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2025-2026学年度第一学期高三年级第一次阶段性测试
数学学科(2025.9)
一.选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上.
(1) 设全集, 集合. 则
(A) {0,2,4,6,8} (B) {0,1,4,6,8} (C) {1,2,4,6,8} (D) U
(2) 已知x, y是实数, 则 是“x(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(3) 函数 的图象大致是
(4)某市为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.为了确定一个比较合理的标准，通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据(单位：吨)，得到如图所示的频率分布直方图.估计该市居民月均用水量的中位数为
(A)8.45 (B) 8.55
(C) 8.65 (D)8.85
(5)已知 则a，b，c的大小关系为
(A) c>a>b (B) b>a>c
(C) a>b>c (D) c>b>a
(A)若 (B).若
(C)若α⊥β, a α, 则a⊥β (D)若
(7)已知等比数列 的首项为1，公比为e，则数列 的前10项和为
(A)15 (B)35 (C)45 (D)55
(8)若函数. 的图象上有两个相邻顶点为 将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得g(x), 则 的值为
(9)已知双曲线 的左、右焦点分别为F ，F ，且F 也是抛物线 焦点，若点M是双曲线与抛物线的一个公共点， 则此双曲线的离心率为
(B) 2
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写到答题卡上.试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分.
(10)已知i是虚数单位，则复数
的展开式中常数项是 .(用数字作答)
(12)已知直线与圆 相交于A，B两点，且
则实数m=
(13)某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为 ；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为 .
(14)在四边形ABCD中, M为AD中点.记 用 表示 若 则 的最大值为 .
(15) 若方程 有且仅有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 .
三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(16)(本小题满分14分)
已知△ABC的内角A,B, C, 的对边分别为a, b, c, 满足
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)若b=2, c=2a, 求a的值;
(Ⅲ) 若 求 的值.
(17)(本小题满分15分)
如图，在多面体 中，平面 为矩形,AA ⊥平面ABC,AA ∥CC , AB⊥AC,
(Ⅰ)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(Ⅱ) 求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(Ⅲ)求点A 到平面 的距离.
(18)(本小题满分15分)
已知椭圆 的离心率为 且过点
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ) 若点Q(2,0), 直线l与椭圆交于A, B两点 (异于点Ω), 直线QA与QB的斜率之积恒为 求证：直线l过定点.
(19) (本小题满分15分)
设数列{an}是等差数列，{b }是等比数列.已知
(Ⅰ)求数列 和 的通项公式：
(Ⅱ) 设 求数列 的前2n项和
(Ⅲ) 设 数列 的前n项积为 Pn，证明：
(20)(本小题满分16分)在天津考生下载更多资料
设函数
(Ⅰ) 求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)设函数
(i) 当x=1时, g(x)取得极值, 求g(x)的单调区间;
(ii) 若存在两个极值点, 证明:2025-2026学年度第一学期高三年级第一次阶段性测试
数学学科答案(2025.9)
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
A
D
C
A
B
B
C
B
A
二
填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
12-718@@14@-万@
33
10.1+3i
11.-40
1-2e
三.解答题：
16.(本小题满分14分)
解：(1)因为√3 acos B=bsinA,由正弦定理得：
√5 sin Acos B=sin BsinA,即sin 43cosB-sinB=0,......2分
因为A,B∈(0，π)，所以sinA≠0......
..3分
所以tanB=V5,则B=
...4分
3
(2)由(1)知B=T,又b=2,c=2a,
由余弦定理得：b2=a2+c2-2 ac cos B,即4=a2+4a2-2a2,.......6分
解得a2=4,则a=
2V5
3
3
….7分
(3)由cosA=
5得：sin4=-eos看-万
3
8分
in2sim os0
，…12分（公式结果各1分）
9
所以cos2A-B)=cos2 Acos+sin2 Asin B-X、+i4x5√厂-5
92
9x-
218
14分
(公式结果各1分)
17.(本小题满分15分)
解：(1)如图，以A为坐标原点，以AB,AC,A4所在直线
B
为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系
则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,4,0),A1(0,0,4),B1(3,0,4),
C1(0,4,2),.....2分
A1C=(0,4,-4),AB=(3,0,0),AC1=(0,4,2).
设平面ABC1的法向量为元=(x,y,Z),
则元A=3x=0
m·AC=4y+22=0'令y=1,得m=(01,-2),
....4分
设直线A1C与平面ABC1所成的角为0，
则sn0=osaC,=需调=l品5l=
12
10、·…….6分
所以直线A,C与平面ABC,所成角的正弦值为沿
………7分
(设和答话有一个即可)
(2)A1B1=(3,0,0),A1C1=(0,4,-2),
设平面A1B1C1的法向量为元=(x,y,Z),
则n:AB=3x=0
令y=1,得元=(0,1,2)，.9分
(元·A1C1=4y-2z=0
设平面ABC1与平面A1B1C1的夹角为p,
则cosp=lcos列=调=5=
3
.11分
所以平面ABC1与平面A1B1C1的夹角的余弦值为
……..12分
(设和答话有一个即可)》
(3)由(1)(2)可知，平面ABC1的法向量为元=(0,1，-2)，A1C1=(0,4,-2),
点A1到平面ABC的距离d=4=-5
..15分

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