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第六章 幂函数、指数函数和对数函数
6.3.1 对数函数(1)
苏教版2019必修第一册·高一
学习目标
教学重点：由实际情境抽象指数函数的概念；理解对数函数的概念；
教学难点：从实际情研究对数函数及相关复合函数的定义域与值域；
通过具体实例，了解对数函数模型刻画的数量关系，理解对数函数的概念，能通过定义判断一个函数是否为对数函数；
能够应用对数函数解决一些简单问题，能研究一些与对数函数有关的复合函数的定义域、值域.
教学目标
学科素养
数学抽象：能在具体的情境中抽象出对数函数的概念并用其对现实情境做出解释;
数学建模：运用对数函数模型解决简单的实际问题，运用相关概念研究有关复合函数的定义域、值域.
新知引入
真数
幂
指数
对数
底数
问题1：指对数之间如何转化？
在对指数函数进行学习后，我们继续学习一种新的函数——对数函数.
新知引入
问题2：已知放射性物质经过时间x后，物质剩余量的关系式为y = 0.84 x.
若知道了时间x，能求出物质剩余量y；
若知道了物质剩余量y，怎样求出经过时间x呢？
如果初始时刻的物质剩余量看成1个单位.
物质剩余量为0.5，经过时间是log0.840.5；
物质剩余量为0.25，经过时间是log0.840.25；
……
?
y = 0.84 x
????=log0.84????
?
当物质剩余量为y时，经过时间是为????=log0.84????．
?
新知引入
问题3：细胞分裂的次数 x 与细胞个数 y 之间的关系可以用指数函数y = 2x表示， 只要我们知道细胞的分裂次数，就能求出细胞个数.那么若己知细胞个数，如何求分裂的次数？
????=log2????
?
追问：在这个对数式中，从对应关系上来看，x 是 y 的函数吗？
y = 2x
利用函数的定义从指数函数出发进行判断.
新知探究
问题4：从函数的定义出发，我们为什么说y = 2x是函数？
对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值和它对应。
问题5：观察右侧图象，这里的 x 和 y 能否调换位置？
对于任意的????∈0,+∞，在R中都有唯一确定的数 x 满足__________
?
????=2????
?
????=log2????
?
把 y 当作自变量，x 是 y 的函数，这个函数是????=log2????.
?
习惯上，自变量用 x 表示，
所以把函数????=log2????写为????=log2????.
?
新知探究
问题6：函数????=log2????，????=log0.84????，具有什么共同特征？
?
函数表达式都是对数的形式
底数是常数
真数是自变量
常数是可以变化的！
追问：你能用一个更一般的解析式表达这样的函数关系吗？
对数函数： ????=log????????
?
新知探究
函数????=log????????(????>0,????≠1)叫作对数函数(logarithmic function)，
它的定义域是?(0,?+∞)?．
?
问题7：为什么 a > 0 且??????≠1?？
?
问题8：为什么定义域为什么是0,+∞？
?
在对数的概念中已做过说明.
????=log???????????????=????????，根据指数函数性质可得，????????>0，即 x > 0 。
所以，对数函数????=log????????????>0,?????≠1定义域是0,+∞
?
典例精讲
例1：下列给出的函数：
①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log3?1????；
④y＝log3x；⑤y＝logx2 (x>0，且x≠1)；⑥y ＝log?????????.
其中是对数函数的为(　　)
A．③④⑤　　　　　　　 B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③⑥
?
D
①log????????系数是1
②底数a为大于0且不等于1的常数
③对数的真数仅有自变量x
?
典例精讲
变式训练
变式1：若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.
变式2：已知对数函数的图象过点(16,4)，则f (12)＝________.
?
因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，
所以2????－1>02????－1≠1????2－5????＋4?=?0
解得a＝4.

?
判断对数函数的方法
系数：log????????系数是1
底数：底数a为大于0且不等于1的常数
真数：对数的真数仅有自变量x
?
设对数函数为f(x)＝loga x(a>0且a≠1)，
由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，
∴f(x)＝log2x，
∴f (12)?＝log2 12?＝－1.
?
典例精讲
例????：????=log????(3?????2)+4恒过定点_________.
?
(1,4)
?
变式1： ????=2021?2log????(????+102)恒过定点______________________.
?
变式2： ????=????+log????2????+1?????1恒过定点_____________.
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(?101,2021)
?
(?2,????)
?
令3?????2=1得????=1,∴????=0+4=4
?
令????+102=1得????=?101,∴????=2021?2×0=2021
?
令2????+1?????1=1得????=?2,????=????+0=????
?
原理：?????∈{????|????>0且????≠1},log????1=0
?
典例精讲
例3：求下列函数的定义域：
(1)????=log0.24?????；
(2)????=log?????????1?????>0,????≠1.
?
解 （1）当 4 - x > 0 ，即 x < 4 时， log0.24?????有意义；当??????≥4时， log0.24?????没有意义．
因此，函数 ????=log0.24?????的定义域是 ?∞,4．
（2）当?????1>0，即 x > 1 时，log?????????1有意义；当??????≤1?时，log?????????1没有意义．
因此，函数????=log?????????1的定义域是1,+∞
．
?
典例精讲
变式训练
变式1：求下列函数的定义域：
(1)????=lg(????+2)
?
(2)????=2?log3(????+6)
?
通过定点或指对数式转化
∵&????+2>0&lg(????+2)≥0,∴&????>?2&????+2≥1,∴定义域为[?1,+∞).
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∵&????+6>0&2≥log3(????+2),∴&????>?2&9≥????+2,∴定义域为(?2,7].
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典例精讲
变式训练
(3)????=13?????+ln(????+1)
?
(4)????=lg32?????2
?
变式1：求下列函数的定义域：
求对数型函数定义域的方法
(1) 分母不能为0.
(2) 根指数为偶数时，被开方数非负.
(3) 对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
(4) 若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
∵&3?????>0&????+1>0,∴&????<3&????>?1,∴定义域为(?1,3).
?
∵32?????2>0,∴2?????2>0,∴定义域为(?2,2).
?
新知呈现
例4：假设某地初始物价为1，每年以5％的增长率递增，经过y年后的物价为x．
（1）该地的物价经过几年后会翻一番？
解：（１）由题意可知，经过y年后物价x为
????=(1+5%)????，即????=1.05????（?????∈［0,＋∞））．
由对数与指数间的关系，可得
y=????????????1.05????,?????∈［1,＋∞）．
由计算工具可得，当?????＝2时，?????≈14．
所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番．
?
典例精讲
例4：假设某地初始物价为1，每年以5％的增长率递增，经过y年后的物价为x．
（2）利用计算器填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}物价x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年数y
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，
但大约物价每增加１倍所需要的时间在逐渐缩小．
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}0
14
23
28
33
37
40
43
45
47
问题9：如何反映这种变化呢？
画图，探索函数的图象与性质.
反思总结
问题10：本节课你学习了哪些内容？
对数
对数函数的定义
对数型函数的定义域
指数与对数的转化
对数函数
感谢聆听
数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼

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