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陕西省宝鸡实验高级中学 2026 届高三上学期第一次模考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 2, 1, 0, 1, 2 , = 2 3 + 2 = 0 ，则 ∩ R =( )
A. 2, 1, 0, 1 B. 2, 1, 0 C. 0, 1, 2 D. 2, 0, 1
2.在复平面内， 2 + 2i 1 2i 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量 = ( , 1)， = ( 4, )，则“ // ”是“ = 2”的( )
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4 3.下列计算结果是 3 的是( )
A. 2sin2 3π8 1 B. sin15°cos15° C. cos
2 3π 2tan75°
8 D. tan275° 1
5.已知函数 ( )为偶函数， ( )为奇函数，且满足 ( ) + ( ) = e ，则 ln2 =( )
e2+e 2 2 2A. 2 B.
e e
2 C. 0 D.
5
4
2 5( ≤ 1),
6.已知函数 ( ) =
( > 1)
是 R 上的增函数，则 的取值范围是 ( )
A. 3 ≤ < 0 B. 3 ≤ ≤ 2 C. ≤ 2 D. < 0
7.已知函数 ( ) = e ( 1)2 . = ( 2记 2 ), = (
3
2 ), = (
1
2 )，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
8.已知 ( )是定义域为( ∞, + ∞)的奇函数，满足 (1 ) = (1 + ).若 (1) = 2，则 (1) + (2) + (3) +
+ (50) =
A. 50 B. 0 C. 2 D. 50
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选)已知 (2 + 1) = 2，则下列结论正确的是( )
2
A. ( 3) = 4 B. ( ) = 2 +14 C. ( ) =
2 D. (3) = 9
10.已知 , ∈ +，且 + = 1，那么下列不等式中一定成立的是( )
A. ≤ 1 B. 1 + 1 1 + 14 ≥ 9
C. + ≤ 2 D. 1 +
1
≤ 4
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11.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数 = sin ，我们听到的声
1
音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数 ( ) = sin + 2 sin2 ，则下列结论正确
的是( )
A. 2 是 ( )的一个周期 B. ( )在[0,2 ]上有 3 个零点
C. ( ) 3 3的最大值为 4 D. ( ) [0,

在 2 ]上是增函数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12 ( ) = { , < 0.已知 2 2, ≥ 0，则 ( (―2)) = ，函数 ( )的零点的个数为 ．
13.已知命题 “ ∈ R, 2 2 3 ≥ 0”，则 为 ；若 是真命题，则 的取值范围为 ．
14.已知曲线 : = 3 2 ，两条直线 1、 2均过坐标原点 ， 1和 交于 、 两点， 2和 交于 、 两点，若
三角形 的面积为 2，则 的面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 3 sin + cos = 0．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 7， = 3，求 的面积．
16.(本小题 15 分)
在公差为 ( ≠ 0)的等差数列{ }和公比为 ( > 0)的等比数列{ }中 2 = 1 = 3, 4 = 7, 3 = 27,
(1)求数列{ }与 的通项公式；
(2)令 = + ，求数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传 11 月 4 日至 11 月 10 日的步数信息.教师甲、乙这七天的
步数情况如图 1 所示．
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(1)从 11 月 4 日至 11 月 10 日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率；
(2)从 11 月 4 日至 11 月 10 日中随机选取三天，记乙的步数不少于 20000 的天数为 ，求 的分布列及数
学期望；
(3)根据 11 月 4 日至 11 月 10 日某一天的数据制作的全校 800 名教职员工步数的频率分布直方图如图 2 所
示.已知这一天甲与乙的步数在全校 800 名教职员工中从多到少的排名分别为第 501 名和第 221 名，判断这
是哪一天的数据. (只需写出结论)．
18.(本小题 17 分)
如图，边长为 4 的正方形 1 1是圆柱 1 2的轴截面， 是圆柱底面圆周上一点．
(1)求证： 1 ⊥ ；
(2)若直线 1 和平面 1 所成的角为 30°，求三棱锥 1 的体积；
(3)设圆柱 1 2的外接球为球 ，求直线 2 与球 的两个交点间的距离．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln( + )．
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点 2, (2) 处的切线方程；
(2)当 = 1 1时，求函数 ( ) = 2
2 ( )( ∈ )的单调区间；
(3)当 = 0 时，函数 = ( )的图像与 = ( )的图像关于直线 = 对称.若不等式 ( ) 1 ≥
( ) + 1 对 > 0 恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.14
；1
13. ∈ R, 2 2 3 < 0
；( 3,0]
14.2 2
15.(1)由正弦定理得 3sin sin + sin cos = 0．
因为 ∈ (0, π)，所以，sin ≠ 0，tan = 33 ．
因为在 中， ∈ (0, π) 5π，所以， = 6 ．
(2)由 = 7， = 3及余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ．
得 2 + 3 4 = 0，解得 = 1 或 = 4(舍)
1 1 1 3
所以， = 2 sin = 2 × 3 × 1 × 2 = 4 ．
16.(1) 1 + = 3 = 1根据题意，得 1 1 + 3 = 7
，解得 = 2，则 = 2 1；
又得 3 2 = 27，解得 =± 3，由 > 0 得， = 3，
则 = 3 ．
(2) ∵ = (2 1) + 3 ，
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∴ = 1 + 3 + + (2 1) + 3 + 32 + + 3 = (1+2 1)

2 +
3 1 3
1 3 ．
= 2 + 3 2 3 1 ．
17.(1)设“甲比乙的步数多”为事件 ，
在 11 月 4 日至 11 月 10 日中，只有 11 月 5 日和 11 月 9 日这两天甲比乙的步数多，
( ) = 2所以 7
(2)由图可知，7 天中乙的步数不少于 20000 的天数有 11 月 4 日和 11 月 10 日这两天，
所以 的所有可能取值为 0,1,2，
3 2 1 1 2
可得 ( = 0) =
C5
3 =
2
7， ( = 1) =
C5C2 = 43 7， ( = 2) =
C5C2
3 =
1
7；C7 C7 C7
可得分布列为

0 1 2
2 4 1
7 7 7
2 4
所以 ( ) = 0 × 7+ 1 × 7 + 2 ×
1 6
7 = 7；
(3)由频率分布直方图可知，步数在各区间内的人数如下：
[0,5000]内的人数有 800 × 0.02 × 5 = 80 人；
(5000,10000]内的人数有 800 × 0.03 × 5 = 120 人；
(10000,15000]内的人数有 800 × 0.04 × 5 = 160 人；
(15000,20000]内的人数有 800 × 0.06 × 5 = 240 人；
(20000,25000]内的人数有 800 × 0.04 × 5 = 160 人；
(20000,25000]内的人数有 800 × 0.01 × 5 = 40 人；
因为这一天甲与乙的步数在全校 800 名教职员工中从多到少的排名分别为第 501 名和第 221 名，
所以甲的步数在区间(10000,15000]内，乙的步数在区间(15000,20000]内，
符合题意的只有 11 月 6 日这一天，所这是 11 月 6 日的数据．
18.(1)因为正方形 1 1是圆柱 1 2的轴截面， 是圆柱底面圆周上一点，
所以 ⊥ ．
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因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 1 ⊥ ．
因为 ∩ 1 = , , 1 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ．
因为 1 平面 1 ，
所以 1 ⊥ ．
(2)由(1)可得 ⊥平面 1 ，
所以直线 1 和平面 1 所成的角为∠ 1 ，即∠ 1 = 30°．
因为正方形 1 1的边长为 4，
所以 1 = 42 + 42 = 4 2，
2
所以 = 12 1 = 2 2， = 4
2 2 2 = 2 2，
1 1 1 16
所以 1 = 3 1 = 3 × 4 × 2 × 2 2 × 2 2 = 3．
(3)过 作 ⊥ 2 ，垂足为 ，
因为 1 = 2, 1 2 = 4，
所以 = 222 + 42 = 2 5．
由等面积法可得 2 =
1
2
1
2 = 2 2 1 ，
所以 = 2 1 2×2 2 2
= 2 5 = 5．
易知圆柱 1
1
2的外接球的半径为 × 42 + 422 = 2 2，即 = 2 2，
= 2 2 = 8 4 = 6所以 5 5，
所以直线 2 与球
6 12 5
的两个交点间的距离为 5 × 2 = 5 ．
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19.(1)当 = 1 时， ( ) = ln( 1)，则 ′( ) = 1 1，
则切线方程的斜率 = ′(2) = 1，切点(2,0)，
故切线方程为 0 = 1 ( 2)，即 = 2．
(2)当 = 1 时， ( ) = ln( + 1)，
1
则 ( ) = 22 ln( + 1)， ∈ ( 1, + ∞)，
2
′( ) = 1 1 = +(1 ) ( +1 ) +1 +1 = +1 ，
当 ≤ 0 时，
( 1,0) (0, + ∞)
0
′( )
小于零 等于零 大于零
( )
单调递减 极小值 单调递增
则单调递增区间为(0, + ∞)，单调递减区间为( 1,0)；
当 0 < < 1 时，
1 1
( 1,0) 0, 1 1, 1
0 1 +∞
′( )
小于零 等于零 大于零 等于零 小于零
( )
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
1 1
则单调递增区间为 0, 1 ，单调递减区间为( 1,0)、 1, + ∞ ；
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当 = 1 时， ′( ) ≤ 0，则单调递减区间为( 1, + ∞)，无单调递增区间；
当 > 1 时，
1
1, 1
1
1 1,0 0 (0, + ∞)
1
′( )
小于零 等于零 大于零 等于零 小于零
( )
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
1 1
则单调递增区间为 1,0 ，单调递减区间为 1, 1 、(0, + ∞)，
综上：当 ≤ 0 时，则单调递增区间为(0, + ∞)，单调递减区间为( 1,0)；
当 0 < < 1 1时，则单调递增区间为 0, 1 ，单调递减区间为( 1,0)
1
、 1, + ∞ ；
当 = 1 时，则单调递减区间为( 1, + ∞)，无单调递增区间；
当 > 1 1 1时，则单调递增区间为 1,0 ，单调递减区间为 1, 1 、(0, + ∞)．
(3)当 = 0 时， ( ) = ln ，
因为函数 = ( )的图像与 = ( )的图像关于直线 = 对称，所以 ( ) = ，
因为 ( ) 1 ≥ ( ) + 1 对 > 0 恒成立，
所以 1 ≥ ln + 1 对 > 0 恒成立，
≥ ln +1+ 整理可得 对 > 0 恒成立，
令 ( ) = ln +1+ ， ∈ (0, + ∞)
( +1) ln
，则 ′( ) = 2 ，
由 ln + = 0 有且仅有唯一的根为 0，
则 ln 0 + 0 = 0 所以 ln 0 = 0，则 0 0 = 1，
0, 0 0, + ∞

′( )
大于零 等于零 小于零
( )
单调递增 极大值 单调递减
则 ( )max = =
ln 0+ 0+1
0 0 0
= 1，解得 ≥ 1．
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