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第四章 指数与对数
6.2.1 指数函数(1)
苏教版2019必修第一册·高一
学习目标
教学重点：由实际情境抽象指数函数的概念；理解指数函数的概念；
教学难点：从实际情境抽象并刻画指数函数的概念的过程；
能通过定义判断一个函数是否为指数函数；掌握指数函数的定义域和值域的取值范围；
通过已有知识基础，结合问题情境抽象出指数函数的概念；
能够应用指数函数解决一些简单问题，加强与现实情境的联系.
教学目标
学科素养
逻辑推理：归纳指数函数式，推理幂函数和指数函数的关系；
数学抽象：能在具体的情境中抽象出指数函数的概念并用其对现实情境做出解释;
数学建模：运用指数函数模型解决简单的实际问题.
新知引入
问题1：这些函数是我们学过的幂函数吗？它有什么特点？
观察下列问题的函数：
（1）研究细胞分裂时，我们得到函数 .
（2）在4.2.2节的例10中，得到函数 .
（3）庄子曰：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”（“捶”同“棰”）。设经过的天数为 x（天），木棰剩余的长度为 y（尺），则有 .
底数为常数，指数为自变量.
指数函数
2011年，美国德克萨斯州圣马克中学的师生们完成了一项惊人挑战：他们将一卷长达1.3万英尺（约4公里）的厕纸对折13次，一举打破了2002年创下的12次纪录。
为容纳这卷超长厕纸，该校数学老师兼折纸达人詹姆斯·坦顿（James Tanton）与十五名学生特意借用了麻省理工学院那条250米长的“无尽走廊”。众人协作四个多小时，才终于完成这项耗时的任务。
经过13次对折后，厕纸已形成2 =8192层，最终缩成一团——不算美观，也难以长时间维持这一形态。
新知引入
新知引入
活动1：同学们拿出一张纸，,沿长边将其反复对折,你有什么发现？
假设一层纸的厚度为0.1mm，
对折1次，共2层。
对折2次，共4层。
对折3次，共8层。
21×2=22
21
22×2=23
对折次数 1 2 3 ··· 24 x
层数 2 22 23 ··· 224 2x
总厚度 0.1·2 0.1·22 0.1·23 ··· 1600km+ -
折纸层数 y 关于对折次数 x 的函数表达式是：
y = 2x
新知引入
（1）研究细胞分裂时，我们得到函数 .
（2）在4.2.2节的例10中，得到函数 .
（3）木棰剩余的长度 y 关于经过的天数为 x 的函数表达式是 .
（4）折纸层数 y 关于对折次数 x 的函数表达式是：y = 2x .
问题2：它们有什么共同特征，可以写成一种函数表达式吗？
问题3：你可以类比幂函数的概念通过归纳对此类函数下定义吗？
y = a x
底数为常数，指数为自变量.
形如y = a x的函数叫作指数函数，它的定义域是R.
新知探究
问题5：在指数函数y = a x中，a的范围是多少？为什么？
问题4：回顾所学，在指数函数y = a x中，它的定义域是R的依据是什么？
根据指数幂的拓展，可以知道指数可以取到所有实数，所以定义域是R.
（1）当a < 0时，当指数变化时，存在无意义的情况，如；
（2）当a = 0时，当指数变化时，存在无意义的情况，如；
（3）当a = 1时，恒等于1，是取值恒为1的函数.
新知探究
函数y = a x (a > 0,a ≠ 1)叫作指数函数，它的定义域是R.
指数函数的特点：
y = a x
底数为常数，指数为自变量.
系数是1.
a > 0,a ≠ 1
问题6：幂函数的概念与指数函数的概念有什么相同之处与不同之处？
幂函数：指数为常数，底数为自变量.
指数函数：底数为常数，指数为自变量.
典例精讲
例1：判断下列函数是否为指数函数.
（1） （2）
（3） （4）
变式1：判断下列函数是否为指数函数.
(1)；　 (2)；　 　(3)；
(4)； (5).
(1)底数为常数，指数为自变量
(2) a > 0,a ≠ 1
(3)系数是1
典例精讲
解：依题意得
例2：若指数函数过点，求f(0) ，f(1) ，f(-3)的值.
利用指数函数表达式带点求参数.
典例精讲
变式训练
解：依题意得
变式1：若幂函数过点，求f (0) ，f (1) ，f (-3)的值.
注意幂函数与指数函数在求解上的区别.
典例精讲
变式训练
变式2：若指数函数 f(x) 的图象过点(2, 9)，求f(x) 及f(-2) 。
解：设
看到指数函数就要写出其进行函数表达式！
典例精讲
变式训练
解： 是指数函数，
即
得 a = 6 .
变式3：若函数 是指数函数，求实数 a 的值。
判断指数函数一定注意以下两点：
(1)a > 0,a ≠ 1
(2)系数是1
新知探究
如今，指数函数在数学、物理、工程、经济、生物等多领域应用广泛；在我们的生活中同样应用广泛。
指数函数的发展经历了悠久的历程。
古希腊泰勒斯研究十进制对数，奠定指数增长概念雏形。
17 世纪中叶，费马、牛顿、莱布尼茨分别探索指数函数性质；1673 年，莱布尼茨引入现代指数符号，系统厘清指数与对数的关联。
18 世纪，欧拉以自然底数 e 表述该函数，将其拓展至复数域并提出欧拉公式，推动理论走向成熟。
此后，高斯揭示其与正态分布的关联，伯克霍夫攻克相关微积分难题，冯 诺依曼提出的指数分布则在工程领域广泛应用。
新知探究
指数增长模型
例3：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%．写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．
解 设该物质最初的质量是1，经过 x 年剩留量是 y ．
经过1年，剩留量是
；
经过2年，剩留量是
；
……
一般地，经过 x 年，剩留量是
．
新知探究
投资复利模型
例4：某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每期利率为 r ，设存期是 ，本利和（本金加上利息）为 y 元．
（1）写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式；
（2）已知存入本金1000元，每期利率为 2.25% ，试计算5期后的本利和．
解 （1）已知本金为 a 元，利率为 r ，则1期后的本利和为
，
2期后的本利和为
，
3期后的本利和为
，
……
x 期后的本利和为
，
即本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式为
．
新知探究
投资复利模型
例4：某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每期利率为 r ，设存期是 ，本利和（本金加上利息）为 y 元．
（1）写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式；
（2）已知存入本金1000元，每期利率为 2.25% ，试计算5期后的本利和．
解：
（2）将 a = 1000 （元）， r = 2.25% ， x = 5 代入上式，得
（元），
即5期后的本利和约为1117.68元．
本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式为
．
反思总结
指数函数的概念
特点
简单应用
指数只有自变量x
a > 0,a ≠ 1
系数是1
判断函数是否为指数函数
指数函数求参数
问题7：这节课我们学习了哪些内容呢？掌握了哪些解题思路？
感谢聆听
数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼

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