2025-2026学年江苏省无锡市锡山高级中学锡西分校高三(上)月考数学试卷(9月份)(PDF版,含答案)

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2025-2026学年江苏省无锡市锡山高级中学锡西分校高三(上)月考数学试卷(9月份)(PDF版,含答案)

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2025-2026学年无锡市锡山高级中学锡西分校高三(上)9月月考
数学试卷
一、单选题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = ,集合 = { | = 3 1, ∈ }, = { | = 6 1, ∈ },则( )
A. B. C. = D. ∩ =

2.设复数 = 1 + ,则 的共轭复数 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. D.
3.已知函数 ( )的周期为 2,且在(0,1)上单调递增,则 ( )可以是( )
A. ( ) = B. ( ) = |sin 2 | C. ( ) = 2 D. ( ) =
4 ln(
2)
.函数 ( ) = + 的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.将函数 ( ) = sin(2 + 6 )

的图象向右平移6个单位长度,然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的
1
2 (纵坐标不变),得到函数 = ( )

的图象,则当 ∈ [0, 4 ]时,函数 ( )的值域为( )
A. [ 12 ,
1
2 ] B. [ 1,
1
2 ] C. [ 1,1] D. [
1
2 , 1]
6.已知 , 都是锐角,tan( + ) = 3 = 6 ,则 tan( ) =( )
A. 1 B. 2 C. 23 3 5 D.
4
5
7.设 是△ 的重心,且满足等式 7 + 3 + 3 7 = 0,则 等于( )
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
8.已知函数 ( ) = | | + , ( ) = 2 4 + 3,若方程 ( ) = | ( )|恰有 2 个不同的实数根,则实数
的取值范围为( )
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A. [ 1 , 3 ] B. ( 1 , 32 2 2 2 )
C. [ 1 3 13 1 3 132 , 2 ] ∪ [ 8 , + ∞) D. ( 2 , 2 ) ∪ ( 8 , + ∞)
二、多选题:本题共 3小题,共 18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.在下列函数中,最小值是 2 的函数有( )
A. ( ) = 2 + 1 2 B. ( ) = +
1
(0 < < 2 )
2
C. ( ) = +4 D. ( ) = 3 + 4
2+3 3
2
10.已知平面向量 = (2,1), = ( , 3),则( )
A.若 = 6,则 //
B.若 > 1,则 与 的夹角为 0 或锐角
C.若 为任意非零向量,则存在实数 ,使得 =
D. 3若 在 上的投影向量为 5 ,则 = 2 或 = 0
11.已知定义域在 上的奇函数 ( )的图象关于直线 = 3 对称,且当 ∈ (0,3]时, ( ) = 4 2则下列说
法正确的有( )
A. (0) = 0 B.当 ∈ [ 3,0)时, ( ) = 4 + 2
C. = 8 是 ( )的极小值点 D. (log215) > ( 2)
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。
1
12.求值:27 3 + log 2 2 385 12 + 10 = ______.
5
13.如图,在△ 中, 为边 上一点,且 = 3 , 为 上一点,且
满足 = + ( > 0, > 0) 1 3,则 + + 3 的最小值为______.
14.已知 ( ), ( )为定义域为 的函数,其中 ( )为奇函数, ( )为偶函数,下列命题正确的序号是______.
①存在 ( ), ( )使得 ( ) ( ) = 恒成立;
②使得 ( + ) = ( ) + ( )恒成立的 ( )存在且唯一;
③使得 ( ) + ( ) = 恒成立的 ( ), ( )存在且唯一;
1
④满足当 ≠ 0 时, ( ) + ( ) = 0 恒成立的 ( )有无穷多个.
四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 + cos2 12 , ∈ .
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(1)求函数 ( )的最小正周期和单调递增区间;
(2)已知 ∈ (0, ), ( 2 +

6 ) =
3
5,求 ( 12 )的值.
16.(本小题 15 分)
在△ 中,内角 , , 所对的边分别是 , , ,三角形面积为 ,若 为 边上一点,满足 ⊥ ,
= 2,且 2 = 2 33 + .
(1)求角 ;
(2) 2 1求 + 的取值范围.
17.(本小题 15 分)
3
已知二次函数 ( )满足 (0) = (1) = 1,且有最小值4.
(1)求 ( )的解析式;
(2)在 ∈ [ 1,1]上,函数 ( )的图象总在一次函数 = 2 + 的图象的下方,试确定实数 的取值范围;
(3)设当 ∈ [ , + 2]( ∈ )时,函数 ( )的最小值为 ( ),求 ( )的解析式.
18.(本小题 17 分)
4
已知函数 ( ) = 1+2 ( ∈ ).
(1)求证: ( )在( ∞, + ∞)上单调递增;
(2)若 ( )是奇函数.
( )求 的值;
( ) 1 1若对于任意的 ∈ [ 2 , 2 ],不等式 (
2 + + 1) + ( 2 ) ≥ 0 恒成立,求 的取值范围.
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + ( + 1) + ( + 1) 1.
(1)若 = 1,求 ( )的极值;
(2)若 = 2,判断 ( )的零点个数并证明;
(3)若对任意 ∈ [0, ], ( ) ≥ 0,求实数 的取值范围.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.43
13.15
14.②③④
15. ;[ 3 , +

6 ], ∈ ;
24
25
16.解:(1)因为 2 = 2 3 ,3 +
所以 2 = 33 + ,即 =
3
3 + ,
由正弦定理得 = 33 + ,
所以 sin( + ) = 33 + ,
所以 = 33 ,
因为 ≠ 0,
所以 = 3,
因为 ∈ (0, ),
可得 = 2 3;
(2)在△ 中,因为 ⊥ , = 2,
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∠ = 所以 6,

由正弦定理得sin∠ = ,
2
所以 = 6 1 , =
在△ 中,由正弦定理得sin∠ = ,
2
所以 = 2 = 2 ,
2 1 2 1
所以 + = 2 + 1 = + ,

因为∠ = 2 3,
所以 + = 3,
2 1
所以 + = + = sin( 3 ) +
2 + 1,整理得 = sin( +

3 ),

因为 0 < < 3,

所以 + 3 ∈ (
2
3 , 3 ),
2 1
所以 sin( + ) ∈ ( 3 , 1],可得 + 的取值范围是
3 .
3 2 ( 2 , 1]
17. ( ) = 2 + 1;
(5, + ∞);
2 + 1, ≥ 12
( ) = 3 , 3 14 2 < < 2
2 + 3 + 3, ≤ 32
18.证明:任取实数 1, 2满足 1 < 2,
1 2
则 ( 1) ( ) =
4 4
2 1+2 1 ( 1+2 2 ) = 4 ×
2 2
(1+2 1) (1+2 2),
∵ 1 < 2,∴ 2 1 < 2 2,又(1 + 2 1) (1 + 2 2) > 0,∴ ( 1) ( 2) < 0,
即 ( 1) < ( 2),故 ( )在( ∞, + ∞)上单调递增;
( ) = 2;( )[1, + ∞)
19.(1)解:当 = 1 时,函数 ( ) = ln( + 1) 1,则 ′( ) = 1 +1 > 1 .
因为函数 ′( )是增函数,且 ′(0) = 0,
所以当 1 < < 0 时, ′( ) < 0,函数 ( )单调递减;当 > 0 时, ′( ) > 0,函数 ( )单调递增,
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因此函数 ( )在 = 0 处取得极小值,极小值为 (0) = 0 ln(0 + 1) 1 = 0,无极大值.
(2)证明:当 = 2 时, ( ) = 2 ( + 1) 1.
2
因为 ( ) = 2 ( + 1) 1,所以 ′( ) = +1 cos > 1 .
2 2 2
令 ( ) = +1 cos > 1 ,则 ′( ) =
+ ( +1)2 + sin ≥ + ( +1)2 1,
因此当 1 < < 0
2 2
时, > 0, ( +1)2 > 1,则 ′( ) > 0;当 ≥ 0 时,
≥ 1, ( +1)2 > 0,则 ′( ) > 0,
所以 ′( ) > 0,因此函数 ′( )在( 1, + ∞)上单调递增.
又因为 ′(0) = 1 2 1 < 0, ′(1) = 1 1 > 1 1 > 0,而函数 ′( )在( 1, + ∞)上单调
递增,
所以函数 ′( )存在唯一的零点 0, 0 ∈ (0,1),使得 ′( 0) = 0,
因此 ∈ ( 1, 0)时, ′( ) < 0,函数 ( )单调递减; ∈ ( 0, + ∞)时, ′( ) > 0,函数 ( )单调递增,
因此 ( ) = ( 0).
因为函数 ( )在( 1, 0)上单调递减,0 ∈ ( 1, 0),且 (0) = 0,所以函数 ( )在( 1, 0)上存在唯一的
零点.
因为函数 ( )在( 1, 0)上单调递减,0 ∈ ( 1, 0),所以 ( 0) < (0) = 0,
而 ( ) = 2 ( + 1) 1 > 3 2 ( + 1) 1 > 23 2 ( + 1) 1 > 23 2 2 1 > 0,
因此由函数 ( )在( 0, + ∞)上单调递增知:函数 ( )在( 0, )上存在唯一的零点,
综上所述,函数 ( )在( 1, + ∞)上有且仅有两个零点;
(3)㈠当 ≥ 0 时,因为 ∈ [0, ],所以 ≥ 0,ln( + 1) ≥ 0, ≥ 1,
因此 ( ) = + ( + 1) + ( + 1) 1 ≥ 0,满足题意.

㈡当 < 0 时, ′( ) = + +1+ ( + 1)cos > 1 ,令 ( ) =
+ +1 + ( + 1)cos > 1 ,

因此 ′( ) = ( +1)2 sin sin > 1 .

因为 ∈ [0, ],所以 ≥ 1, ( +1)2 > 0, ≥ 0, ≥ 1,
因此 ′( ) > 0,所以函数 ( )在[0, ]上单调递增,即函数 ′( )在[0, ]上单调递增.
又因为 ′(0) = 2 + 2 ,
所以:①当 1 < 0 时, ′(0) = 2 + 2 ≥ 0,而函数 ′( )在 ∈ [0, ]上单调递增,因此 ′( ) ≥
′(0) = 2 + 2 ≥ 0,
所以函数 ( )在 ∈ [0, ]上单调递增,而 (0) = 0,因此 ( ) ≥ (0) = 0,满足题意.
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②当 < 1 时, ′(0) = 2 + 2 < 0,而由 , 得:
因此由函数 ′( )在 ∈ [0, ]上单调递增知:存在唯一的 0 ∈ (0, ),使得 ′( 0) = 0,
所以当 ∈ [0, 0]时, ′( ) < 0,函数 ( )在 ∈ [0, 0]上单调递减,
因此 ( 0) < (0) = 0,不满足题意.
综上所述,实数 的取值范围是[ 1, + ∞).
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