
6.已知函数 ( )的定义域为 ， ( + 2)为偶函数， (2 + 1)为奇函数，则( )
A. 12 = 0 B. ( 1) = 0 C. (2) = 0 D. (4) = 0
7.设 = log0.50.6， = 0.25 0.3， = 0.6 0.6，则 ， ， 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
8.函数 ( ) = ln(2 ) 1 的一个零点所在的区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 2 2| |( < )，若函数 ( ) = ( ) 存在两个零点，则 的取值可能是( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
第 1页，共 7页
10.关于函数 ( ) = 3 +2 1，下列说法正确的是( )
A. ( )有且仅有一个零点 B. ( )在( ∞,1)，(1, + ∞)上单调递减
C. ( )的定义域为 ≠ 1 D. ( )的图像关于点(1,0)对称
11.设函数 ( ) = 2 3 3 2 + 1，则( )
A.当 > 1 时， ( )有三个零点
B.当 < 0 时， = 0 是 ( )的极大值点
C.存在 ， ，使得 = 为曲线 = ( )的对称轴
D.存在 ，使得点 1, (1) 为曲线 = ( )的对称中心
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 > 0, > 0 1 ，则 + 2 + 的最小值为 ．
2
13 ( ) = + 2 , ≥ 0.若函数 2 是奇函数，则 (3) = ． + , < 0
14.已知函数 ( )的定义域为 ，若 ( + 1) 2 为奇函数，且 (1 ) = (3 + )，则 (2023) = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 ( ) = 2 + ( 1) 1 ∈ R ．
(1)若 ( ) ≥ 0 1 +3的解集为 1, 2 ，求关于 的不等式 1 ≤ 0 的解集；
(2)解关于 的不等式 ( ) ≥ 0．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3sin cos + 2cos2 1．
(1)求 ( )的最小正周期；
(2) 6 π π π若 0 = 5， 0 ∈ 4 , 2 ，求 cos 2 0 + 6 的值．
17.(本小题 15 分)
( ) =
2
已知函数 2 + 2 3ln ．
(1)求函数 ( )的极小值；
(2)求不等式 ( ) ≥ 2( 1)2 + 52的解集．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = log 2 4 + 1 + ( ∈ )是偶函数．
第 2页，共 7页
(1)求 的值；
(2)设函数 ( ) = log 2 2
4
3 ，其中 > 0 若函数 ( )与 ( )的图象有且只有一个交点，求 的取值范
围．
19.(本小题 17 分)
3 2 2
已知离心率为 2 的椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)与 轴， 轴正半轴交于 ， 两点，作直线 的平行线交椭圆
于 ， 两点．
(1)若△ 的面积为 1，求椭圆的标准方程；
(2)在(1)的条件下，
( )记直线 ， 的斜率分别为 1， 2，求证： 1 2为定值；
( )求| |的最大值．
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 2
13.3
14.2
15. 1 1【详解】(1)因为 ( ) ≥ 0 的解集为 1, ，即 22 + ( 1) 1 ≥ 0 的解集为 1, 2 ，
所以 1 1、 2为关于 的方程
2 + ( 1) 1 = 0 的两根且 < 0，
1+ 1 = 1
所以 2 1 1，解得 = 2， 1 × 2 =
+3 2 +3
所以 1 = 1 ≤ 0
(2 3)( 1) ≥ 0 3
等价于 1 ≠ 0，解得 < 1 或 ≥ 2，
+3 3故关于 的不等式 1 ≤ 0 的解集为( ∞,1) ∪ 2 , + ∞ ．
(2)不等式 ( ) ≥ 0，即 2 + ( 1) 1 ≥ 0，即( 1)( + 1) ≥ 0，
当 = 0 时，原不等式 2 + ( 1) 1 ≥ 0 可化为 + 1 ≤ 0，解得 ≤ 1；
当 > 0 时，原不等式 2 + ( 1) 1 ≥ 0 1可化为 ( + 1) ≥ 0，解得 ≤ 1 或 ≥
1
；
当 < 0 时，原不等式 2 + ( 1) 1 ≥ 0 可化为 1 ( + 1) ≤ 0，
1
当 > 1，即 < 1 时，解得 1 ≤ ≤ 1
< 0
；
1
当 = 1，即 = 1 时，解得 = 1；
第 4页，共 7页
1
当 < 1 1，即 1 < < 0 时，解得 ≤ ≤ 1． < 0
综上所述，当 > 0 1时，原不等式的解集为( ∞, 1] ∪ , + ∞ ；
当 = 0 时，原不等式的解集为 ≤ 1 ；
1
当 1 < < 0 时，原不等式的解集为 ≤ ≤ 1 ；
当 = 1 时，原不等式的解集为 1 ；
当 < 1 时，原不等式的解集为 1 ≤ ≤ 1 ．
16.【详解】(1)由题意得 ( ) = 3 2sin cos + 2cos2 1
= 3sin2 + cos2 = 2sin 2 + π6 ，
= 2π而 2 = π，故 ( )的最小正周期为π．
(2)由(1)可知 0 = 2sin 2
π
0 + 6 ，
6
又 0 = 5，所以 sin 2 +
π = 30 6 5，
由 ∈ π π π 2π 7π0 4 , 2 ，得 2 0 + 6 ∈ 3 , 6 ，
π
从而 cos 2 20 + 6 = 1 sin 2 0 +
π
6 =
4
5．
2
17.【详解】(1) ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = + 2 3 = +2 3 =
( +3)( 1)
，
令 ′( ) = 0，得 = 1(舍负)，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )在(0,1)时为减函数;
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)时为增函数;
所以 ( ) 5的极小值为 (1) = 2．
(2) 3 9原不等式等价于 22 + 6 3ln 2 ≥ 0，
令 ( ) = 3 22 + 6 3ln
9
2，
2
因为 ′( ) = 3 + 6 3 3( 1) = ≤ 0，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递减，且 (1) = 0，
第 5页，共 7页
得 ( ) ≥ 0 的解集为(0,1]，即原不等式的解集为(0,1]．
18.【详解】(1) ∵ ( ) = log 4 2 + 1 + ( ∈ )是偶函数，
∴ ( ) = log2 4 + 1 = ( )对任意 ∈ 恒成立，
即：log2 4 + 1 2 = log 2 4 + 1 + 恒成立，
∴ = 1．
(2) ∵ 2 43 > 0
4
， > 0，∴ 2 > 3，
令2 = ，则 > 43，因而等价于关于 的方程( 1)
2 43 1 = 0( )
4
在 3 , + ∞ 上只有一解，
①当 = 1 时，解得 = 3 44 3 , + ∞ ，不合题意；
②当 0 < < 1 时，记 ( ) = ( 1) 2 43 1，
2
其图象的对称轴 = 3( 1) < 0，
∴函数 ( ) = ( 1) 2 43 1 在(0, + ∞)上递减而 (0) = 1，
∴ 4方程( )在 3 , + ∞ 无解．
> 1 4 2 ③当 时，记 ( ) = ( 1) 2 3 1，其图象的对称轴 = 3( 1) > 0，
4 16 16
所以，只需 3 < 0，即 9 ( 1) 9 1 < 0，此恒成立，
∴此时 的范围为 > 1，
综上所述，所求 的取值范围 > 1．
19. 3
2 3 2 1
【详解】(1) ∵椭圆的离心率为 2 ，∴ 2 = 4，即 2 = 4①.
= 1 = 1 { = 2
2
又 2 ②，由①②解得 = 1，故椭圆的标准方程是 4 +
2 = 1
2
(2)( )设直线 ， = 1 + 代入得 + 2 = 1 得 22 4 2 + 2
2 2 = 0，
设 ( 1 + 1), ( 2, 2)，
1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 2 2,
1
1 2 1 ( 2 1 + )(
1
2 2 + 1) 1 2 1 2
=2 2( 1 2)
= ( 1 + 1+ 1 + 2分子 12 1 2 )(
1 2 2 1
2 2 + 2 1) = 2 2 ,
第 6页，共 7页
∴ 11 2 = 4为定值
( )令直线 ： = ( 2)
∵ 2 + 4 2 = 0
∴ 2 + 4 2( 2)2 = 4
∴ (4 2 + 1) 2 16 2 + 16 2 4 = 0
16 2 4
由韦达定理得 1 = 2 1 = 4 2+1，
= 8
2 2
故 1 4 2+1
由(1)知，直线 ： = 14 + 1,
2 + 4( 1 + 1 + 1) = 4, 2 + 1 216 2 2 4 2 +
2
= 0
(4 2 + 1) 2 + 8 = 0，故 2 =
8
4 2+1 .，
2
| | = 1 + ( 1 )2| | = 5 | 8 +8 2从而， 2 1 2 2 4 2+1 |
2 2
记 ( ) = 8 +8 2 8 +2+8 4 2 1 14 2+1 = 4 2+1 = 2 + 4 4 2+1 .当 = 2时， ( ) = 2
1
当 ≠ 2时，记 2 1 = ，则 2 + 4
2 1 = 2 + 4 14 2+1 2+2 +2 = 2 + 4 2 ( )( ≠ 0) + +2
令 ( ) = 2 + 4
+2 +2
当 > 0 2 4时 + + 2 ≥ 2 2 + 2.于是 ( ) ≤ 2 + 2 2+2 = 2 2．
此时，| | = 52 | ( )| ≤
5
2 2 2 = 10，
2+1
当且仅当 = 2即 = 2 时，等号成立．
同理，当 < 0 时， 2 2 ( ) < 2
5 5
此时| | = 2 | ( )| ≤ 2 2 2 = 10
= 2 = 1 2当且仅当 即 2 时，等号成立．
1± 2
综上所述，当且仅当 = 2 时，| |取得最大值 10，.
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑