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安徽省 A10联盟 2026届高三上学期九月学情诊断数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = [ 2,2]， = { | 4 ≤ ≤ 2, ∈ }，则 ∩ =( )
A. {1,2} B. {0,1} C. {0,1,2} D. [ 2,2]
2.不等式 2 | | 6 > 0 的解集为( )
A. ( ∞, 3) ∪ (3, + ∞) B. ( ∞, 2) ∪ (2, + ∞)
C. ( ∞, 2) ∪ (3, + ∞) D. ( ∞, 3) ∪ (2, + ∞)
3.设 = ln 1， = log 3， = 3 0.23 2 ，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
1 1
4 > 1 > 1.“ 3 3”是“3 3 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知函数 ( ) = ln + 1 ，且 ( 0) = 2 0，则 0所在区间可以为( )
A. (0, 12 ) B. (
1
2 , 1) C. (1,
3 3
2 ) D. ( 2 , 2)
6.设定义在(0, + ∞)上的函数 ( )的导函数 ′( )满足 ′( ) < 1，则下列不等式一定成立的是( )
A. (2) < 2 (1) B. (4) < 2 (2)
C. (2) (1) > ln2 D. (4) (2) < ln2
7.若实数 ， 满足( )2 = 2 ，则 的取值范围为( )
A. ( 2,2] B. [ 1,2] C. [ 2,2] D. [ 23 , 2]
8 .若不等式 ln + ≥ 2 ( > 0)对 > 0 恒成立，则 的最大值为( )
A. 12 B.

2 C.
1
2 D. 1
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ∈ ，集合 = { | < < + 2}， = { | < 0 或 > 1}，则下列结论中正确的是( )
A.若 = 0，则 ∩ = { |1 < < 2}
B.若 ≥ 1，则
C.若 ∪ = ，则 1 ≤ ≤ 0
D.不存在实数 ，使得 ∩ =
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10.下列说法正确的是( )
A. 1 1若关于 的不等式( 1)( 2) > 0 的解集为( , 2)，则 > 2
B.若函数 ( )和 ( )在区间[ , ]上均单调递增，则函数 ( ) ( )在区间[ , ]上不一定单调递增
C.已知直线 = + ( ∈ )是曲线 ( ) = 的一条切线，则 + = 1
D.若定义在 1 1上的偶函数 ( )满足 ( + 2) = ( )，且当 ∈ [ 2,0]时， ( ) = 2 ，则 (log225) = 25
11.已知函数 ( ) = ， ( ) = ln ，则下列说法正确的是( )
A.函数 ( )， ( )有相同的极小值
B.若方程 ( ) = 0 有唯一的实根，则 的取值范围为[0, + ∞)
C.若 1 > 0， 2 > 0， ( 1) = ( 2) = ，则 1 2 =
D. ( )当 > 1 时，不等式 ≤ 2 + 恒成立
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若函数 ( ) = ln( 6)在区间[1,3]上单调递增，则实数 的取值范围是 ．
13.已知正实数 ， 满足 + = 2 1，则 + 的最小值为 ．
2
14 ( ) = + , ≥ 1.若函数 2 , < 1 有且仅有两个零点，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = log 23( + + 2)， ∈ .
(1)若 ( )的定义域为 ，求 的取值范围;
(2)若 ( )的值域为 ，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知二次函数 ( ) = 2 + 3．
(1) 1若不等式 ( ) > 0 的解集为{ | 3 < < 1}，求 和 的值;
(2)若 > 0， = 3 + 1．
(ⅰ)解关于 的不等式 ( ) ≤ 0;
(ⅱ)若对任意 ∈ [1,2]， ( ) > 0 恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
1
已知函数 ( ) = ln + ．
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(1)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程;
(2)求函数 ( ) = ′( ) 3 ( ′( )为 ( )的导数)零点的个数;
(3)求证：当 ≥ 1 时， ( ) + ≤ 0 恒成立．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( > 0 且 ≠ 1) 1的图象过点(4,16)， ( ) = ( 4 )
+ 1， ≠ 0.
(1)求 的值;
(2)当 = 1 时，求方程 5 (2 ) = ( ) 5 的实数根;
(3)记函数 ( )， ( )在区间[ 1,2)上的值域分别为集合 ， ，若 ∈ 是 ∈ 的必要条件，求 的取值范
围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 ln ( ∈ )．
(1)当 = 0 时，求函数 ( )的极值;
(2)当 > 1 时， ( ) > 12，求 的取值范围;
(3) 3 5 7 4051求证：1×2+ 2×3+ 3×4+ + 2025×2026 > ln2026．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(6, + ∞)
13. 2 + 12
14.( ∞, 2) ∪ [ 1 1 2，2 )
15.(1)函数 ( ) = log3( 2 + + 2)的定义域为 ，则 2 + + 2 > 0 在 上恒成立
当 = 0 时， + 2 > 0 在 上不恒成立，不符合题意;
当 ≠ 0 > 0 1时，有 = 1 8 < 0，解得 > 8．
1
综上， 的取值范围为( 8 , + ∞).
(2)函数 ( ) = log 2 23( + + 2)的值域为 ，则 = + + 2 的值域必须包含(0, + ∞).
当 = 0 时，则 = + 2 的值域包含(0, + ∞)，符合题意;
当 ≠ 0 > 0 1时，有 = 1 8 ≥ 0，解得 0 < ≤ 8．
综上， 的取值范围为[0, 18 ].
16.(1) 1由题意得， 3，1 是方程
2 + 3 = 0 的两根，
1+ 1 = = 9
则 3
1 = 3
，解得 = 6
3
(2)( )若 = 3 + 1，则 ( ) = 2 (3 + 1) + 3 = ( 1)( 3)．
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当 0 < < 1 13时， > 3，则不等式 ( ) ≤ 0
1
的解集为[3, ];
= 1 1当 3时， = 3，则不等式 ( ) ≤ 0 的解集为{3};
1 1
当 > 3时， < 3，则不等式 ( ) ≤ 0
1
的解集为[ , 3]．
( )若 = 3 + 1，则 ( ) = 2 (3 + 1) + 3 = ( 2 3 ) + 3．
(1) > 0 ( 2 3 ) + 3 > 0
令 ( ) = ( 2 3 ) + 3 ，则 ( ) > 0 在[1,2]上恒成立，所以 (2) > 0，即 2( 2 3 ) + 3 > 0
< 1 或 > 3
解得 1 ，所以 <
1
或 > 3，即 的取值范围为( ∞, 1 ) ∪ (3, + ∞).
< 2或 > 3
2 2
17.解：(1)由题意得， ( )的定义域为(0, + ∞)， 1 1 1′( ) = 2 = 2 ，
所以 (1) = 1， ′(1) = 0，则所求切线方程为 1 = 0，即 = 1．
3
(2) 1 1 3 3 由题意得， ( )的定义域为(0, + ∞)， ( ) = ′( ) 3 = 2 3 = 3 2 ．
令 ( ) = 3 3 3( > 0)，则 ′( ) = 3 3 2，
令 ′( ) > 0，解得 0 < < 1，令 ′( ) < 0，解得 > 1，
所以 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
所以 ( )max = (1) = 1，所以 ( ) < 0 恒成立，即函数 ( )无零点，
(3)令 ( ) = ( ) + = ln + + 1，
则 ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = ln ，
令 ( ) = 1′( ) = ln ，则 ′( ) =
，
因为 ≥ 1 1，所以 ≤ 1，
> 1，则当 ≥ 1 时， ′( ) < 0 恒成立，
所以 ( )，即 ′( )在[1, + ∞)上单调递减，
所以 ′( ) ≤ ′(1) = < 0，所以 ( )在[1, + ∞)上单调递减，
所以 ( ) ≤ (1) = 0，即 ( ) + ≤ 0.
18.解：(1)由题意得， 4 = 16，解得 =± 2，因为 > 0，所以 = 2．
(2)由(1)得， ( ) = 2 1，当 = 1 时， ( ) = ( 4 ) + 1，
5 (2 ) = ( ) 5 1等价于 5 22 = ( 2 4 ) 4，即 5 (4 ) + 4 4 1 = 0，
即(5 4 1)(4 + 1) = 0，所以4 = 1 15，解得 = log4 5 = log45.
(3)由(1)得， ( ) = 2 ，当 ∈ [ 1,2) 1时， = [ 2 , 4)．
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当 > 0 时， ( ) = ( 1 4 ) + 1 在[ 1,2)上单调递减，
此时 = ( 116 + 1,4 + 1]，
因为 ∈ 是 ∈ 的必要条件，所以 ，
> 0
1 1 3
所以 16 + 1 2，解得 0 < < 4；
4 + 1 < 4
当 < 0 时， ( ) = ( 14 )
+ 1 在[ 1,2) 1上单调递增，此时 = [4 + 1, 16 + 1)，
< 0
因为 ，所以 4 + 1
1
2 ,
1
16 + 1 4
1
解得： 8 ≤ < 0．
综上，实数 1 3的取值范围为[ 8 , 0) ∪ (0, 4 ).
19.解：(1)当 = 0 时， ( ) = ln ， ′( ) = ln 1，
( ) > 0 1 1由 ′ ，得 0 < < ;由 ′( ) < 0，得 > ，
所以 ( )在(0, 1 )
1
上单调递增，在( , + ∞)上单调递减，
1 1
所以函数 ( )有极大值 ( ) = ，无极小值．
(2)由题意得， ′( ) = 2 ln 1．
1①当 ≥ 2时， ′( ) = 2 ln 1 ≥ ln 1，
( ) = ln 1 ( ) = 1令 ，则 ′ ，
当 > 1 时， ′( ) > 0，则 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) > (1) = 0，所以当 > 1 时， ln 1 > 0，
所以 ′( ) > 0，所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) > (1) = ，所以 ( ) > 12，满足题意．
1 1 2 1②当 0 < < 2时，令 ( ) = 2 ln 1， ′( ) = 2 = ，
所以当 ∈ (1, 1 ) ( ) < 0 12 时， ′ ，所以 ′( )在(1, 2 )上单调递减，
又 ′(1) = 2 1 < 0 1，所以当 ∈ (1, 2 )时， ′( ) < 0，所以 ( )在(1,
1
2 )上单调递减，
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所以 ( ) < (1) = < 1 12，所以 0 < < 2不符合题意．
③当 ≤ 0， > 1 时， ′( ) = 2 ln 1 < 0，所以 ( )在(1, + ∞)上单调递减，
所以 ( ) < (1) = < 12，所以 ≤ 0 不符合题意．
1
综上，实数 的取值范围是[ 2 , + ∞).
(3) 1证明：由(2)得，当 = 2时， ( ) =
1
2
2 ln > 12 ( > 1)
1
，所以 2ln < ( > 1)
1
当 > 1 时，ln < 2ln ，所以 ln < ( > 1)．
= +1 ln +1 < +1 = 2 +1 2 +1 +1令 ，得 +1 ( +1)，即 ( +1) > ln ．
所以2025 2 +1 2025 +1 2 3 2026 =1 ( +1) > =1 ln = ln( 1 × 2 × × 2025 ) = ln2026，
3 5 7
即1×2 + 2×3 + 3×4+ +
4051
2025×2026 > ln2026．
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