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21.1一元二次方程同步复习测试-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．将一元二次方程化为一般形式，其中常数项是（ ）
A． B． C．2 D．6
3．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
4．若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（　　）
A．1 B． C．1或 D．
5．根据下列表格的对应值：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
0.84 2.29 3.76
可以判断方程，为常数的一个解x的范围是（ ）
A． B． C． D．无法判定
6．已知是方程的一个根，则代数式的值是（　　）
A．2025 B．2024 C．2023 D．无法确定
7．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
8．已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知是方程的根，则
10．若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为 ．
11．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为 ．
12．已知：是方程的一个根，求代数式的值是 ．
13．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解为
三、解答题
14．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
15．已知．
(1)求，的值．
(2)若关于的一元二次方程有一个根是，求的值．
16．已知关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，c的值．
17．先化简，再求值：，其中，是方程的根．
18．已知关于的方程．
(1)当为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
19．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由；
(2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值．
20．【阅读材料】
【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得．
化简，得，故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
【类比探究】
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______；
【拓展运用】
（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B B B A C B
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．据此求解即可．
【详解】解：A．该方程是一元一次方程，故本选项错误．
B．该方程是二元一次方程，故本选项错误．
C．该方程是一元二次方程，故本选项正确．
D．该方程是二元二次方程，故本选项错误．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，，是常数且特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程移项，合并，然后根据常数项的概念求解即可．
【详解】解：
∴
∴
它的常数项是．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义进行求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为：．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故选：．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义、一元二次方程的定义是解题的关键．将代入求出的值，需注意即可．
【详解】解：将代入
得，
解得或，
∵该方程为一元二次方程，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查估算一元二次方程的解，根据表格数据求出对应的的值，进而找到相邻的两个的值，使的值一正一负，即可得出结果．
【详解】解：由题意，列出表格如下：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
0.84 2.29 3.76
1.29 2.76
由表格可知，当时，存在一个的值使，即满足方程，
故选B．
6．A
【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根的定义，准确计算是关键．根据一元二次方程的根的定义得到，再整体代入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，即，
∴
，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵关于的一元二次方程有一根为，
∴有一根为，
解得，
∴一元二次方程必有一根为，
故选：．
8．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，代入对应选项中的方程，看方程左右两边是否相等即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，，
∴这个方程为，
故选：B．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：把代入得，
解得，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键．将方程转化为一般形式后，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴一次项的系数为，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故答案为：．
12．1
【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据一元二次方程的解得出，然后对代数式去括号，合并同类项，最后把代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴
∴原式
．
故答案为：1
13．，
【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到，，解之即可得出结论．
【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程，
关于的方程的解是，，
关于的方程的解是，，
，．
故答案为：，．
14．(1)，
(2)，
【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法：配方法，十字相乘法，即可．
（1）先移项，然后根据配方法解一元二次方程，即可；
（2）先计算，然后再移项，最后根据十字相乘法解方程，即可．
【详解】（1）
解：，
，
，
，
当时，解得：；
当时，解得：；
∴，．
（2）
解：，
，
，
，
∴或；
解得：，．
15．(1)，
(2)的值为
【分析】本题考查的知识点是二次根式的非负性、一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握二次根式的非负性．
（1）利用二次根式的非负性，可得到且，由此可求出的值，然后求出的值；
（2）将，的值代入方程，可得到，再将代入方程，可求出的值．
【详解】（1）解：，
根据二次根式非负性可得且，
解之：，
，
，．
（2）解：依（1）得：该一元二次方程为，
关于的一元二次方程有一个根是，
，
解之：，
的值为．
16．，．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．根据波浪方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于a，c的方程组即可解决问题．
【详解】解：由已知得：，
解得，
，．
17．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解的定义，先把小括号内的式子同分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵是方程的根，
∴，
∴，
∴原式．
18．(1)
(2),一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是
【分析】本题考查了一元二次方程，一元一次方程的定义；熟练掌握定义是解答本题的关键．
（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案；
（2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案．
【详解】（1）解：由是一元一次方程，得
根据题意，得且．
解得．
所以当时，此方程是一元一次方程；
（2）根据题意，得．
解得．
此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是．
19．(1)一元二次方程是 “和谐方程”，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．
（1）根据“和谐方程”的定义进行计算即可；
（2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可．
【详解】（1）解：当时，，
故一元二次方程是 “和谐方程”；
（2）解：是关于x的“和谐方程”，
当时，，
是此“和谐方程”的一个根，
，
即，
解得．
故．
20．类比探究（1）；拓展运用（2）所求方程为
【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，本题是一道材料题，解题时，要提取材料中的关键性信息．
（1）利用题中的方法，设所求方程的根为，则，把代入已知方程得出，即可得解；
（2）利用题中的方法，所求方程的根为，则，于是，把代入方程得，化为整式方程即可得出答案．
【详解】解：【类比探究】（1）设所求方程的根为，则，
，
把代入方程，得：，
故答案为：；
【拓展运用】（2）设所求方程的根为，则，于是，
把代入方程，得，
去分母，得，
若，有，于是，方程有一个根为，不合题意，
∴，故所求方程为．
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