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21.3实际问题与一元二次方程同步复习测试-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．福州三坊七巷是全国著名的五A级景区，随着福州市的知名度提高，从2022年到2024年五一节接待旅客逐年增长，其中2022年五一节接待旅客约27.87万人次，2024年五一节接待旅客约87.08万次，设旅客接待人数的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，则列方程得（ ）
A． B．
C． D．
3．取一张长与宽之比为的矩形纸板，剪去四个边长为的小正方形（如图），并用它做一个无盖的矩形形状的包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），问这张矩形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
5．某社区为改善环境，决定加大绿化投入． 四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．某中学有一块长，宽的矩形空地．计划在这块空地上划出四分之一的区域种花．小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（ ）

A． B．
C． D．
7．据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．2024年4月23是第29个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，图书馆是读书的重要场所之一，据统计，某图书馆3月份进馆600人次，进馆人次逐月增加，到5月份进馆850人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．选项B、C均可
二、填空题
9．两个连续正整数的平方和为113，则这两个数的积是 ．
10．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为 ．
11．某楼盘2021年房价为每平方米28000元，经过两年连续降价后，2023年房价为22680元．则该楼盘这两年房价平均降低率为 ．
12．某食品加工厂第一季度的销售额为万元，第三季度的销售额为万元，则该食品加工厂第二、三季度销售额的平均增长率为 ．
13．九江某快递公司随着网络的发展，业务增长迅速，完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件．假定每月增长率相同，设为x．则可列方程为
14．2021年“房住不炒”第三次出现在政府报告中，明确了要稳地价、稳房价、稳预期．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企业连续降价两次后的平均价格是降价之前的，则平均每次降价的百分率为 ．
15．2024年春节联欢晚会为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为，则可列出关于的方程 ．
16．在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解x的值为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的正方形，已知图2中阴影部分的面积和为56，则方程的正数解x的值为 ．
三、解答题
17．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件．若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
18．某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元
19．2020年5月复工复产以来，某夜市6月份的总销售额为50万元，8月份的总销售额为60.5万元，若平均每月的总销售额的增长率相同．
(1)求该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率；
(2)如果该夜市平均每月的总销售额的增长率保持不变，求该夜市9月份的总销售额．
20．如图，将一些小圆按规律摆放：
(1)第个图形有 个小圆，第个图形有 个小圆（用含的代数式表）；
(2)能用个小圆摆成这样的图形吗？如果能，请求出摆成的是第几个图形；如果不能，请说明理由．
21．启正中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图①，图②中，，），让学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为．
(1)方方同学很快完成了自己的设计（如图①），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽；
(2)圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图②大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽．
22．如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动、同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，四边形的面积等于？请写出过程．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D C C A A B
1．C
【分析】根据2022年五一节接待旅客约27.87万人次，2024年五一节接待旅客约87.08万次，设旅客接待人数的年平均增长率为x，进行列式，即可作答．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
【详解】解：根据题意，得．
故选：C．
2．B
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每年盈利的年增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设每年盈利的年增长率为，
由题意得：，
故选：．
3．D
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键．根据题意设这张长方形纸板的长为，宽为，进而表示出长方体的底面积，即可表示出长方体体积，进而得出等式求出答案．
【详解】解：设这张长方形纸板的长为，宽为，根据题意可得：
；
故选：D．
4．C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意，得：
，
解得：（舍去）；
故选C．
5．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意，四月份绿化投入25万元，设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，则五月份的绿化投入为万元，六月份的绿化投入为万元，据此即可获得答案．
【详解】解：设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，
根据题意，可得．
故选：C．
6．A
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
根据空白区域的面积等于矩形空地的面积可得．
【详解】解：设花带的宽度为，
则可列方程为，
故选．
7．A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可，注意题目中1027.96亿元是3天的收入之和．
【详解】解：设全国旅游收入日平均增长率为x，由题意，得：
；
故选A．
8．B
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再列方程即可．
【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次为，三个月的进馆人次为，
由题意得：
．
故选：B．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设较小的一个数为，则另外一个数为，根据两个数的平方和是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设较小的一个数为，则另外一个数为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（舍去），
这两个数的积为，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设主干长出个支干，由题意列出方程即可，根据题意的等量关系建立方程是解题的关键．
【详解】设主干长出个支干，小分支的数量为（个），
根据题意可列出方程：，
故答案为：．
11．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．设该楼盘这两年房价每年平均降低率为x，则第一次降价后房价为每平方米元，第二次降价后房价为每平方米元，根据题意列方程解答即可．
【详解】解：设该楼盘这两年房价每年平均降低率为x，根据题意列方程得：
，
解得：或（舍去）
故答案为．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
设第二、三季度销售额的平均增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设第二、三季度销售额的平均增长率为，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴第二、三季度销售额的平均增长率为，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每月增长率为，根据该公司六月份及八月份完成投寄的快递件数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每月增长率为，
根据题意得：．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设平均每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的价格=原价平均每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：(不合题意，舍去)．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查列一元二次方程，根据题意，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为，由平均增长率问题直接列方程即可得到答案，熟练掌握平均增长率问题的解法是解决问题的关键．
【详解】解：设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为，则由题意可得
，
故答案为：．
16．4
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并数形结合是解决问题的关键，根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积加四个小正方形的面积，从而可求得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可求解．
【详解】解：如图2所示：
先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，
则该方程的正数解为．
故答案为：4
17．月平均增长率是
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率是x，则2月份的销售量是万件，3月份的销售量为万件，据此列出方程求解即可．
【详解】解：设月平均增长率是x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：月平均增长率是．
18．5元
【分析】根据每千克应涨价x元，则每千克的盈利元，每天可售出千克，根据题意，得，解得即可．
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
【详解】解：根据每千克应涨价x元，则每千克的盈利元，每天可售出千克，
根据题意，得，
整理，得，
解得，
根据尽量减少库存，故舍去，
答：每千克应涨价5元．
19．(1)该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为10%
(2)66.55万元
【分析】本题主要查了一元二次方程的应用：
（1）设夜市销售额平均每月的增长率为x，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）根据夜市增长率保持不变，求出9月份销售额，即可求解．
【详解】（1）解：设该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为x，由题意得，
，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为；
（2）解：该夜市9月份的总销售额为（万元）．
20．(1)，；
(2)能用个小圆摆成这样的图形，摆成的是第个图形．
【分析】（）根据所给图形找出变化规律即可求解；
（）把代入（）中所得规律，解方程即可判断求解；
本题考查了图形的变化规律，根据所给图形找出变化规律是解题的关键．
【详解】（1）解：由图可得，第个图形小圆的个数为，
第个图形小圆的个数为，
第个图形小圆的个数为，
第个图形小圆的个数为，
∴第个图形小圆的个数为，
第个图形小圆的个数为，
故答案为：，；
（2）解：若能，则，
即，
解得（不合，舍去），，
∴能用个小圆摆成这样的图形，摆成的是第个图形．
21．(1)长方形卡片的长和宽分别为和或和
(2)图见解析，长方形卡片的长和宽分别为和
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质等等：
（1）先利用勾股定理和等边对等角得到，，再由矩形的性质得到，则可证明和是等腰直角三角形，得到，设长为，则长为，再根据矩形面积公式列出方程求解即可；
（2）先根据题意作图，设长方形的长为，则宽为，再根据矩形面积公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
设长为，则长为，
由题意，得，
整理，得，
解得，，
∴，，
∴长方形卡片的长和宽分别为和或和；
（2）解：根据题意画图如下：
设长方形的长为，则宽为，
由题意，得，
整理得，
解得，．
经检验，，都符合题意．
∴长方形卡片的长和宽分别为和．
22．1秒或4秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．利用时间路程速度，可分别求出点，到达终点所需时间，当运动时间为时，，，．根据四边形的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合当时，点重合，即可得出结论．
【详解】．由（1）得：，
，，运动时间t的取值范围为：，
∵四边形APQC的面积等于，
∴，
整理得：，
解得，，
∴或4时，四边形APQC的面积等于．
答：1秒或4秒后，四边形APQC的面积等于．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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