资源简介

湖南省天壹名校联盟 2026届高三 9月联考
数学试题
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |4 < 2 < 26}， = {2,4,5,6,7}，则 ∩ =( )
A. {5} B. {4,5} C. {2,4,5} D. {4,5,6}
2.已知圆 : 2 + 2 = 2( > 0)，则“点 (1,0)在圆 外”是“点 (1,1)在圆 外”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设复数 = 1 + ， = + ，其中 ， ∈ ，若 是虚数，则( )
A. + = 0 B. + ≠ 0 C. = 0 D. ≠ 0
4.设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A.若 // ， // ，则 //
B.若 ⊥ ， ， ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
D.若 // ， ， ∩ = ，则 与 相交
5 △ sin = 1.在 中， 3， = = 2，则 的长为( )
A. 83 B. 6 C. 3 D.
4
3
6 .已知圆锥和圆柱的底面半径均为 ，高均为 ，若圆锥与圆柱的表面积之比为 4: 7，则 =( )
A. 3 5 4 35 B. 3 C. 3 D. 4
7.债券是金融市场中一种常见的投资产品，“债券现值”是其最重要的属性，一种常用的债券现值计算公

式为 = =1 (1+ ) + (1+ ) ，其中 为债券现值， 表示债券的期限(单位：年)， 为第 年的利息，

为 年后的债券面值， 为贴现率.若 = 72， = 0.05， = 2. 1 ，则 5 =( )4
A. 1 1 2 12 B. 3 C. 3 D. 4
8.已知 sin + 2sin = 2，则 cos( + )的最大值为( )
A. 18 B.
1
4 C.
1
6 D.
1
2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
第 1页，共 7页
9.已知 > 0，圆 : 2 + 2 = 2，直线 1: + + 2 = 0， 2: 2 + + 1 = 0，则( )
A. 1与 2不可能垂直
B.若 = 1，则 1与圆 相切
C.若 = 22 ，则 2与圆 相交
D.若圆 与圆( 2 )2 + 2 = 4 无交点，则 > 2
10.已知函数 ( )的定义域为 ，且 ( + ) 2 = ( ) + ( )， (1) = 0，则( )
A. (2) = 2 B. ( 1 ) = 12 4
C. ( + 1)是偶函数 D. ( ) 2是奇函数
11.在直角坐标系 中，曲线 : ( 2 + 2)( 2 + 2 4) = sin2 cos2 ，则下列结论正确的是( )
A. 与 轴无交点 B. 关于直线 = 对称
C.若点 在 5上，则| | < 5 D.若曲线 = 与 有公共点，则 < 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知平面向量 = (2, 1)， = (6, )，若 ⊥ ( )，则实数 = ．
13.记数列{ }的前 项之积为 ，已知 +1 = 2 ，且 1 = 1，则 6 = ．
14.已知函数 ( ) = 3 2 + 2 的三个零点从小到大依次成等差数列，则实数 = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3cos( + 6 )( > 0)
2
的最小正周期为 3．
(1)求 ( )图象的对称轴方程;
(2) △ = 8 在 中， ，△ 的周长为 4 ，且 ( 3 ) = 0，求 ．
16.(本小题 15 分)
在数列{ 1 +1 1 }中， 1 = 2， 2 = 2 +1 + 22 +1．
(1)求{ }的通项公式;
2
(2) = 若 ，求数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
已知圆 : ( )2 + 2 = 2( > 4, > 0)，过圆 内的点 (4,0)的弦长的最大值为 4，最小值为 2 3．
(1)求圆 的方程．
第 2页，共 7页
(2)点 | |是 轴上异于点 的一个点，且对于圆 上任意一点 ，| |为定值．
(ⅰ)求点 的坐标;
(ⅱ) (7,4) | |
2 | |2
点 ，求 | |+2| | + | |的最小值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2， ∈ .
(1)求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程;
(2)若 ( )有两个极值点，求 的取值范围;
(3)若 > 0，实数 ， 满足 ′( ) = ( + 1) ( )， ′( ) = ( ) ( 1)，试比较 ′( )和 ′( )
的大小．
19.(本小题 17 分)
如图，将△ ，△ ，△ ，△ 四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形 ，其中 = ，
= ， = = = .连接 ， ，过点 作平面 ，满足 // ， // ．
(1)证明： ⊥ ．
(2)若 = 2， = = 1，且 = ．
(ⅰ)求 到平面 的距离与 到平面 的距离的平方和;
(ⅱ)求平面 与平面 夹角的余弦值．
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.7
13.3121
14.3
15.解：(1) 2 由题意可得 =
2
3，
故 = 3，
故 ( ) = 3cos(3 + 6 )，
令 3 + 6 = ( ∈ )，可得 ( )

图象的对称轴方程为 = 3 18 ( ∈ )，
(2)由 ( 3 ) = 0

得 cos( + 6 ) = 0，
又 ∈ (0, )，
所以 = 3，
因为 + + = 4 ，
所以 + 8 = 3 ，
设 = ( > 0)，则 = 3 8，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 × × × cos ，
即(3 8)2 = 2 + 64 8 ，化简得 2 5 = 0，
第 4页，共 7页
解得 = 5，即 = 5，
故 BC= 7．
16.解：(1) 1因为 +1 2 = 2 +1 + 22 +1，所以2
+1 +1 2 = 1，
= 1又 1 2，所以 2 1 = 1，所以{2
}是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以2 = 1 + ( 1) × 1 =

，所以 = 2 ．
2
(2) (1) = 由 可知 = 2
，

所以 = 1 × 21 + 2 × 22 + 3 × 23 + + ( 1) 2 1 + 2 ， ①
2 = 1 × 22 + 2 × 23 + 3 × 24 + + ( 1) 2 + 2 +1， ②
① ②，得 = 2 + 22 + 23 + + 2 1 + 2 2 +1 ，

即 = 2×(1 2 ) 1 2 2
+1 = (1 ) 2 +1 2，
故 = ( 1) 2 +1 + 2．
17.解：(1)圆的最长弦为直径，所以 2 = 4，得 = 2．
最短弦为与直径垂直的弦，可得 2 2 ( 4)2 = 2 3，又 > 4，所以 = 5．
故圆 的方程为( 5)2 + 2 = 4．
2 2 2
(2)( ) | | ( ) + 设 ( , )， ( , 0)，则| |2 = ( 4)2+ 2，
| |2 ( )2 ( 5)2+4 (10 2 ) + 2 21
因为点 在圆 上，所以将 2 = 4 ( 5)2代入上式，得| |2 = ( 4)2 ( 5)2+4 = 2 5 ，
10 2 21 2
因为该式的值为常数，所以 2 = 5 ，解得 = 1( = 4 舍去)，所以点 的坐标为(1,0)．
2
( )由( ) | | = 8 20可知| |2 2 5 = 4，所以| | = 2| |．
| |2 | |2 + | | = | |
2 | |2 + | | = | | | | | |+| |所以 | |+2| | 2(| |+| |) 2 + | | = 2 ，
易知，| | + | | ≥ | | = 5，当点 在线段 上时等号成立，
| |+| | 5 5
故 2 的最小值为2，即原式的最小值为2．
18.解：(1) ′( ) = 2 ，
则 ′(0) = 1， (0) = 1，故所求的切线方程为 = + 1．
(2)记 ( ) = ′( )，则 ′( ) = 2 ，
因为 ( )有两个极值点，所以 ( )有两个零点．
若 ≤ 0，则 ′( ) > 0， ( )单调递增，不符合题意．
第 5页，共 7页
若 > 0，则当 ∈ ( ∞, ln(2 ))时， ′( ) < 0， ( )单调递减，当 ∈ (ln(2 ), + ∞)时， ′( ) > 0， ( )
单调递增，
所以 ( )min = (ln(2 )) = 2 [1 ln(2 )]．
又当 →+∞或 → ∞时，都有 ( ) →+∞，
故只需 2 [1 ln(2 )] < 0 ，得 > 2，
即 的取值范围是( 2 , + ∞).
(3)由 ′( ) = ( + 1) ( )，得 2 = +1 ( + 1)2 + 2 ，整理得 = ln 2．
由 ′( ) = ( ) ( 1)，
得 2 = 2 1 + ( 1)2，解得 = 1 + ln .
所以 ′( ) ′( ) = 2 2 ln
1
2 + 2 (1 + ln ) = [ 2 ( 2) + 2ln( 2)]．
1 ( 1)2
设函数 ( ) = + 2ln ，则 ′( ) = 2 ≤ 0，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递减，所以 ( 2) > (1) = 0，
又 > 0，所以 ′( ) ′( ) > 0，即 ′( ) > ′( )．
19.解：(1)取 的中点 ，连接 ， ，
因为 = ， = ， 为 的中点，所以 ⊥ ， ⊥ ，
又因为 ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥平面 ．
又因为 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)( )连接 ，因为 = ，所以 ⊥ ，
由(1)知 ⊥平面 ，则 ， ， ， 四点共面，
易证△ ≌△ ，可得 = ，
在四边形 中， = ， = ，
根据对称性，可知 垂直平分 ，
因为 // ， // ，所以在平面 内存在点 ， ，使得 / / ， // ，
则 ⊥ ， ⊥ ，即 ⊥平面 ．
如图，以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 ， ， 轴的的正方向，建立空间直角坐标系．
设 = = 2 ，直线 到平面 的距离为 1， 到平面 的距离为 2，则 ( , 0, 1)， (0, , 2).
2 + 21 = 2
因为 = 2， = = 1，所以 2 + 22 = 1 ,
2 2 + ( 21 2) = 1
第 6页，共 7页
解得 2 = 5+1， 2 = 5 1， 2 = 3 51 2 2 ，2 2
故 AC 到平面 的距离与 到平面 的距离的平方和为 21 + 22 = 5．
( )设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 = 0 + ，即 1 = 0 + = 0，取 = (
1, 2, )． = 0 2
设平面 与平面 的夹角为 ，取平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
3 5
则 cos < ， > | = = 2 = 3 5，
2+ 2 2 3+ 5 21 2+ 2
故平面 与平面 夹角的余弦值为3 5．
2
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑