湖南省长沙市周南中学2026届高三上学期第2次阶段性检测数学试题(含解析)

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湖南省长沙市周南中学2026届高三上学期第2次阶段性检测数学试题(含解析)

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长沙市周南中学2026 届高三第 2 次阶段性检测数学科目试题卷
考试时间:120 分钟 总分:150 分
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2、已知复数 ,则 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知单位向量 满足 ,则 与 的夹角等于( )
A. B. 60° C. 120° D. 150°
4、一组不全相等的数据, 去掉一个最大值, 则下列数字特征一定改变的是 ( )
A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数
5、如图所示,在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为 2 的圆,使之恰好围成一个圆锥, 则圆锥的高为 ( )
A. B. C. 4 D.
6、记 为数列 的前 项之积,已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 为 的左顶点,抛物线 的准线与 轴交于 . 若在 的渐近线上存在点 ,使得 ,则 的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8、已知函数 ,若 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题:每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得 3 分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,设事件 “第一次出现 2 点”,事件 “两次点数之和为奇数”,则事件 与 互斥.
B. 已知一组数据为-1,1,2,4,3,5,10,9,若 为这组数据的上四分位数,则
C. 数据 组成一个样本,其回归直线方程为 ,其中 ,去除一个异常点(1,7)后,得到新的回归直线必过点(9,5)
D. 若 ,则事件 相互独立与 互斥不可能同时成立
10. 如图,正方体 棱长为 3,动点 在正方体 内及其表面上运动,点 在棱 上,且 ,则下列说法正确的有( )
A. 若 ,则三棱锥 的体积为定值
B. 棱 上存在点 ,使得 平面
C. 若 ,则动点 所围成的图形的面积为
D. 若动点 在底面 内, ,则线段 的最小值为
11. 若 ,数列 和 的公共项由小到大排列组成 ,则( )
A. 数列 的前 项和
B.
C. 为等比数列
D. 、 、 不是任一等差数列的三项
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设随机变量 ,向量(1,1)与向量 的夹角为锐角的概率是 0.5,则 的值是_____.
13. 已知 为坐标原点, 为椭圆 的左、右焦点, 是椭圆上异于顶点的一点,点 是以 为底的等腰三角形 的内切圆圆心,过 作 ,垂足为 , ,则椭圆的离心率为_____
14. 已知锐角 满足 ,则 最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
15. (本小题满分 13 分) 记 的三个内角分别为 ,其对边分别为 ,分别以 为边长的三个正三角形的面积依次为 ,且
(1)求 的面积;
(2)若 ,求 .
16. (本小题满分 15 分) 已知两个非零向量 ,在空间中任取一点 ,作 ,则 叫做向量 与 的夹角,记作 . 定义 与 的“向量积”为 ,它是一个向量,且与向量 都垂直,它的模 , 如图,在正四棱锥 中, ,且
(1)若 为侧棱 上的点,且 平面 ,求平面 与平面 的夹角的大小;
(2)若点 是侧棱 (不包含端点)上的一个动点,当直线 与平面 所成的角最大时,求 的值.
17. (本小题满分 15 分) 已知函数 ,且 在 上的最小值为 0 .
(1) 证明: 当 时, ;
(2)求实数 的取值范围.
18(本小题满分 17 分)某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试. 首次测试 (测试 I)通过率为 ,末通过测试 I 的芯片进入第二次测试(测试 II),通过率为 . 通过任意一次测试即为合格芯片,否则报废.
(1)若 ,已知一枚芯片合格,求其是通过测试 的概率 ;
(2)为估计 (1) 中的 ,工厂随机抽取 枚合格芯片,其中 枚为通过测试 I. 即 ,记 . 若要使得 总能不超过 0.1,试根据参考内容估计最小样本量 .
参考内容: 设随机变量 的期望为 ,方差为 ,则对任意 ,均有
19. (本小题满分 17 分) 位于第一象限或 轴正半轴的一点 满足 ,过 作 的切线,切点为 ,且满足 ,设 为 关于 的对称点.
(1) 证明:
(2)若过 的另一条切线切 于 ,设 为 关于 的对称点,如此重复进行下去,若 为 关于切点 的对称点,设
(i) 证明: 为等差数列. (ii) 若 ,求 的值.
2026 届高三第 2 次阶段性检测数学科目参考答案
1. 易知 ,又 ,可得 .
故选: B
2、D 由复数 ,所以 在复平面内对应的点(2, - 1)位于第四象限. 故选: D.
3、B 因为 ,即 ,解得 ,
设 与 的夹角为 ,则 ,又 ,所以 ,
即 与 的夹角等于 . 故选: B
对于 ,去掉最大值后,新极差为原次大值与最小值之差,
若原次大值等于最大值, 则极差不变, 若原次大值不等于最大值, 则极差改变, 故 A 错误;
对于 ,去掉最大值后,中位数可能改变,可能不变,如原数据为1,2,2,3,
中位数为 2 , 去掉 3 后, 数据为 1, 2, 2 , 中位数还是 2 , 故 B 错误;
对于 ,设原平均数为 ,且 按照从小到大的顺序,
假设去掉最大值 后平均数不变,则 ,
若 ,则 由于原数据不全相等,则 ,
故矛盾,所以平均数一定改变,故 正确;
对于 ,众数不一定改变,如数据为2,2,3,4,众数为 2,去掉 4 后,
众数仍为 2 , 故 D 错误. 故选: C.
5、B 由图知, 扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长, 圆锥底面圆的半径为
设扇形半径为 ,则有 ,解得 ,因此圆锥的母线长为 ,
所以圆锥的高 . 故选: B
6、C 因为 ,故 ,故 ,
故 ,所以 是公差为 2 的等差数列,
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 . 故选: C.
7、 抛物线 的准线与 轴交于 ,则 ,
设 的中点为 ,则 ,
在 渐近线上存在点 ,使得 ,
是以 为圆心,半径为 的圆与渐近线 有公共点,
所以 , ,所以 . 故选: D
8、A 因为 ,所以 为偶函数,
当 时,则 ,所以
令 ,则 ,令 ,解得 ; 令 ,解得 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,可得 ,即 在 上恒成立,故 在 上单调递增.
令 ,则 ,所以当 时, ,函数 单调递减,当 时, ,函数 单调递增,又 ,所以 ,即 ,
所以 ,所以 ,即 .
故选: A.
9. BCD 对于 ,抛掷两次,第一次为 2 点,第二次出现3点,则事件 同时发生,故 不互斥,故 错误.
对于 ,将原数据按照从小到大的顺序排序为-1,1,2,3,4,5,9,10,
因为上四分位数就是第 75 百分位数,所以 ,所以
故 B正确;
对于 ,因为回归直线方程为 过样本的中心点 ,
所以 ,
所以去除一个异常点(1,7)后,
所以新的回归直线必过点(9,5),故 正确;
对于 选项,若 互斥,则 .
若 相互独立,则 (因为 ).
所以事件 相互独立与 互斥不可能同时成立,故 正确;
答案 BCD
10. ACD 对于选项 A: 因为动点 在正方体 内及其表面上运动,且 ,所以点 在线段 上.
由正方体性质可得: . 因为 平面 平面 ,
所以 平面 ,则点 到平面 距离等于点 到平面 距离,
所以三棱锥 的体积即为三棱锥 的体积,即三棱锥
的体积为定值,故选项 正确;
对于选项 : 由正方体性质可得: 平面 平面 . 因为点 在棱 上,且 ,点 在棱 上,所以直线 平面 ,则直线 与平面 相交,所以棱 上不存在点 ,使得 平面 ,故选项 错误;
对于选项 : 由正方体性质可得: .
因为 平面 平面 ,
所以 平面 ,又因为 ,
动点 在正方体 内及其表面上运动,
所以点 轨迹为矩形 . 又因为正方体的棱长为 3,
所以 ,则动点 所围成的图形的面积为 ,故选项 正确;
对于选项 : 在底面 中,以点 为坐标原点,以 所在直线为 轴,以 所在直线为 轴建立平面直角坐标系,如图所示: 则 , , . 因为动点 在正方形内,
所以设点 坐标为 ,且 .
则 .
由正方体性质可得: 平面 ,因为 平面 ,
所以 ,则 . 又因为 ,
所以 ,整理得: ,
所以动点 的轨迹是以 为圆心,以 为半径的圆,且在正方形
内的一部分 . 因为 ,
所以线段 的最小值为 ,故选项 正确. 故选: ACD.
11. ACD 对于 A 由 ,
得 ,
两式相减得,
所以 故 对;对于
设 的第 项与 的第 项相等,即

故 为奇数 故 错, 对;
对于 ,设 、 、 是等差数列 的第 、 、 项, 的首项为 ,公差为 ,
因为 是有理数, 是无理数
所以原假设不成立,即 不是任一等差数列的三项 故选: ACD
12、1 已知向量 与向量 的夹角为锐角,
则 ,解得 ,当 时,可得 ,解得 ,
故向量 不能同向共线,即 ,
又向量 与向量 的夹角为锐角的概率是 ,则 ,则
13、 在等腰 中, ,
所以由椭圆定义可知, .
分别延长 与 ,交于点 ,因为 为 的平分线,
,故 与 全等,所以 为 的中点且 .
又因为 为 的中点, ,所以 ,
故 . 所以离心率为 . 答案
14. 因为 ,所以
,所以 ,
因为 为锐角,所以两边同除 得 ,
所以 .
因为 为锐角,所以当 时, 有最大值为 1,此时 取到
最小值为 .
另解 由已知

故答案为:
15.解(1)因为边长为 的正三角形的面积为 ,所以
. 即 . 故 .
由 ,得 . 所以
故 ……7 分
(2)由正弦定理,得

16. (1)连接 ,设 和 相交于点 ,取 的中点 ,连接
因为 ,所以 与 的夹角即为 与 的夹角,即
故 ,所以 ,
所以 ,又 是平面 的法向量,
是平面 的法向量,故平面 与平面 的夹角就是
,故 7 分
(2)由(1)及题可知, 两两互相垂直. 故以 为原点, 所在直线
分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
因为点 是侧棱 (不包含端点)上的一个动点,所以可设 设 ,则 ,可得
,因为点 在侧棱 上,所以平面 的法向量
就是平面 的法向量,设平面 的法向量为
易得 ,
因为 ,且 ,所以 即
取 设直线 与平面 所成的角为 ,则
当且仅当 时取等号,即 分
17.解: (1) 令 ,则
即 ,所以 在
上单调递增, . 即当 时, 7 分
(2) ,注意到 ,
所以当 时, 在 上单调递增
(i) 若 ,即 在 上单调递增,
所以 在 上的最小值为 ,符合题意.
(ii) 若 ,即 ,此时 ,
(注: 时 也可给分)
又函数 在 的图象不间断,据零点存在性定理可知,存在
,使得 ,
且当 时, 在 上单调递减,
所以 ,与题意矛盾,舍去.
综上所述,实数 的取值范围是 分
(若使用洛必达法则, 第二问给 4 分)
18. (1) 记事件 : 经过测试 ,事件 : 经过测试 ,事件 : 芯片合格,
,
则 8分
(2)因为 ,所以 , ,
,
又 ,当且仅当 时等号成立,
,均有 ,
取 ,则 ,
根据题意要使得 总能不超过 0.1,
当 ,即 时满足条件,
最小样本量大约为 1000 .17 分
19.(1)证明:由已知

( 2 )( i )设过 的切线的斜率为 ,其中
则切线方程为 ,联立 得 ,

由 (1) ,令
由因为 ,故
于是
为等差数列11 分
(ii) 由 (i)
此时
故 分

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