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第四章 指数与对数
6.2.2 指数函数(2)
苏教版2019必修第一册·高一
学习目标
教学重点：掌握指数函数的图象和性质，利用其解决实际问题；
教学难点：图象的变化特征，由图象归纳出一般性质.
了解能绘制特殊的函数图象，并抽象出一般的函数图象；
能从图象中提出指数函数的性质，能用自己的语言表述指数函数的一般性质；
能运用指数函数的性质与图象解决实际问题.
教学目标
学科素养
直观想象：理解指数函数解析式与图象的关系，用图象解释函数性质；
逻辑推理：运建立指数函数性质与图象的知识体系；
数学建模：运用指数函数性质与图象解决实际问题.
新知引入
情境1：庄子曰：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”（“捶”同“棰”）。
设经过的天数为 x（天），木棰剩余的长度为 y（尺），则有 .
一尺的木棒看作“1”，之后每天取一半，永远都取不完.每天剩余的长度依次是：
新知引入
对折次数 1 2 3 ··· 24 x
层数 2 22 23 ··· 224 2x
总厚度 0.1·2 0.1·22 0.1·23 ··· 1600km+ -
情境2：回顾上节课的折纸活动.
对折39次，厚度达54975多千米，超过地球赤道长度；
对折42次，厚度达4398多万千米，超过地球至月球的距离；
对折51次厚度达22亿千米，超过地球至太阳的距离；
对折82次厚度为51113光年，超过银河系半径的长度。
思考：“指数爆炸”真的有那么夸张吗？该如何去表现呢？
画出图象.
新知引入
问题1：画出指数函数 与 的图象.请同学们在坐标纸上画出来.
问题2：从幂函数的研究中我们知道研究函数的性质可以从哪几个方面来研究？
问题3：这两个函数的定义域、值域、单调性、奇偶性又是怎样的呢？
答：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点情况······
新知探究
定义域
值域
单调性
奇偶性
R
(0,+∞)
单调递增
非奇非偶
R
(0,+∞)
单调递增
非奇非偶
问题2：一般地，请同学们在这三种情况下讨论指数函数的上述性质.
时函数是常函数y = 1.
新知探究
图象
性质 定义域： 值域： 图象特点：定点 单调性： 单调性：
R
(0,+∞)
(0,1)
图象在x轴上方
增函数
减函数
x>0,y>1;x<0,0x>0, 01.
问题3：在画图过程中，你还发现了指数函数的其他性质吗？
x轴是的“渐近线”.具体来说， 时，随着x的减小，图象趋向于x轴； 时，随着x的增大，图象趋向于x轴.
课后思考：尝试证明指数函数的单调性.
新知探究
问题4：函数的图象与函数 的图象有怎样的关系？
问题5：一般地，你能得到什么结论？请写下来并尝试证明之.
的图象与 的图象关于y轴对称.
一般地，函数与 (a>0,a≠1)的图象关于y轴对称.
证明：令，，那么
，证毕.
指数相同，底数互为倒数；
底数相同呢？
新知探究
先看a > 1的情况.
问题6：在同一张坐标纸上画出指数函数 与 的图象，讨论当底数变化时函数图象有什么变化？
底数由2增大到3的过程中，对应的函数变化如何？
y轴右侧， ；y轴左侧， .
从图象上来看呢？
底数为3的函数图相比底数为2的函数图更接近y轴.
当底数大于1时，底数越大，相应的函数图象越靠近y轴.
新知探究
再看0 < a < 1的情况，你有什么结论？
问题6：在同一张坐标纸上画出指数函数 与 的图象，讨论当底数变化时函数图象有什么变化？
底数越小，相应的函数图象越靠近y轴.
a > 1 ，a 越大，图象越靠近y轴；
0 < a < 1， a 越小，图象越靠近y轴.
新知探究
问题7：在另一张坐标纸上画出函数 ， 与的图象，讨论这些函数图象有什么关系？
x ··· -2 -1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
··· ···
将指数函数的图象向右平移2个单位长度，就得到函数的图象.
追问1：函数 ， 的图象之间有什么关系？
(a > 0 , a ≠ 1 , h ≠ 0)
h>0时，将向左平移h个单位得到 的图象；
h<0时，将向右平移个单位得到 的图象；
典例精讲
变式1：的图象恒过定点__________．
变式2：的图象恒过定点___________．
变式3：的图象恒过点(2,3)，则 ．
例1：的图象恒过定点 ________．
的图象恒过定点 (1,0)
原理：a > 0 时，恒有 ．
3
典例精讲
例2：比较下列各组数的大小：
(1) 与 (2) 与　
(3) 与　 (4) 与

（1）是R上的增函数，，．
（2） 是R上的增函数，．
（3） 是R上的减函数，．
（4）① 0 < a < 1 时，是R上的减函数，．
② a > 1 时，是R上的增函数，
典例精讲
变式训练
变式1：比较下列各组数的大小：
(1)与 (2)
变式2：若，则 m 的范围是_________ ．
m < 0.5
（1），且，．即．
（2） 是R上的减函数，且．
又．
是上的增函数，且
使用“中间数”进行比较
典例精讲
变式训练
例3：函数的图象为（ ）
A
典例精讲
变式1：如图是指数函数
的图像，则 a,b,c,d 的大小关系是( )
A. 0 < a < b < 1 < c < d
B. 0 < b < a < 1 < d < c
C. 0 < a < b < 1 < d < c
D. 0 < b < a < 1 < c < d
B
a > 0 ，a 越大，图象越靠近y轴；
0 < a < 1， a 越小，图象越靠近y轴.
典例精讲
例4：求下列函数的定义域.
(1) (2) (3)
变式1：求下列函数的定义域.
(1) (2)
由得．
定义域为．
R
分母不为0
{x | x ≠ -1}
运用了指数函数的单调性,写成同底数形式.
{x | x ≠ 1}
由得．
定义域为．
典例精讲
例5：求下列函数的值域.
(1) , (2)
(1)解：
由指数函数单调性得
值域为

(2)解：
由指数函数单调性得
值域为.
求值域：
定义域→单调性→值域
典例精讲
变式训练
变式1：求下列函数的值域.
(1) , (2)
(1)解：
由指数函数单调性得
值域为.
(2)解：
值域为.
注意定义域！
例3：(解决实际问题)我国是世界上人口最多的国家，人口问题与我国的经济社会发展密切相关。已知 2021 年第七次人口普查，我国人口总人数达到 14.4 亿，每年人口增长率约为 0.53%。请估算 2040 年我国人口总数将达到多少？
解：由题意得：
其中：
：初始人口（2021年人口数）；
r：年增长率；
t：时间间隔（年数）；
N：经过 t 年后的人口数。
将参数代入公式：
计算最终人口：
（亿）
指数增长模型
典例精讲
反思总结
图象
性质 定义域： 值域： 图象特点：定点 单调性： 单调性：
R
(0,+∞)
(0,1)
图象在x轴上方
增函数
减函数
x>0,y>1;x<0,0x>0, 01.
a > 1 ，a 越大，图象越靠近y轴；
0 < a < 1， a 越小，图象越靠近y轴.
h>0时，将向左平移h个单位得到 的图象；
h<0时，将向右平移个单位得到 的图象；
定点问题
比较大小—单调性
定义域
值域
感谢聆听
数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼

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