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第四章 指数与对数
6.1 幂函数
苏教版2019必修第一册·高一
学习目标
教学重点：掌握幂函数的图象、单调性和对称性；比较指数式值的大小
教学难点：了解并归纳常见幂函数的特点与变化情况并提炼幂函数的性质
了解幂函数的概念，会画出常见的典型幂函数的图象，根据图象的特点提取幂函数变化特点与性质；
掌握幂函数的单调性与对称性，会用其单调性比较指数式值的大小；
在图象中体会数形结合的思想.
教学目标
学科素养
直观想象：借助幂函数的图象理解幂函数的变化特点与性质；
数学抽象：借助幂函数的图象提炼幂函数的性质；
数学建模：通过实际情境经历幂函数概念形成过程；运用幂函数解决问题，进行比较大小运算.
新知引入
函数
值域
定义域
奇偶性
R
问题1：在我们学习过的内容中，哪些可以用来描述函数？
图象
单调性
问题2：尝试描述函数 y = x2.
(-∞,0]减
(0,+∞)增
偶函数
[0,+∞)
（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p = w元，这里p是w的函数；
（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积????=????2，这里S是a的函数；
（3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积????=????3，这里V是b的函数；
（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长????=????，这里c是S的函数；
（5）如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度????=1???? km/s，即????=?????1，这里v是t的函数．
?
新知引入
????=????
?
????=????2
?
????=????3
?
????=????=????12
?
????=1????=?????1
?
????=????????
?
情境1：写出下列示例中的函数关系，思考这些函数有什么共同特点？
新知呈现
我们把形如????=????α的函数称为幂函数（power function），其中x是自变量，α是常数.
?
例1：判断下列函数是否为幂函数.
（1）????=3????2； （2）????=?????3+2； （3）????=1????； （4）?????=?1.
?
总结：1.幂的底数是自变量????,幂的指数是常数????；
2. ????α前的系数为1，且后面无常数项.
?
“幂”原指覆盖食器的布巾，数学中“幂”是乘方/指数运算的结果，而乘方的表示是在一个数字上加上标，就像在一个数上“盖上了一头巾”.
新知呈现
我们把形如????=????α的函数称为幂函数（power function），其中x是自变量，α是常数.
?
例2：你还能再举出一些幂函数的例子吗？
（1）????=????4； （2）????=?????4； （3）????= ????45?； （4）?????=?????45.
?
注：幂的指数除了可以取整数之外,还可以取其他实数,当它们取其他实数时幂也有各自的含义.
问题探究
问题3：在已有的学习函数的经验中，我们如何去研究一类函数？说说你的想法.
从现实背景中抽象出函数概念
描点法做出函数图象
通过图象分析函数性质
进行函数的实际应用
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
定义域
值域
奇偶性
单调性
y=x2
R
[0,+∞)
偶函数
(-∞,0]递减，(0,+∞)递增
问题探究
问题4：画出函数????=????2， ????=????3?，????=????12的图象.
?
问题4.1：画图时采用了什么方法？取了哪些点？
问题4.2：用什么方法可以让所画图象趋势更准确一点？
问题4.3：能否少取一些点？
选点注意代表性！
问题5：根据图象说明其定义域，值域，奇偶性，单调性.
幂函数
?????????=????2
????=????3
????=????12
定义域
R
值域
[0,+∞)
奇偶性
偶函数
单调性
(-∞,0]递减
(0,+∞)递增
图象
幂函数
定义域
R
值域
[0,+∞)
奇偶性
偶函数
单调性
(-∞,0]递减
(0,+∞)递增
图象
[0,+∞)
R
R
[0,+∞)
奇函数
非奇非偶
R上递增
[0,+∞)递增
问题6：你能说说它们有什么共同的特点吗？
问题探究
（1）函数的图象都过点(0, 0)和(1, 1)；
（2）在第一象限内，函数的图象随 x 的增大而上升，函数在区间0,+∞上单调递增.
?
问题6：一般地，对于????=????????，当????>0时，上面的性质也满足吗？
?
问题探究
问题7：在同一坐标轴中画出函数????=?????1， ????=?????3?，????=?????12的图象.并根据图象说明其定义域，值域，奇偶性，单调性.
?
问题8：你能说说它们有什么共同的特点吗？
幂函数
?????????=?????1
????=?????3
????=?????12
定义域
{x|x≠0}
值域
{????|????≠0}
{????|????≠0}
奇偶性
奇函数
单调性
(-∞,0)递减
(0,+∞)递减
幂函数
定义域
{x|x≠0}
值域
奇偶性
奇函数
单调性
(-∞,0)递减
(0,+∞)递减
(0,+∞)
(0,+∞)
奇函数
非奇非偶
(-∞,0)递减
(0,+∞)递减
(0,+∞)递减
{x|x≠0}
问题探究
（1）函数的图象都过点(1, 1)；
（2）在第一象限内，函数的图象随 x 的增大而下降，函数在区间(0,+∞)上单调递减.
?
问题6：一般地，对于????=????????，当????<0时，上面的性质也满足吗？
?
问题探究
幂函数
?????????=????2
????=????3
????=????12
????=?????1
????=?????3
????=?????12
定义域
R
R
[0,+∞)
{x|x≠0}
{x|x≠0}
(0,+∞)
值域
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{y|y≠0}
{y|y≠0}
(0,+∞)
奇偶性
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
奇函数
非奇非偶
单调性
(-∞,0]递减
(0,+∞)递增
R上递增
[0,+∞)递增
(-∞,0)递减
(0,+∞)递减
(-∞,0)递减
(0,+∞)递减
(0,+∞)递减
幂函数
定义域
R
R
[0,+∞)
{x|x≠0}
{x|x≠0}
(0,+∞)
值域
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{y|y≠0}
{y|y≠0}
(0,+∞)
奇偶性
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
奇函数
非奇非偶
单调性
(-∞,0]递减
(0,+∞)递增
R上递增
[0,+∞)递增
(-∞,0)递减
(0,+∞)递减
(-∞,0)递减
(0,+∞)递减
(0,+∞)递减
问题7：对于奇偶性，你有什么发现？
（1）当????是奇数时，幂函数????=????????是奇函数；
（2）当????是偶数时，幂函数????=????????是偶函数；
?
问题探究
新知呈现
问题8：当????=0时，图象如何？有什么性质？
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
定义域
值域
奇偶性
单调性
y=x0=1
R
{1}
既奇又偶
无单调性
总结：
????>0时：
（1）公共点：(0, 0)和(1, 1)；
（2）在区间0,+∞上单调递增.
????<0时：
（1）公共点：(1, 1) ；
（2）在区间(0,+∞)上单调递减.
?
（1）当????是奇数时，幂函数????=????????是奇函数；
（2）当????是偶数时，幂函数????=????????是偶函数；
?
典例精讲
例1：判断下列函数是否为幂函数，并指出它们的奇偶性：
(1)????=????3； (2)????=4????14； (3)????=????12； (4)????=?????2.
?
注意：????α前的系数为1，且后面无常数项.
?
解：
(1)????=????3 是奇函数；
(3)????=????12既不是奇函数，也不是偶函数；
(4)????=?????2是偶函数.
?
典例精讲
变式训练
解:设????(????)=????????,∵2????=2=212,∴????=12.
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∴????(????)=????12=????,????∈[0,+∞).
?
变式1：已知幂函数????(????)的图象过点(2, 2),求????(????)的解析式.
?
牢记幂函数的一般形式：????(????)=????????.
?
典例精讲
变式训练
∴????(????)=????3,????∈????.
?
变式2：若????(????)=(????2??????1)????????2+?????3是幂函数,且????>0时????(????)是增函数,求????(????).
?
解:由????2???????1=1得????=2或????=?1.
?
????=2时,????(????)=????3,符合题意.
?
????=?1时,????(????)=?????3=1????3,不符合题意.
?
不符合增函数！
幂函数系数为1！
典例精讲
变式训练
∴????=?3或????=1.
?
变式3：若幂函数????(????)=(????2+2?????2)????????2?3????是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则????=_____.
?
解:∵ ????2+2?????2=1,即????2+2?????3=(????+3)(?????1)=0,
?
????=?3时,????(????)=????18,在(0,+∞)上为增函数,不合题意;
?
????=1时,????(????)=?????2=1????2,符合题意.
?
典例精讲
例3： 试比较下列各组数的大小：
（1）1.13，0.893； （2）2.112，212，1.812； （3）121.3，1，313.
?
解 ：（1）因为函数 ????=????3在区间 0,+∞ 上单调递增，又 1.1 > 0.89，所以1.13>0.893.
?
（2）因为函数 ????=????12?在区间0,+∞上单调递增，又2.1 > 2 > 1.8 ，所以 2.112>212>1.812.
（3）因为函数 ????=????1.3?在区间0,+∞上单调递增，又1=11.3，12<1，所以 121.3<11.3=1.
因为函数????=????13在区间0,+∞上单调递增，又 113=1，3 > 1，所以313>113=1.于是 121.3<1<313.
?
典例精讲
变式训练
&????+1<3?2????&????+1≥0&3?2????≥0
?
[?1,23)
?
变式1：若(????+1)12<(3?2????)12,则实数????的取值范围是__________.
?
????>0，在区间[0,+∞)上单调递增.
注意分数指数幂是否有意义！
典例精讲
变式训练
变式2：试通过代数运算和函数图象比较212与213的大小.
?
212>213
?
反思总结
问题9：本节课主要研究了哪些内容?是如何研究的？
????>0????<0?????=0?
?
幂函数的共同特点
定义域，值域，奇偶性，单调性······
课后思考：本节如果对指数????进行更细的分类，对于幂函数的性质能有更详细、更科学的总结吗？
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感谢聆听
数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼

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