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6.3.2 对数函数(2)
苏教版2019必修第一册·高一
第六章 幂函数、指数函数和对数函数
学习目标
教学重点：从图象抽象出对数函数的性质，理解指数函数和对数函数互为反函数；
教学难点：从图象抽象出对数函数的性质的过程.
能借助计算器或计算机画出对数函数的图象，探索并了解对数函数的性质；
知道指数函数与对数函数互为反函数；能运用对数函数的性质比较两个对数式值的大小；
能研究与对数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等．
教学目标
学科素养
逻辑推理：建立对数函数性质与图象的知识体系；
直观想象：理解对数函数解析式与图象的关系，用图象解释函数性质；从图象理解反函数；
数学建模：运用对数函数性质与图象解决实际问题.
新知引入
函数????=log????????(????>0,????≠1)叫作对数函数(logarithmic function)，
它的定义域是?(0,?+∞)?．
?
引入1：在上节课6.3.1节的最后一题中，为了让对数函数落实于应用，需要对函数的性质进行探索。
问题1：结合已有经验，我们如何研究函数的性质？
解析式
应用
性质
图象
数形结合
新知引入
活动1：结合已有经验，尝试画出对数函数????=log2????和????=log12????的图象.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
···
1/4
1/2
1
2
4
8
···
????=log2????
···
···
????=log0.5????
···
···
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
···
1/4
1/2
1
2
4
8
···
···
···
···
···
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}-2
-1
0
1
2
3
2
1
0
-1
-2
-3
新知引入
问题2：这两个函数的定义域、值域、单调性、奇偶性是怎样的呢？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
????=log2????
????=log0.5????
定义域
值域
单调性
奇偶性
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
定义域
值域
单调性
奇偶性
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}(0,+∞)
R
单调递增
非奇非偶
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}(0,+∞)
R
单调递减
非奇非偶
问题3：一般地，根据指数函数的经验，应当如何分类讨论对数函数????=log????????的性质？
?
01
?
由对数函数底数的限制,????=1无法取到，故不讨论.
?
新知引入
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
????>1
0图象
性质
定义域：
值域：
图象特点：定点
单调性：
单调性：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
图象
性质
定义域：
值域：
图象特点：定点
单调性：
单调性：
R
(0,+∞)
(1,0)
图象在y轴右侧
增函数
减函数
01, y>0.
00 ; x>1, y<0.
新知探究
问题4：观察图象，函数????=log2????的图象与函数????=log12????的图象有怎样的关系？
?
问题5：一般地，你能得到什么结论？请写下来并尝试证明之.
????=log2????的图象与????=log12????的图象关于 x 轴对称.
?
一般地，函数????=log?????????与????=log1???????? (a>0,a≠1)的图象关于 x 轴对称.
?
证明：令????(????)=log????????，????(????)=log1????????，那么
?
????????=log1????????=ln????ln?????1=ln?????ln????=?log????????=?????????
?
指数底数之间有什么关系？
，证毕.
新知探究
a > 1时，
问题6：在同一张坐标纸上画出对数函数????=log3????与????=log13????的图象，讨论当底数变化时函数图象有什么变化？
?
底数由2逐渐增大的过程中，比较????=log3????与????=log2????的大小.
?
x >1，log2????>log3????；
0< x <1，log2?????
从图象上来看呢？
????=log3????比????=log2????更接近 x 轴.
?
底数大于1时，底数越大，相应的函数图象越靠近 x 轴.
新知探究
再看0 < a < 1的情况，你有什么结论？
底数越小，相应的函数图象越靠近 x 轴.
a > 1 ，a 越大，图象越靠近x轴；
0 < a < 1， a 越小，图象越靠近x轴.
问题6：在同一张坐标纸上画出对数函数????=log3????与????=log13????的图象，讨论当底数变化时函数图象有什么变化？
?
典例精讲
例1：比较对数的大小，你能想到几个方法？
log123，log153
?
法1：利用函数图象及刚才的性质.
法2：换成底数相同，利用单调性.
log123=1log123<1log153=log153
?
法3：作差法.
log123?log153=lg3lg12?lg3lg15=lg3lg15?lg12lg12?lg15<0
?
作差→换底→通分.
典例精讲
变式训练
变式1：比较下列各题中两个值的大小：
log23.4，log28.5；
log23，log43；
log23，log54；
?
(2)利用函数图象即可.
（3）log23>1>log54
?
寻找中间数“1”
函数的图象
函数的单调性
（1）∵????=log2????在0,+∞上单调递增,且3.4<8.5,??∴log23.4?
新知探究
问题7：观察这组图象，这两个图象有什么联系？
对数函数????=log????????与指数函数????=????????互为反函数
?
一般地，设 A，B 分别为函数 y = f(x) 的定义域和值域，如果由函数 y = f(x) 可解得唯一????=φ????也是一个函数（即对任意一个??????∈?????，都有唯一的?????∈?????与之对应），那么就称函数????=φ????是函数 y = f(x) 的反函数（inverse function），记作????=?????1????．
?
x,y互换，定义域与值域互换
图象关于y=x对称
新知探究
问题8：在另一张坐标纸上画出函数 ????=log3????与????=log3(????+2)的图象，讨论这些函数图象有什么关系？
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
···
-1
0
1
2
3
4
···
????=log3????
···
-
-
0
log32
1
log34
···
????=log3(????+2)
···
0
log32
1
log34
log35
log36
···
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
···
-1
0
1
2
3
4
···
···
-
-
0
1
···
···
0
1
···
将函数????=log3????的图象向左平移2个单位长度，就得到函数????=log3(????+2)的图象.
?
追问1：函数????=log????????，????=log????(????+?)的图象之间有什么关系？(a > 0 , a ≠ 1 , h ≠ 0)
?
h>0时，将????=log????????向左平移h个单位得到????=log????(????+?)的图象；
h<0时，将????=log????????向右平移?个单位得到????=log????(????+?)的图象；
?
典例精讲
例2：若 a > 0 且 ?????≠1 ，且????=????????? 是减函数，则 ????????=log????1????+1的图象大致是下图中的______
?
∵????=?????????=(1????)????是减函数,∴0<1????<1,即????>1
?
????(????)=?log????(????+1),????∈(?1,+∞)
?
③
典例精讲
变式训练
变式1：当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
A B C D
解析：∵a>1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数.
C
典例精讲
例3：若判断并证明函数????(????)=log2????+1?????1的奇偶性.
?
解：函数????(????)=log2????+1?????1是奇函数.
?
证明：函数????(????)的定义域是(?∞,?1)∪(1,+∞).
?
∵????(?????)+????(????)=log2?????+1??????1+log2????+1?????1
=log2(?????1????+1?????+1?????1)=log21=0
?
∴函数????(????)=log2????+1?????1是奇函数.
?
先判断定义域
典例精讲
变式训练
变式1：判断并证明函数????(????)=lg1????2+1+????的奇偶性.
?
解：????≥0时,????2+1+????>0显然成立:
且????<0时,∴????2+1>????2=?????,即????2+1+????>0;
∴????(????)的定义域是R.
?
∵????(?????)+????(????)=lg1(?????)2+1?????+lg1????2+1+????
?
=lg(1????2+1??????1????2+1+????)=lg1(????2+1)?????2=lg1=0
?
即?????∈????,????(?????)=?????(????),∴????(????)是奇函数.
?
典例精讲
例4：求函数????=log2(????2?2????+3)的值域.
?
求对数型函数值域的方法
先求内部函数值域，再根据对数函数单调性求外部函数的值域.
解:由????2?2????+3>0得定义域为????.
∵????=????2?2????+3=(?????1)2+2≥2,
∴????=log2????≥log22=1,
∴值域为[1,+∞).
?
典例精讲
变式训练
变式1：求函数????=log2(????2?2?????3)的值域.
?
解:由????=????2?2?????3>0得定义域为(?∞,?1)∪(3,+∞).此时????>0.
?
∴????=log2????(????>0)的值域为[1,+∞).
?
变式2：求函数????=log12(?????2+4)的值域.
?
解:由?????2+4>0得定义域为(?2,2).
∵0?
反思总结
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
????>1
0图象
性质
定义域：
值域：
图象特点：定点
单调性：
单调性：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
图象
性质
定义域：
值域：
图象特点：定点
单调性：
单调性：
R
(0,+∞)
(1,0)
图象在y轴右侧
增函数
减函数
01, y>0.
00 ; x>1, y<0.
反函数
对数型函数单调性
图象平移
对数型函数奇偶性
思想方法
类比
数形结合
类比指数函数的研究方法
研究函数图像和性质
感谢聆听
数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼

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