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第七章 三角函数
7.1.1 任意角
苏教版2019必修第一册·高一
学习目标
教学重点：将有范围的角推广到任意角的过程；
教学难点：角的集合与实数集的一一对应关系，终边相同的角.
认识并理解角的概念推广的必要性.
理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示方法.
理解角的集合与实数集的一一对应关系，会判断终边相同的角.
教学目标
学科素养
逻辑推理：体会任意角的概念，从任意角的定义推理不同的角的概念；
数学抽象：借从实例提取任意角的特点，提炼任意角的定义，并据其抽象终边相同的角、象限角等定义；
新知引入
问题1：初中我们是如何定义一个角的？
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，
这两条射线是角的两条边.
锐角、直角、钝角、平角、周角.
问题2：初中所学的角的范围是什么？
问题3：角的种类有哪些？
新知引入
日出日落，昼夜交替；寒来暑往，四季轮回……生活中有许多“按一定规律周而复始”的现象，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。
P
A
O
思考：如图,⊙上的点以为起点做逆时针方向的旋转.如何利用角刻画点的位置变化呢？
问题探究
问题4：如图,⊙上的点以为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点的位置变化呢？
P
A
O
如图，射线OA绕着端点O从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP并与⊙交于点P，形成∠AOP.射线 ， 分别是角 的始边和终边.
始边
终边
α
借助角α刻画点的位置变化。
问题探究
所以，射线绕端点按逆时针方向旋转一周回到起始位置,在这个过程终可以得到范围内的角.
如果继续旋转,那么所得到的角就超出这个范围.所以,为了继续刻画这样的旋转程度，我们需要先扩大角的范围.
问题探究
问题5：角的范围如何扩大？
体操术语：
“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”
新知呈现
一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角.
角的概念
始边：射线的起始位置（OA）.
终边：射线的终止位置（OB）.
顶点：射线的端点（O）.
（始边）
（终边）
（顶点）
角的表示
角的三要素
新知呈现
正角：
负角：
一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角.
如：α=﹣540 ，α=﹣120 .
一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角.
如：α=60 ，α=425 .
零角：
一条射线没作任何旋转.
(零角的始边与终边重合)
任意角
已知一条射线的起始位置OA：
o
A(B)
[注]①在不引起混淆的情况下，“角 ”或“∠ ”可以简写成“ ”;
②角的表示：∠A，∠B，∠C，…或α，β，θ，…
问题探究
问题6：角有了正负，类比实数的运算，我们可以进行角的运算吗？
1.相等角
旋转方向相同，旋转量相同；就称.
B
A
O
B’
A’
O’
2.角的加法
设,是任意两个角,我们规定,把角的终边再旋转角,这时终边所对应的角是
问题探究
相反角
角的减法
旋转方向不同，旋转量相同的两个角叫做互为相反角；
角的相反角记为.
角的减法转化为角的加法
通过减法得到的角的“±”表示旋转方向：“﹢逆﹣顺”
减去一个角等于加上这个角的相反角.即：
典例精讲
①经过过1小时，时针旋转形成的角为30°.( )
②终边与始边重合的角是零角.( )
③小于90°的角是锐角.( )
例1：判断正误：
顺时针旋转30°，即为﹣30°
始边终边重合的角可为0°, 360°, 720°, -360°等
小于90°的角可为45°,-120°,0°等，锐角是大于0°小于90°的角.
变式1：将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为(　　)
A．120°　B．－120° C．60° D．240°
A
问题探究
问题7：给定一个角，如何根据这个角建立直角坐标系？
y
x
1.角的顶点与坐标原点重合，
2.角的始边与x轴的非负半轴重合.
问题8：顶点和始边固定，如何根据终边对角进行分类？
问题探究
象限角
终边落在第几象限就是第几象限角.
轴线角
如果角的终边落在坐标轴上，则该角不属于任何一个象限.
y
x
x
y
o
始边　
终边

终边
终边
终边



典例精讲
（1）锐角是第几象限的角？
（2）第一象限的角一定是锐角吗？
（3）第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
（4）第三象限角一定是负角吗？
例2：根据象限角的概念回答下列问题：
变式1：下列各角：-50°，405°，210°, -200°，-450°分别是第几象限的角？
－50°
x
y
x
y
210°
－450°
x
y
405°
x
y
o
－200°
x
y
o
问题探究
问题9：将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应。反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
思考1： -32°，328°，-392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？
1
思考2：现有一个角 ，所有与 角终边相同的角，连同 角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
这些角的终边都是 ,
这些角都可以表示成 32°的角与 个( ∈ )周角的和
从几何角度看，
“终边旋转整数周回到原来的位置”而形成“终边相同的角”.
用数量关系表示，
就是“终边相同的角相差的整数倍”.
终边相同的角
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
此条件不能省略
思考：如果角 与角 的终边相同,则 =
°, ∈ .
新知呈现
典例精讲
例3: 在0°～360°范围内，找出与下列角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
（1）580° （2）
解:
（1）与终边相同的角为，
当时，有 ° ，
则与终边相同，是第三象限角.
（2）与终边相同的角为
，当时，有
，
则与终边相同，是第二象限角.
典例精讲
变式1：
写出终边在轴上的角的集合.
解：
所有与角终边相同的角构成集合
在范围内，终边在轴上的角有两个，即，角. 因此，
所有与角终边相同的角构成集合
即终边落在轴非负半轴上的所有角的集合
即终边落在轴非正半轴上的所有角的集合
变式训练
典例精讲
于是，终边在轴上的角的集合
变式训练
变式2：那终边在轴上的角的集合又如何表示呢？
所有与角终边相同的角构成集合
在范围内，终边在轴上的角有两个，即，角. 因此，
所有与角终边相同的角构成集合
即终边落在轴非负半轴上的所有角的集合
即终边落在轴非正半轴上的所有角的集合
典例精讲
变式训练
典例精讲
变式训练
于是，终边在轴上的角的集合
典例精讲
变式训练
变式3：终边在坐标轴上的角的集合又如何表示呢？
可以看出，相邻的两条终边相差的整数倍.
比如，角，它的终边每旋转，都落在坐标轴上.
故终边落在坐标轴上的角的集合可写成
新知呈现
角终边的位置 角的集合表示
在轴的非负半轴上
在轴的非正半轴上
在轴的非负半轴上
在轴的非正半轴上
在轴上
在轴上
在坐标轴上
总结：轴线角的集合表示
问题探究
问题10：已知轴线角的集合的表示方法，那么终边落在某个象限的角的集合又该如何表示？
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
第一象限角：
终边落在轴的正半轴和轴的正半轴间
第二象限角：
终边落在轴的正半轴和轴的负半轴间
第三象限角：
终边落在轴的负半轴和轴的负半轴间
第四象限角：
终边落在轴的负半轴和轴的正半轴间
典例精讲
例题3：已知与240角的终边相同，判断是第几象限角。
解：
由 α = k·360+240（k∈Z），可得
= k·180°+120°( k∈ Z )
若 k 为偶数，设 k =2n，n∈Z，则
= k·360°+120°( k∈ Z )
从而 与120°角的终边相同，是第二象限角；
若 k 为奇数，设 k=2n+1，n∈Z，则
= k·360°+300°( k∈ Z )
从而 与300°角的终边相同，是第四象限角.
因此， 是第二象限角或第四象限角
分类讨论！
典例精讲
变式训练
变式1：已知与240角的终边相同，判断是第几象限角。
解：
由= k·360+240（k∈Z），可得
2= k·720°+480°( k∈ Z )
= (2k+1)·360°+120°( k∈ Z )
从而 2与120°角的终边相同，是第二象限角；
因此， 2是第二象限角或第四象限角
典例精讲
变式训练
变式2：
为第一象限角或第三象限角.
若 是第二象限角，则 /2 是第几象限角？
反思总结
问题11：本节课你学会了哪些内容？
1.角的定义是什么
2.角相关的概念：正角、负角、零角
3.如何进行角的运算？
4.如何表示终边相同的角？
5.象限角，轴线角，半角，倍角该如何表示？
感谢聆听
数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼

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