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专题二十二　电磁感应中的动力学和能量问题
例1　(1)如图所示　(2)　gsin θ-　(3)
[解析] (1)由右手定则可知,ab杆中电流方向为a→b,如图所示,ab杆受到重力mg,方向竖直向下,支持力FN,方向垂直于导轨平面向上,安培力F安,方向沿导轨向上.
(2)当ab杆的速度大小为v时,感应电动势E=BLv
此时电路中的电流I==
ab杆受到的安培力
F安=BIL=
根据牛顿第二定律有
mgsin θ-=ma
解得a=gsin θ-
(3)当a=0时,ab杆有最大速度vm
由平衡条件得mgsin θ=
解得vm=
例2　AB　[解析] 闭合开关S,导体棒受到的安培力向右,同时导体棒切割磁感线,产生感应电动势,且感应电动势方向与电源电动势方向相反,加速运动过程中,通过导体棒的电流减小,导体棒所受的安培力减小,导体棒的加速度减小,当导体棒产生的感应电动势和定值电阻R两端的电压大小相等时,导体棒中电流为零,导体棒开始做匀速运动,速度达到最大,故A正确;由BLvm=E,解得vm=,故B正确;导体棒稳定运动时,电源的输出功率为P=I2R=R=,故C错误;导体棒稳定运动时,导体棒中电流为零,导体棒产生的感应电动势与电源两端的路端电压相等,即Eab=U=,故D错误.
例3　(1)　(2)　CB2l2
[解析] (1)开关S闭合时,电容器被短路.当外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍时,有
Fv=2I2R
根据法拉第电磁感应定律有E=Blv
根据闭合电路欧姆定律有I=
金属棒最终做速率为v0的匀速直线运动,有
F=BI0l
其中I0=,E0=Blv0
联立解得v=
(2)断开开关S,金属棒以的速度做匀速直线运动,某时刻外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍,设此时充电电流为I',电容器两极间的电压为U,外力为F'.金属棒受力平衡,有F'=BI'l
外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍,则电容器的充电功率等于电阻R的热功率,外力做功的功率也等于电容器充电功率的2倍,有
F'=2UI'
联立解得U=
由于金属棒做匀速直线运动,所以外力始终与金属棒所受的安培力大小相等,从断开S开始到此刻外力做的功为W=Bl·Δt
其中Δt=q,q=CU
联立解得W=CB2l2
例4　AB　[解析] 两导体棒沿导轨向下滑动,根据右手定则可知,回路中的电流方向为abcda,故A正确;设回路的总电阻为R,任意时刻电路中的电流用I表示,根据牛顿第二定律,对ab有2mgsin 30°-2BILcos 30°=2maab,对cd有mgsin 30°-BILcos 30°=macd,解得aab=acd,即ab与cd加速度大小始终相等,则两棒的速度大小始终相等,即vab=vcd,两棒产生的电动势之比Eab∶Ecd=2BLvab∶BLvcd=2∶1,故C、D错误;两个导体棒产生的电动势同向叠加,随着导体棒速度的增大,回路中的电流增大,导体棒受到的安培力增大,当安培力沿导轨向上的分力与重力沿导轨向下的分力平衡时,导体棒将匀速运动,此时电路中的电流达到稳定值,此时对ab有2mgsin 30°=2BImLcos 30°,解得Im=,故B正确.
例5　(1)　(2)
[解析] (1)在金属框右边框进入磁场而左边框未进入磁场时,设它的加速度为a,速度为v,回路中电流为I,电阻为4R0,由法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式、牛顿运动定律有
BLv=4R0·I
-BLI=ma
设在小时间段Δt内,金属框速度和位置变化量分别为Δv和Δx,有
a=,v=
联立得Δv=-Δx
设金属框的初速度大小为v0,金属框刚好完全进入磁场时的速度为v1,则
v0-v1=
金属框完全进入磁场后做匀速运动.金属框穿出磁场区域的过程与穿入过程类似处理,并代入题目所给条件得
v1-=
联立解得v0=
(2)当金属框置于导轨上时,金属框上下边框的电阻被导轨短路.当仅有右边框在磁场中运动时,电阻R1与左边框的电阻R0并联,并联的电阻记为R2,电流回路总电阻记为Rt,由电阻的串、并联公式有
R2=R0,Rt=R0+R2
设金属框刚好完全进入磁场时的速度为v2,与(1)中类似处理并代入题给条件得
v0-v2=
解得v2=
从开始到金属框刚好完全进入磁场时,由能量守恒定律得整个电路产生的热量Q0=m-m
设流经电阻R1的电流为I1,回路总电流为I',有I1R1=I'R2
从开始到金属框刚好完全进入磁场时,电阻R1上产生的热量为
Q1=Q0·
金属框完全进入磁场后,左右边框产生的电动势相等,两边框的并联电阻为R0,这时回路总电阻为Rt'=R0
设金属框完全进入磁场后,左边框与磁场左边界距离为x时,金属框的速度为v3,与(1)中类似处理并代入题给条件可得
v2-v3=
可以得到,当x=L时,v3=0
即当金属框右边框到达磁场右边界时,金属框恰好停下
从金属框完全进入磁场到停止运动的过程中,根据能量守恒定律,整个电路产生的热量为Q0'=m-0
电阻R1在电路中串联,R1上产生的热量为Q1'=Q0'·
联立以上各式并代入题给条件得,在金属框整个运动过程中,电阻R1产生的热量为Q1″=Q1+Q1'=
例6　CD　[解析] 由i x图像可知i=0.5x+0.25(A),则金属棒在x=4 m处的电流为i=2.25 A,根据E=Bdv、i=可得v=9 m/s,选项A错误;根据i===0.5x+0.25,即v=2x+1,可知=2,而=·=,可得a=2v,金属棒在x=4 m处的速度为9 m/s,则加速度为a=18 m/s2,选项B错误;从开始到x=4 m处摩擦力产生的热量为Q1=μmgx=16 J,回路中产生的焦耳热等于克服安培力做的功,安培力为FA=Bid=0.5x+0.25,由安培力与位移的线性关系知回路中产生的焦耳热为Q2=W安=FAx=×4 J=5 J,从开始到x=4 m处系统产生的总热量为Q=Q1+Q2=16 J+5 J=21 J,选项C正确;根据v=2x+1可知金属棒在x=0 m处和x=4 m处速度分别为v0=1 m/s,v=9 m/s,从开始到x=4 m处根据能量守恒定律有W=Q+mv2-m=21 J+×2×92 J-×2×12 J=101 J,选项D正确.专题二十二　电磁感应中的动力学和能量问题
1.D　[解析] 线框进磁场的过程中,由楞次定律知电流方向为逆时针方向,A错误;线框出磁场的过程中,根据E=BLv,I=,联立得FA==ma,由左手定则可知线框受到的安培力向左,则v减小,FA减小,线框做加速度减小的减速运动,B错误;由能量守恒定律得线框产生的焦耳热Q=FAL,其中线框进出磁场时均做减速运动,但其进磁场时的速度大,安培力大,产生的焦耳热多,C错误;线框在进和出的两过程中,通过导线横截面的电荷量q=t,其中=,=BL,联立得q=x,由于线框在进和出的两过程中线框的位移均为L,则线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等,故D正确.
2.D　[解析] 当金属棒在磁场中向下运动时,根据楞次定律可判断出通过电阻R的电流方向为b→a,A错误;由于无法确定金属棒刚进入磁场时安培力与重力的大小关系,故无法确定金属棒的加速度方向,B错误;金属棒进入磁场时,产生的感应电动势E=BLv,感应电流I==,金属棒所受的安培力大小F=BIL=,C错误;金属棒稳定下滑时,电阻R的热功率P=R,且F==mg,解得P=R,D正确.
3.AD　[解析] 金属杆向右运动时切割磁感线产生的感应电流与通电电流方向相反,随着速度增大,感应电流增大,则金属杆中的实际电流减小、安培力减小,金属杆做加速度逐渐减小的加速运动,最后匀速运动,金属杆速度最大时,产生的感应电动势为E,根据E=BLv,最大速度为v=,A正确,B错误;对金属杆由动量定理得BILt=BLq=mv-0,解得q=,由能量守恒定律可知,此过程中电源提供的电能为W=qE=,C错误;金属杆最后的动能为Ek=mv2=,根据能量守恒定律,系统产生的焦耳热为Q=W-Ek=,此过程中金属杆产生的热量为Q'=,D正确.
4.AB　[解析] 金属棒ab下滑过程中,切割磁感线产生感应电动势,由右手定则可判断出金属棒a端为正极,所以M板电势高于N板电势,选项A正确;金属棒ab下滑过程中由于产生感应电动势和感应电流,对电容器充电,由I=,C=,ΔU=BLΔv,金属棒ab受到安培力F=BIL,对金属棒受力分析,有mgsin θ-F=ma,联立解得a=,加速度为恒量,说明金属棒ab下滑时做匀加速直线运动,选项B正确,C错误;金属棒ab下滑过程中减少的重力势能等于其增加的动能和电容器储存的电场能之和,选项D错误.
5.BC　[解析] 初始时刻导体棒产生的感应电动势为E=BLv0,感应电流I=,安培力F=BIL=,A错误;初始时刻,由牛顿第二定律有ma=mg+kx1+F,解得a=2g+,B正确;当导体棒静止时,安培力为零,棒受到重力和弹簧的弹力而平衡,弹力的方向向上,弹簧处于压缩状态,C正确;导体棒最终静止时,弹簧的压缩量为x2==x1,故从棒开始运动到最终静止,弹簧的弹性势能不变,由能量守恒定律有m+mg(x1+x2)=Q,解得系统产生的总热量Q=m+,则R上产生的热量要小于Q,D错误.
6.(1)由a流向b　(2)5 m/s　(3)1.3 J
[解析] (1)由右手定则可知ab中电流的方向为由a流向b
(2)只放置ab时刚好不下滑,ab所受摩擦力为最大静摩擦力,设其为Ffmax,有Ffmax=m1gsin θ
设ab刚好要上滑时,cd棒产生的感应电动势为E
由法拉第电磁感应定律有E=BLv
设电路中的感应电流为I,由闭合电路的欧姆定律有I=
设ab所受安培力为F安,有F安=ILB
此时ab受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下
由平衡条件有F安=m1gsin θ+Ffmax
联立解得v=5 m/s
(3)设cd下滑过程中电路中产生的总热量为Q总,由能量守恒定律有m2gxsin θ=Q总+m2v2
又Q=Q总
解得Q=1.3 J
7.(1) Φ=kL2t　kL2　从a流向b　(2)F安=　(3)　+m
[解析] (1)通过面积Scdef的磁通量大小随时间t变化的关系式为
Φ=BS=kL2t
根据法拉第电磁感应定律得
E=n==kL2
由楞次定律可知ab中的电流方向为从a流向b
(2)根据左手定则可知ab受到的安培力方向垂直于导轨平面向里,大小为F安=BIL
其中B=kt
设金属棒向上运动的位移为x,则根据运动学公式有x=at2
导轨接入回路的电阻为R'=2xr
由闭合电路欧姆定律得I=
联立解得ab所受安培力的大小随时间t变化的关系式为F安=
(3)由题知t=0时,对ab施加竖直向上的拉力,恰使其向上做加速度大小为a的匀加速直线运动,则对ab受力分析,由牛顿第二定律有
F-mg-μF安=ma
其中F安=
联立可得F=+m(g+a)
整理有F=+m(g+a)
根据均值不等式可知+art≥2,当且仅当=art时取等号,F有最大值,此时t=
F的最大值为
Fm=+m(g+a)专题二十二　电磁感应中的动力学和能量问题
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　电磁感应中的动力学问题
1.力学对象和电学对象的相互关系
2.解决电磁感应中的动力学问题的一般思路
考向一　单棒+电阻
例1 如图甲所示,两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上,两导轨间距为L,M、P两点间接有阻值为R的电阻,一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上,并与导轨垂直.整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直于斜面向下.导轨和ab杆的电阻可忽略,让ab杆沿导轨由静止开始下滑,导轨和ab杆始终垂直且接触良好,不计它们之间的摩擦.(重力加速度为g)
(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示,请画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图;
(2)在加速下滑过程中,当ab杆的速度大小为v时,求杆中的电流大小及其加速度大小;
(3)在下滑过程中,求ab杆可以达到的速度最大值.
考向二　单棒+电源
例2 (多选)[2024·河北石家庄模拟] 如图所示,两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ水平放置,轨道间距为L.现有一个质量为m、长度为L的导体棒ab垂直于轨道放置,且与轨道接触良好,导体棒和轨道的电阻均可忽略不计.有一电动势为E、内阻为r的电源通过开关S连接到轨道左端,另有一个阻值为R的定值电阻也连接在轨道上,且在定值电阻右侧存在着垂直于轨道平面的匀强磁场,磁感应强度的大小为B.现闭合开关S,导体棒ab开始运动,则下列叙述中正确的有 (　)
A.导体棒先做加速度逐渐减小的加速运动,当速度达到最大时导体棒中无电流
B.导体棒所能达到的最大速度为
C.导体棒稳定运动时电源的输出功率为
D.导体棒稳定运动时产生的感应电动势为E
[反思感悟] 　


考向三　单棒+电容器
棒的初速度为零,拉力F恒定(棒和水平导轨的电阻忽略不计,摩擦力不计)
如图所示,运动过程分析:棒做加速运动,持续对电容器充电,则存在充电电流
由F-BIl=ma,I=,ΔQ=CΔU,ΔU=ΔE=BlΔv
联立可得F-=ma,其中=a
则可得a=
所以棒做匀加速直线运动.
功能关系:WF=mv2+E电.
例3 [2024·全国甲卷] 两根平行长直光滑金属导轨距离为l,固定在同一水平面(纸面)内,导轨左端接有电容为C的电容器和阻值为R的电阻,开关S与电容器并联;导轨上有一长度略大于l的金属棒,如图所示.导轨所处区域有方向垂直于纸面、磁感应强度大小为B的匀强磁场.开关S闭合,金属棒在恒定的外力作用下由静止开始加速,最后将做速率为v0的匀速直线运动.金属棒始终与两导轨垂直且接触良好,导轨电阻和金属棒电阻忽略不计.
(1)在加速过程中,当外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍时,金属棒的速度大小是多少
(2)如果金属棒达到(1)中的速度时断开开关S,改变外力使金属棒保持此速度做匀速运动.之后某时刻,外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍,求此时电容器两极间的电压及从断开S开始到此刻外力做的功.
考向四　双棒+斜面
例4 (多选)[2024·辽宁卷] 如图所示,两条“∧”形光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上,间距为L,左、右两导轨面与水平面夹角均为30°,均处于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度大小分别为2B和B.将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上,同时由静止释放,两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好.ab、cd的质量分别为2m和m,长度均为L.导轨足够长且电阻不计,重力加速度大小为g.两棒在下滑过程中 (　)
A.回路中的电流方向为abcda
B.ab中电流趋于
C.ab与cd加速度大小之比始终为2∶1
D.两棒产生的电动势始终相等
[反思感悟] 　


　电磁感应中的能量问题
1.能量转化及焦耳热的求法
(1)能量转化
其他形式的能量电能焦耳热或其他形式的能量
(2)求解焦耳热Q的三种方法
2.解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路);
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功,以及哪些形式的能量相互转化;
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解.
例5 [2023·新课标卷] 一边长为L、质量为m的正方形金属细框,每边电阻为R0,置于光滑的绝缘水平桌面(纸面)上.宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场,磁感应强度大小为B,两虚线为磁场边界,如图甲所示.
(1)使金属框以一定的初速度向右运动,进入磁场.运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行,金属框完全穿过磁场区域后,速度大小降为它初速度的一半,求金属框的初速度大小.
(2)在桌面上固定两条光滑长直金属导轨.导轨与磁场边界垂直,左端连接电阻R1=2R0,导轨电阻可忽略.金属框置于导轨上,如图乙所示.让金属框以与(1)中相同的初速度向右运动,进入磁场.运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好.求在金属框整个运动过程中,电阻R1产生的热量.
例6 (多选)[2024·湖北武汉模拟] 如图甲所示,足够长的水平粗糙固定导轨的左侧接有R=4 Ω的定值电阻,导轨处于磁感应强度B=1 T的匀强磁场中,方向垂直纸面向里,导轨间距d=1 m.一质量为m=2 kg的金属棒在水平拉力F作用下以初速度v0开始从MN处沿导轨向右运动,金属棒中的电流i与位移x的关系图像如图乙所示.已知金属棒与导轨间动摩擦因数为μ=0.2,g取10 m/s2,忽略金属棒与导轨的电阻,不计电磁辐射.则下列说法正确的是 (　)
A.金属棒在x=4 m处速度为5 m/s
B.金属棒在x=4 m处加速度为8 m/s2
C.从开始到x=4 m处系统产生的总热量为21 J
D.从开始到x=4 m处拉力做功为101 J专题二十二　电磁感应中的动力学和能量问题 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2023·北京卷] 如图所示,光滑水平面上的正方形导线框以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出.线框的边长小于磁场宽度.下列说法正确的是 (　)
A.线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
B.线框出磁场的过程中做匀减速直线运动
C.线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等
D.线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等
2.如图所示,两根足够长的光滑平行金属导轨竖直放置,间距为L,顶端接阻值为R的电阻,导轨所在平面与磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场垂直.质量为m、电阻为r的金属棒在磁场上边界上方某处由静止释放,金属棒始终水平且与导轨接触良好,不计导轨的电阻,重力加速度为g,则下列说法正确的是 (　)
A.金属棒在磁场中运动时,流过电阻R的电流方向为a→b
B.金属棒刚进磁场时一定做加速运动
C.金属棒的速度为v时,金属棒所受的安培力大小为
D.金属棒以稳定的速度下滑时,电阻R的热功率为R
3.(多选)[2024·河北石家庄模拟] 水平固定放置的足够长的光滑平行金属导轨,电阻不计,间距为L,左端连接的电源电动势为E,内阻为r,质量为m的金属杆垂直静放在导轨上,金属杆处于导轨间部分的电阻为R.整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中,如图所示.闭合开关,金属杆由静止开始沿导轨做非匀变速运动直至达到最大速度,则下列说法正确的是 (　)
A.金属杆的最大速度等于
B.金属杆的最大速度等于
C.此过程中电源提供的电能为
D.此过程中金属杆产生的热量为
4.(多选)[2024·广西南宁一中模拟] 如图所示,两根足够长的光滑平行的金属导轨PP'、QQ'倾斜放置,倾角为θ,匀强磁场垂直于导轨平面(方向如图所示),导轨的上端与水平放置的两金属板M、N相连,金属棒ab水平跨放在导轨上,下滑过程中与导轨垂直且接触良好.现由静止释放金属棒ab,假定电容器不会被击穿,忽略一切电阻,则下列说法正确的是 (　)
A.金属棒ab下滑过程中M板电势高于N板电势
B.金属棒ab匀加速下滑
C.金属棒ab最终可能匀速下滑
D.金属棒ab下滑过程中减少的重力势能等于其增加的动能
5.(多选)[2024·山东青岛模拟] 如图所示,固定的竖直光滑U形金属导轨间距为L,上端接有阻值为R的电阻,处在方向水平且垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场中,质量为m、接入电路的电阻为r的导体棒与劲度系数为k的固定轻弹簧相连放在导轨上,导轨的电阻忽略不计.初始时刻,弹簧处于伸长状态,其伸长量为x1=(g为重力加速度),此时导体棒具有竖直向上的初速度v0,在沿导轨上、下运动的过程中,导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触.下列说法正确的是 (　)
A.初始时刻导体棒受到的安培力大小为
B.初始时刻导体棒的加速度大小为2g+
C.导体棒上下运动,最终静止时弹簧处于压缩状态
D.从导体棒开始运动到最终静止的过程中,电阻R上产生的焦耳热为m+
6.[2024·浙江温州模拟] 如图所示,两根足够长的平行金属导轨固定在倾角为θ=30°的斜面上,导轨电阻不计,间距L=0.4 m,导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ,两区域的边界与斜面的交线为MN.Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下,Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上,两磁场的磁感应强度大小均为B=0.5 T.在区域Ⅰ中,将质量为m1=0.1 kg、接入电路的电阻为R1=0.1 Ω的金属棒ab放在导轨上,ab刚好不下滑.然后,在区域Ⅱ中将质量为m2=0.4 kg、接入电路的电阻为R2=0.1 Ω的光滑导体棒cd置于导轨上,由静止开始下滑.cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中,ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触,g取10 m/s2.
(1)求cd下滑的过程中,ab中的电流方向;
(2)ab刚要向上滑动时,求cd的速度大小v;
(3)从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中,cd滑动的距离为x=3.8 m,求此过程中ab上产生的热量Q.
7.[2024·安徽卷] 如图所示,一“U”形金属导轨固定在竖直平面内,一电阻不计、质量为m的金属棒ab垂直于导轨,并静置于绝缘固定支架上.边长为L的正方形cdef区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,支架上方的导轨间存在竖直向下的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小B随时间t的变化关系均为B=kt(SI),k为常数(k>0).支架上方的导轨足够长,两边导轨单位长度的电阻均为r,下方导轨的总电阻为R.t=0时,对ab施加竖直向上的拉力,恰使其向上做加速度大小为a的匀加速直线运动,整个运动过程中ab与两边导轨接触良好.已知ab与导轨间的动摩擦因数为μ,重力加速度大小为g.不计空气阻力,两磁场互不影响.
(1)求通过面积Scdef的磁通量大小随时间t变化的关系式,以及感应电动势的大小,并写出ab中电流的方向;
(2)求ab所受安培力的大小随时间t变化的关系式;
(3)经过多长时间,对ab所施加的拉力达到最大值 并求此最大值.(共84张PPT)
专题二十二 电磁感应中的动力学和能量
问题
题型一 电磁感应中的动力学问题
题型二 电磁感应中的能量问题
◆
作业手册
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答案核查【作】
备用习题
题型一 电磁感应中的动力学问题
1.力学对象和电学对象的相互关系
2.解决电磁感应中的动力学问题的一般思路
例1 如图甲所示，两根足够长的直金属导轨、
平行放置在倾角为 的绝缘斜面上，两导轨间距为，
、 两点间接有阻值为的电阻，一根质量为 的
均匀直金属杆 放在两导轨上，并与导轨垂直.
整套装置处于磁感应强度为的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下. 导轨和 杆的电阻可忽略，让杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和 杆始终垂直且接触良好，不计它们之间的摩擦. (重力加速度为 )
考向一 单棒+电阻
(1) 由向方向看到的装置如图乙所示，请画出 杆下滑过程中某时刻的受力示意图；
[答案] 如图所示
[解析] 由右手定则可知，杆中电流方向为，如图所示， 杆受到重力，方向竖直向下，支持力 ，方向垂直于导轨平面向上，安培力 ，方向沿导轨向上.
例1 如图甲所示，两根足够长的直金属导轨、平行放置在倾角为 的绝缘斜面上，两导轨间距为，、两点间接有阻值为 的电阻，一根质量为的均匀直金属杆 放在两导轨上，并与导轨垂直.整套装置处于磁感应强度为的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下.导轨和 杆的电阻可忽略，让杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和 杆始终垂直且接触良好，不计它们之间的摩擦.(重力加速度为 )
(2) 在加速下滑过程中，当杆的速度大小
为 时，求杆中的电流大小及其加速度大小；
[答案] ;
[解析] 当杆的速度大小为 时，感应电动势
此时电路中的电流
杆受到的安培力
根据牛顿第二定律有
解得
[答案]
例1 如图甲所示，两根足够长的直金属导轨、平行放置在倾角为 的绝缘斜面上，两导轨间距为，、两点间接有阻值为 的电阻，一根质量为的均匀直金属杆 放在两导轨上，并与导轨垂直.整套装置处于磁感应强度为的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下.导轨和 杆的电阻可忽略，让杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和 杆始终垂直且接触良好，不计它们之间的摩擦.(重力加速度为 )
(3) 在下滑过程中，求 杆可以达到的
速度最大值.
[解析] 当时，杆有最大速度
由平衡条件得
解得
考向二 单棒+电源
例2 (多选)[2024·河北石家庄模拟] 如图所示,两
根足够长的平行光滑金属轨道、 水平放置,
轨道间距为.现有一个质量为、长度为 的导
体棒 垂直于轨道放置,且与轨道接触良好,导体
棒和轨道的电阻均可忽略不计.有一电动势为、内阻为的电源通过开关
连接到轨道左端,另有一个阻值为 的定值电阻也连接在轨道上,且在定值电
阻右侧存在着垂直于轨道平面的匀强磁场, 磁感应强度的大小为 .现闭合
开关,导体棒 开始运动,则下列叙述中正确的有( )
A.导体棒先做加速度逐渐减小的加速运动,当速
度达到最大时导体棒中无电流
B.导体棒所能达到的最大速度为
C.导体棒稳定运动时电源的输出功率为
D.导体棒稳定运动时产生的感应电动势为
√
√
[解析] 闭合开关 ,导体棒受到的安培力向右,同
时导体棒切割磁感线,产生感应电动势,且感应电
动势方向与电源电动势方向相反,加速运动过程
中，通过导体棒的电流减小,导体棒所受的安培
力减小,导体棒的加速度减小,当导体棒产生的感应电动势和定值电阻 两端
的电压大小相等时,导体棒中电流为零,导体棒开始做匀速运动,速度达到
最大,故A正确;由 , 解得 ,故B正确;
导体棒稳定运动时,电源的输出功率为
,故C错误;
导体棒稳定运动时,导体棒中电流为零,导体棒
产生的感应电动势与电源两端的路端
电压相等,即 , 故D错误.
考向三 单棒+电容器
棒的初速度为零，拉力 恒定(棒和水平导轨的电阻忽略
不计，摩擦力不计)
如图所示，运动过程分析：棒做加速运动，持续对电容
器充电，则存在充电电流
由，，，
联立可得，其中
则可得
所以棒做匀加速直线运动.
功能关系： .
例3 [2024·全国甲卷] 两根平行长直光滑
金属导轨距离为 ，固定在同一水平面
(纸面)内，导轨左端接有电容为 的电容
器和阻值为的电阻，开关与电容器并联；导轨上有一长度略大于 的金
属棒，如图所示.导轨所处区域有方向垂直于纸面、磁感应强度大小为 的
匀强磁场.开关 闭合，金属棒在恒定的外力作用下由静止开始加速，最后
将做速率为 的匀速直线运动.金属棒始终与两导轨垂直且接触良好，导
轨电阻和金属棒电阻忽略不计.
(1) 在加速过程中，当外力做功的功率等于电阻 热功率的2倍时，金属棒
的速度大小是多少？
[答案]
[解析] 开关 闭合时，电容器被短路.当外力做功的功率等于电阻 热功率的2倍时，有
根据法拉第电磁感应定律有
根据闭合电路欧姆定律有
金属棒最终做速率为 的匀速直线运动，有
其中,
联立解得
(2) 如果金属棒达到(1)中的速度时断开开关 ，改变外力使金属棒保持此
速度做匀速运动.之后某时刻，外力做功的功率等于电阻 热功率的2倍，
求此时电容器两极间的电压及从断开 开始到此刻外力做的功.
[答案] ;
[解析] 断开开关，金属棒以 的速度做匀速直线运动，某时刻外力做功的功率等于电阻 热功率的2倍,设此时充电电流为，电容器两极间的电压为,外力为 .金属棒受力平衡，有
外力做功的功率等于电阻 热功率的2倍，则电容器的充电功率等于电阻 的热功率，外力做功的功率也等于电容器充电功率的2倍，有
联立解得
由于金属棒做匀速直线运动，所以外力始终与金属棒所受的安培力大小相等，从断开 开始到此刻外力做的功为
其中,
联立解得
考向四 双棒+斜面
例4 (多选)[2024·辽宁卷] 如图所示,两条“ ”形光滑平行金属导轨固定在
绝缘水平面上,间距为,左、右两导轨面与水平面夹角均为 ,均处于竖
直向上的匀强磁场中,磁感应强度大小分别为和 .将有一定阻值的导体
棒、 放置在导轨上,同时由静止释放,两棒在下滑过程中始终与导轨垂
直并接触良好.、的质量分别为和,长度均为 .导轨足够长且电阻
不计,重力加速度大小为 .两棒在下滑过程中( )
A.回路中的电流方向为
B.中电流趋于
C.与加速度大小之比始终为
D.两棒产生的电动势始终相等
√
√
[解析] 两导体棒沿导轨向下滑动，根据右手
定则可知，回路中的电流方向为 ，故A
正确；设回路的总电阻为 ，任意时刻电路中
的电流用表示，根据牛顿第二定律，对 有
，对 有
，解得，即与 加速度大小
始终相等，则两棒的速度大小始终相等，即 ，两棒产生的电动势
之比 ,故C、D错误；
两个导体棒产生的电动势同向叠加，随着导体
棒速度的增大，回路中的电流增大，导体棒受
到的安培力增大，当安培力沿导轨向上的分力
与重力沿导轨向下的分力平衡时，导体棒将匀
速运动，此时电路中的电流达到稳定值，此时对
有 ,解得 ，故B正确.
题型二 电磁感应中的能量问题
1.能量转化及焦耳热的求法
(1)能量转化
(2)求解焦耳热 的三种方法
2.解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解.
例5 ［2023· 新课标卷］ 一边长为 、质
量为的正方形金属细框，每边电阻为 ，
置于光滑的绝缘水平桌面(纸面)上.宽度为
(1) 使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场.运动过程中金属框的左、
右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为
它初速度的一半，求金属框的初速度大小.
[答案]
的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，两虚
线为磁场边界，如图甲所示.
[解析] 在金属框右边框进入磁场而左边框未进入磁场时，设它的加速度为 ,速度为,回路中电流为,电阻为 ，由法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式、牛顿运动定律有
设在小时间段 内，金属框速度和位置变化量分别为和 ，有
,
联立得
设金属框的初速度大小为 ,金属框刚好完全进入磁场时的速度为 ,则
金属框完全进入磁场后做匀速运动.金属框穿出磁场区域的过程与穿入过程
类似处理,并代入题目所给条件得
联立解得
(2) 在桌面上固定两条光滑长直金属导轨.导轨与磁场边界垂直，左端连接
电阻 ，导轨电阻可忽略.金属框置于导轨上，如图乙所示.让金属
框以与(1)中相同的初速度向右运动，进入磁场.运动过程中金属框的上、
下边框处处与导轨始终接触良好.
求在金属框整个运动过程中，
电阻 产生的热量.
[答案]
[解析] 当金属框置于导轨上时,金属框上下边框的电阻被导轨短路.当仅有右边框在磁场中运动时,电阻 与左边框的电阻并联,并联的电阻记为 , 电流回路总电阻记为 ,由电阻的串、并联公式有
,
设金属框刚好完全进入磁场时的速度
为 ，与(1)中类似处理并代入题给条件得
解得
从开始到金属框刚好完全进入磁场时，由能量守恒定律得整个电路产生的热量
设流经电阻的电流为，回路总电流为 ，有
从开始到金属框刚好完全进入磁场时，
电阻 上产生的热量为
金属框完全进入磁场后，左右边框产生的电动势相等，两边框的并联电阻为 ，这时回路总电阻为
设金属框完全进入磁场后，左边框与磁场左边界距离为时，金属框的速度为 ,与(1)中类似处理并代入题给条件可得
可以得到，当时,
即当金属框右边框到达磁场右边界时，金属框恰好停下从金属框完全进入磁场到停止运动的过程中,根据能量守恒定律,整个电路产生的热量为
电阻在电路中串联， 上产生的热量为
联立以上各式并代入题给条件得，在金属框整个运动过程中，电阻 产生
的热量为
例6 (多选)[2024·湖北武汉模拟] 如图甲所示，足够长的水平粗糙固定导
轨的左侧接有 ， 的定值电阻 导轨处于磁感应强度 的匀强
磁场中，方向垂直纸面向里，导轨间距.一质量为的金属棒
在水平拉力作用下以初速度 开始从处沿导轨向右运动，金属棒中的
电流与位移 的关系图像如图乙所示.已知金属棒与导轨间动摩擦因数为
，取 ，忽略金属棒与导轨的电阻，不计电磁辐射.则下列
说法正确的是( )
A.金属棒在处速度为
B.金属棒在处加速度为
C.从开始到处系统产生的总热量为
D.从开始到处拉力做功为
√
√
[解析] 由图像可知 ，则金属棒在处的电流为，根据、 可得 ，选项A错误；根据，即，可知 ，而，可得，金属棒在 处的速度为 ，则加速度为，选项B错误；从开始到 处
摩擦力产生的热量为 ，
回路中产生的焦耳热等于克服安培力做
的功，安培力为 ，
由安培力与位移的线性关系知回路中产生的焦耳热为，从开始到 处系统产生的总热量为 ，选项C正确；根据可知金属棒在 处和处速度分别为， ，从开始到处根据能量守恒定律有 ，选项D正确.
电磁感应中的动力学问题
1.[2023·浙江6月选考] 如图所示，质量为、电阻为、
长为 的导体棒通过两根长均为 、质量不计的导电细杆
连在等高的两固定点上，固定点间距也为.细杆通过开
关可与直流电源 或理想二极管串接.在导体棒所在
空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为 的匀强磁场，
不计空气阻力和其他电阻,重力加速度为.开关 接1，当导体棒静止时，
细杆与竖直方向的夹角；然后开关 接2，棒从右侧开始运动完成
一次振动的过程中 ( )
A.电源电动势
B.棒消耗的焦耳热
C.从左向右运动时，最大摆角小于
D.棒两次过最低点时感应电动势大小相等
√
[解析] 开关接1时，导体棒处于静止状态，其受力分析如图甲所示，由
平衡条件可知，而 ，解得 ，选项A错误；
开关接2，导体棒从图示位置向左运动到左侧最高点过程从到 ，如
图乙所示,根据右手定则可知，电流方向向里，即有电流通过理想二极管，
则向左摆动过程中，有安培力的阻碍作用，不能到达左侧等高处，而从
左向右摆动过程中 从到 ，根据右手定
则可知没有电流经过二极管，即没有安培
力 的阻碍作用，则、 等高，且最大摆
角小于 ，选项C正确；
根据能量守恒定律可知，从向 经过最低点时的速度要大于从向 经过
最低点时的速度，因此棒两次过最低点时感应电动势大小不相等，选项D
错误；棒从开始完成一次振动的过程，由能量守恒定律得，棒消耗的焦
耳热 ，其中，则 ，
选项B错误.
2.如图所示，水平平面内固定两平行的光滑
金属导轨，左边导轨间的距离为 ，右边导
轨间的距离为 ，左右两部分用导电材料连
接，两导轨间都存在磁感应强度为 、方向
(1) 两棒最终达到何种稳定状态？此状态下两棒的加速度分别为多大？
[答案] 均做匀加速直线运动;
竖直向下的匀强磁场.、 两均匀的导体棒分别垂直放在左边和右边导
轨间，棒的质量为，长度为，电阻为，棒的质量为 ，长度
为,电阻为，其他部分电阻不计.原来两棒均处于静止状态，现 棒在沿
导轨向右的水平恒力 作用下开始运动，设两导轨足够长，两棒都不会滑
出各自的轨道.
[解析] 棒由静止开始向右运动，产生如图所示的感应电流，设感应电流大小为， 棒和棒受到的安培力为分别、 ，速度分别为、,加速度分别为、 ,则
开始阶段安培力小，有，棒比 棒加速度大，随着
的增大，、 增大，减小、增大.当 时，不变，
、 也不变，两棒以不同的加速度做匀加速直线运动，加速度
，
2.如图所示，水平平面内固定两平行的光滑金属导
轨，左边导轨间的距离为 ，右边导轨间的距离为
， 左右两部分用导电材料连接，两导轨间都存在磁
(2) 在达到稳定状态时 棒产生的热功率为多大？
感应强度为、方向竖直向下的匀强磁场.、 两均匀的导体棒分别垂直
放在左边和右边导轨间，棒的质量为，长度为，电阻为， 棒
的质量为，长度为,电阻为 ，其他部分电阻不计.原来两棒均处于静止
状态，现棒在沿导轨向右的水平恒力 作用下开始运动，设两导轨足够
长，两棒都不会滑出各自的轨道.
[解析] 两棒最终均处于匀加速直线运动状态，此时
，
解得
此时棒产生的热功率为
[答案]
电磁感应中的能量问题
3.(多选)[2021·湖南卷] 两个完全相同的正方形匀质
金属框边长为，通过长为 的绝缘轻质杆相连，构
成如图所示的组合体.距离组合体下底边 处有一方
向水平、垂直纸面向里的匀强磁场.磁场区域上下边
界水平，高度为 ，左右宽度足够大.把该组合体在
垂直磁场的平面内以初速度 水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度大
小 使其匀速通过磁场，不计空气阻力.下列说法正确的是( )
A.与无关，与 成反比
B.通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变
C.通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等
D.调节、和 ，只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程
中产生的热量不变
√
√
[解析] 由，， ，可得
，选项A错误；金属框进磁场和出磁场
过程中电流方向相反，选项B错误；由功能关系可
知，组合体克服安培力做功的功率等于回路中的电
功率，由于组合体的动能不变，由能量守恒定律可
知，产生的电能等于减少的重力势能，所以组合体克服安培力做功的功率
与重力做功的功率相等，只要组合体仍能匀速通过磁场,其通过磁场的过
程中产生的热量就不变，故选项C、D正确.
4.(多选)如图所示,水平桌面上固定有光滑的形金属导轨,导轨间距为 ,匀
强磁场垂直于导轨平面向上,磁感应强度为,一质量为、电阻为 的导体
棒放在导轨上且与导轨接触良好,轻绳一端与导体棒相连,另一端通过定滑
轮与重力为的铁块相连.导轨电阻不计,重力加速度为 .将导体棒由静止释
放,经过距离 后,导体棒做匀速运动,下列说法正确的是( )
A.当导体棒匀速运动时,通过导体棒的电流为
B.导体棒匀速运动的速率为
C.运动距离后,铁块损失的机械能为
D.导体棒与铁块整个系统损失的能量比铁块损失的机
械能大
√
√
[解析] 当导体棒匀速运动时,其受力平衡,此时绳的拉
力大小等于安培力,即 ,故通过导体棒的电流
,A正确;当导体棒匀速运动时,有 ,其中
,,故导体棒匀速运动的速率为 ,B
正确;运动 距离的过程中,铁块损失的机械能为
,C错误;根据能量
守恒定律可知,导体棒和铁块整个系统损失的能量等于克服安培力做的功,
而铁块损失的机械能等于导体棒的动能增加量和克服安培力做的功之和,
所以导体棒与铁块整个系统损失的能量比铁块损失的机械能小,D错误.
5.[2023·广东卷] 光滑绝缘的水平面上有
垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ
和Ⅱ,宽度均为 ,其俯视图如图甲所示,两
磁场的磁感应强度随时间 的变化如图乙
所示, 时间内,两区域磁场恒定,方
向相反,磁感应强度大小分别为和, 一电阻为、边长为 的刚性正方
形金属框平放在水平面上,、边与磁场边界平行.时,线框
边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速度向右运动.在 时刻, 边运动到距区域Ⅰ
的左边界 处,线框的速度近似为零,此时线框被固定,如图甲中的虚线框所
示.随后在 时间内，Ⅰ区域磁感应强度线性减小到0,Ⅱ区域磁场保持
不变; 时间内，Ⅱ区域磁感应强度也线性减小到0.求:
[解析] 时,线框左右两边切割磁感线产
生的总感应电动势为
线框中感应电流为
由楞次定律可知，线框中的感应电流沿顺时针方向，由左手定则可知，
线框受到的安培力水平向左线框左右两边所受的安培力为
(1) 时，线框所受的安培力 ;
[答案] ，方向向左
(2) 时，穿过线框的磁通量 ;
[答案]
[解析] 时，由题图乙知Ⅰ区域磁场磁感应强度为 ，穿过线框的磁通量为
[解析] 时间内，Ⅱ区域磁感应强度变化率为
线框中产生的感应电动势为
则线框中产生的热量为
(3) 时间内,线框中产生的热量 .
[答案]
作业手册
1.[2023·北京卷] 如图所示，光滑水平面上的正方形导线框以某一初速度
进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出.线框的边长小于磁场宽度.下列
说法正确的是( )
A.线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
B.线框出磁场的过程中做匀减速直线运动
C.线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等
D.线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等
√
[解析] 线框进磁场的过程中，由楞次定律知电流方向为
逆时针方向，A错误；线框出磁场的过程中，根据,
,联立得 ,由左手定则可知线框受到的
安培力向左，则减小， 减小，线框做加速度减小的减
速运动，B错误；由能量守恒定律得线框产生的焦耳热
, 其中线框进出磁场时均做减速运动，但其进磁
场时的速度大，安培力大，产生的焦 耳热多，C错误；
线框在进和出的两过程中，通过导线横截面的
电荷量,其中，,联立得 ,由于线
框在进和出的两过程中线框的位移均为 ，则线框在进和
出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等，故D正确.
2.如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨竖直放置，间距为，顶端接阻值为 的电阻，导轨所在平面与磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场垂直.质量为 、电阻为 的金属棒在磁场上边界上方某处由静止释放，金属棒始终水平且与导轨接触良好，不计导轨的电阻，重力加速度为 ，则下列说法正确的是( )
A.金属棒在磁场中运动时，流过电阻的电流方向为
B.金属棒刚进磁场时一定做加速运动
C.金属棒的速度为时，金属棒所受的安培力大小为
D.金属棒以稳定的速度下滑时，电阻的热功率为
√
[解析] 当金属棒在磁场中向下运动时，根据楞次定律可判断出
通过电阻的电流方向为 ，A错误；由于无法确定金属棒
刚进入磁场时安培力与重力的大小关系，故无法确定金属棒的
加速度方向，B错误；金属棒进入磁场时，产生的感应电动势
，感应电流 ，金属棒所受的安培力大小
，C错误；金属棒稳定下滑时，电阻 的热功
率，且，解得 ，D正确.
3.(多选)[2024·河北石家庄模拟] 水平固定放置的足够长的光滑平行金属导轨，
电阻不计，间距为，左端连接的电源电动势为，内阻为，质量为 的金属
杆垂直静放在导轨上，金属杆处于导轨间部分的电阻为 .整个装置处在磁感应
强度大小为 、方向竖直向下的匀强磁场中，如图所示.闭合开关，金属杆由静
止开始沿导轨做非匀变速运动直至达到最大速度，则下列说法正确的是
( )
A.金属杆的最大速度等于
B.金属杆的最大速度等于
C.此过程中电源提供的电能为
D.此过程中金属杆产生的热量为
√
√
[解析] 金属杆向右运动时切割磁感线产生的感
应电流与通电电流方向相反，随着速度增大，
感应电流增大，则金属杆中的实际电流减小、
安培力减小，金属杆做加速度逐渐减小的加速
运动，最后匀速运动，金属杆速度最大时，产
生的感应电动势为，根据 ，最大速度
为 ，A正确，B错误；
对金属杆由动量定理得,
解得 ,由能量守恒定律可知，此过程中
电源提供的电能为 ，C错误；
金属杆最后的动能为 ，根据能量守恒定律，系统产生的焦耳热为 ，此过程中金属杆产生的热量为
，D正确.
4.(多选)[2024·广西南宁一中模拟] 如图所示，两根足够长的光滑平行的
金属导轨、倾斜放置，倾角为 ，匀强磁场垂直于导轨平面
(方向如图所示)，导轨的上端与水平放置的两金属板、 相连，金属棒
水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨垂直且接触良好.现由静止释放
金属棒 ，假定电容器不会被击穿，忽略一切电阻，则下列说法正确的是
( )
A.金属棒下滑过程中板电势高于 板电势
B.金属棒 匀加速下滑
C.金属棒 最终可能匀速下滑
D.金属棒 下滑过程中减少的重力势能等于其增
加的动能
√
√
[解析] 金属棒 下滑过程中，切割磁感线产生感
应电动势，由右手定则可判断出金属棒 端为正
极，所以板电势高于 板电势，选项A正确；金
属棒 下滑过程中由于产生感应电动势和感应电流，对电容器充电，由
，，，金属棒 受到安培力 ，对金属棒
受力分析，有 ，联立解得 ，加速度为恒量，
说明金属棒下滑时做匀加速直线运动，选项B正确，C错误；金属棒
下滑过程中减少的重力势能等于其增加的动能和电容器储存的电场能之
和，选项D错误.
5.(多选)[2024·山东青岛模拟] 如图所示,固定的竖直光滑 形金属导轨间
距为,上端接有阻值为 的电阻,处在方向水平且垂直于导轨平面、磁感应
强度大小为的匀强磁场中,质量为、接入电路的电阻为 的导体棒与劲
度系数为 的固定轻弹簧相连放在导轨上,导轨的电阻忽略不
计.初始时刻, 弹簧处于伸长状态,其伸长量为( 为重力
加速度),此时导体棒具有竖直向上的初速度 ,在沿导轨上、
下运动的过程中,导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触.
下列说法正确的是( )
A.初始时刻导体棒受到的安培力大小为
B.初始时刻导体棒的加速度大小为
C.导体棒上下运动,最终静止时弹簧处于压缩状态
D.从导体棒开始运动到最终静止的过程中,电阻 上产生的
焦耳热为
√
√
[解析] 初始时刻导体棒产生的感应电动势为 ,感
应电流 ,安培力 ,A错误;初始时刻,
由牛顿第二定律有,解得
,B正确;当导体棒静止时,安培力为零,棒受
到重力和弹簧的弹力而平衡,弹力的方向向上,弹簧处于压缩
状态, C正确;导体棒最终静止时,弹簧的压缩量为 ,
故从棒开始运动到最终静止,弹簧的弹性势 能不变,由能量守恒定律有
,解得系统产生的总热量,则
上产生的热量要小于 ,D错误.
6.[2024·浙江温州模拟] 如图所示，两根足够长的平
行金属导轨固定在倾角为 的斜面上，导轨电
阻不计，间距 ，导轨所在空间被分成区域Ⅰ
和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为 .Ⅰ中的匀强磁
场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感
应强度大小均为.在区域Ⅰ中，将质量为 、接入电路的
电阻为 的金属棒放在导轨上， 刚好不下滑. 然后，在区域
Ⅱ中将质量为、接入电路的电阻为 的光滑导体棒
置于导轨上，由静止开始下滑. 在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，
、始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取 .
(1) 求下滑的过程中， 中的电流方向；
[答案] 由流向
[解析] 由右手定则可知中电流的方向为由流向
[解析] 只放置时刚好不下滑， 所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为
，有
设刚好要上滑时，棒产生的感应电动势为
由法拉第电磁感应定律有
(2) 刚要向上滑动时，求的速度大小 ；
[答案]
设电路中的感应电流为 ，由闭合电路的欧姆定律有
设所受安培力为，有
此时 受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下
由平衡条件有
联立解得
[解析] 设下滑过程中电路中产生的总热量为 ，由能量守恒定律有
又
解得
(3) 从开始下滑到刚要向上滑动的过程中， 滑
动的距离为，求此过程中上产生的热量 .
[答案]
7.[2024·安徽卷] 如图所示，一“ ”形金属导轨固定在竖直平面内，一电阻不计、质量为的金属棒 垂直于导轨，并静置于绝缘固定支架上.边长为的正方形 区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，支架上方的导轨间存在竖直向下的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小随时间 的变化关系均为，为常数 .支架上方的导轨足够长，两边导轨单位长度的电阻均为，下方导轨的总电阻为
时，对 施加竖直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小为的匀加速直线运动，整个运动过程中 与两边导轨接触良好.已知与导轨间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为 .不计空气阻力，两磁场互不影响.
(1) 求通过面积的磁通量大小随时间 变化的关系式，以及感应电动势的大小，并写出 中电流的方向;
[答案] ; ; 从流向
[解析] 通过面积的磁通量大小随时间 变化的关系式为
根据法拉第电磁感应定律得
由楞次定律可知中的电流方向为从流向
(2) 求所受安培力的大小随时间 变化的关系式;
[答案]
[解析] 根据左手定则可知 受到的安培力方向垂直于
导轨平面向里，大小为
其中
设金属棒向上运动的位移为，则根据运动学公式有
导轨接入回路的电阻为
由闭合电路欧姆定律得
联立解得所受安培力的大小随时间变化的关系式为
(3) 经过多长时间，对 所施加的拉力达到最大值？并求此最大值.
[答案] ;
[解析] 由题知时，对 施加竖直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小为的匀加速直线运动，则对 受力分析，由牛顿第二定律有
其中
联立可得
整理有
根据均值不等式可知，当且仅当
时取等号， 有最大值，此时
F的最大值为
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