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第1章一元二次方程章末复习测试-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．（为常数） B．（为常数）
C． D．
2．若关于x的一元二次方程有一个实数根为0，则（ ）
A． B． C．或1 D．
3．代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
4．关于的一元二次方程有实数根，则满足（ ）
A． B．且 C．且 D．
5．设，是一元二次方程的两根，则（　　）
A． B． C． D．
6．关于的一元二次方程有两不等实根，则的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．
7．在解关于x的一元二次方程时，嘉嘉将抄成了，因此解得两个相等的实数根，则原方程（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断根的情况
8．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）．
A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮
二、填空题
9．将方程化成一般形式是 ．
10．若方程是关于的一元二次方程，则 ．
11．已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根是 ．
12．使用卡西欧计算器，依次按键，显示结果为．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为 （精确到）．
13．已知，则 ．
14．某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排场比赛．设九年级共有个班，则可列方程为
15．若关于x的方程（a，b，m均为常数，）的解是，，则方程的解是 ．
16．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一根为，求实数k的值．
19．先化简，再求值：，其中x是方程的解．
20．如图，已知在中，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．
(1)如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？
(2)在（1）中，几秒时的面积的最大值？最大值为多少？
21．解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，
解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
(1)解方程．
(2)解方程
22．金秋十月，硕果累累，苹果相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解苹果的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家苹果园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
第x天的单价与x的关系表：
第1天 第2天 第3天 第4天 … 第x天
单价（元/箱） 50 48 46 44 …
第x天的单价与x近似的满足一次函数关系．已知第1天销售了20箱，以后的每一天都比前一天多销售10箱．每天的固定成本为745元．
(1)第x天的单价是______元／箱（用含x的代数式表示）；
(2)求哪一天小明家销售苹果可获得利润为2855元？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C B B C C
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐个判断即可，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
【详解】解：A．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入一元二次方程，即可求解．
【详解】解：关于x的一元二次方程有一个实数根为0，
把代入一元二次方程，得，
解得，
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到，再根据偶次方的非负性可得，据此可得答案．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴代数式的最小值为，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到得且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系，即可直接得出答案．
【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
，
故选：．
6．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，求不等式组的解集等知识点，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程的定义可得，由一元二次方程有两不等实根可得，求该不等式组的解集即可得出答案．
【详解】解：根据一元二次方程的定义可得：，
一元二次方程有两不等实根，
，
于是可得一元一次不等式组如下：
，
由可得：，
由可得：，
该不等式组的解集为：且，
故选：．
7．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，根据题意可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则由判别式可得k的值，再利用判别式判断原方程的解的个数即可．
【详解】解：由题意得，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴原方程为，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键．
先用配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学．
【详解】解：，
方程左右两边同时除以2可得：，即小明正确；
由等式的性质可得，
所以，
∴，故小红出错．
故选C．
9．
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式：形如（，a、b、c为常数）的方程，利用整式的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：方程的一般形式是，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，绝对值方程等知识点，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义可得，，解该一元一次不等式和绝对值方程即可得出答案．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，，
解得：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及解一元二次方程，先根据题意求出，再解方程即可求解．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为，
，
解得：，
关于的一元二次方程为，
解得：，
关于的一元二次方程的另一个根是，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了近似数、解一元二次方程，先利用公式法求出一元二次方程的解，再根据精确度的概念即可得结果．
【详解】解：
，，，
，
∴，（舍去），
即，
故答案为：．
13．4
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握换元法成为解题的关键．
设，则，然后解关于t的方程即可解答．
【详解】解：设，则原方程转化为，
整理，得．
解得（舍去）．
∴．
故答案为：4．
14．
【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用比赛的总场数九年级班级数（九年级班级数），即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：依题意得：，
故答案为：．
15．，
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程变形为，结合题意得出或，求解即可，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵关于x的方程（a，b，m均为常数，）的解是，，
∴方程变形为，即此方程中或，
解得：，，
故答案为：，．
16．
【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可．
【详解】解： 与是“同族二次方程”，
，
∴，
，
∴，
，
最小值为，
最小值为，
即最小值为．
故答案为：．
17．(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可；
（3）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可；
（4）先移项，吧方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得，；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，．
18．(1)见解析
(2)或
【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题关键．
（1）求出一元二次方程根的判别式，证明其大于0即可证明结论；
（2）把代入求出k即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：把代入得：，
解得：或．
19．，
【分析】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则，进行化简，因式分解法解一元二次方程，选择使分式有意义的解代入计算即可．
【详解】解：原式
；
∵，
解得：，
∵，
∴，
∴当时，原式．
20．(1)2或3
(2)秒时，的面积最大值为．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，配方法的应用；
（1）根据题意可以求得对应运动时经过的路程，利用三角形面积公式即可求的时间；
（2）根据题意列出代数式，根据配方法求得最值，即可求解．
【详解】（1）解：设经过秒以后的面积等于，
则，
整理得：，
解得：或．
答：2秒或3秒后的面积等于．
（2）解：经过x秒以后的面积为，则
，
∴当时，的面积最大为；
答：当秒时，的面积最大值为．
21．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了绝对值的意义，换元法解一元二次方程，当所给方程的指数较大，又有倍数关系时，可考虑用换元法降次求解，掌握相关知识是解题的关键．
（1）设，则原方程可化为，求出方程的解，再求出即可；
（2）原方程可化为，设，原方程可化为，求出方程的解，再求出即可．
【详解】（1）解：设，原方程可化为，
解得：，．
由，得，．
由，得方程，
，此时方程无解．
∴原方程的解为：，．
（2）解：原方程可化为，
设，原方程可化为，
解得，，
由，得，，
由，此时方程无解，
∴原方程的解为，．
22．(1)
(2)第11天或第14天小明家销售苹果可获得利润为2855元
【分析】本题主要考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，在实际问题中正确求出一次函数解析式和一元二次方程是解答本题的关键．
（1）根据题意，运用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设第x天的单价m元与x满足的一次函数关系式为，
由题中表格可知：当时，；当时，，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，，
整理得，，
解得，，，
所以，第11天或第14天小明家销售苹果可获得利润为2855元
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