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第1章空间向量与立体几何章末测试-2025-2026学年高二数学上学期人教版A版2019选择性必修第一册
一、选择题
1．已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是（　　）
A． B．
C． D．
3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
6．在平行六面体中，若直线与的交点为．设，，，则下列向量中与共线的向量是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在平行六面体中，，，则的长为（　　）
A． B．
C． D．
8．已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（　　）
A． B． C．0 D．2
二、多项选择题
9．下列说法正确的是（　　）
A．若空间中的，满足，则三点共线
B．空间中三个向量，若，则共面
C．对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面
D．设是空间的一组基底，若，则不能为空间的一组基底
10．如图，棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，则（　　）
A．平面
B．
C．到平面的距离为
D．直线与所成角的余弦值为
11．下列命题中，正确的是（　　）
A．两条不重合直线的方向向量分别是，则
B．直线的方向向量，平面的法向量，则
C．两个不同的平面的法向量分别是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为
三、填空题
12．如图，正四面体的长为1，，则　 　．
13．如图所示，二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，且，，，，，则的长　 　．
14．在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则　 　．
四、解答题
15．已知直三棱柱中，，分别为和的中点，P为棱上的动点，F为棱上一点，且四点共面.若
（1）证明：平面平面；
（2）设是否存在实数λ，使得平面与平面所成的角的余弦值为若存在，求出实数λ，若不存在，请说明理由.
16．如图，三棱锥中，，．异面直线和所成角的余弦值为，点是线段上的一个动点．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的正弦值为，求．
17．如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.
（1）证明：；
（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图，在直三棱柱中，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点.将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点.
（1）当为的中点时.
①求证：平面平面；
②求直线与平面所成角的正弦值.
（2）若，求二面角的正弦值的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】A,B,C
10．【答案】B,C,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：因为平面平面，所以平面．
因为平面，平面平面，所以．
因为为的中点，故为的中点．在正方形，因为，
故．所以．因为，故，故．
因为，故平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）解：因为三棱柱为直三棱柱，故．因为平面，
所以平面，平面，所以，故．
又因为平面，故以A为原点，分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设则，
．
据题设有，显然，此时．
设为平面的法向量，则．
则，令，从而．
显然，平面的法向量可取．
此时平面与平面所成的角的余弦值为，
故，即，解得，
所以存在，使得平面与平面所成的角的余弦值为.
16．【答案】（1）证明：法一：（几何法）如图，取中点，
由，得，
作，，
则四边形为菱形，且，
连接，，，
则，
所以
∵异面直线与所成角的余弦值为，
∴，
当时，
则，
此时，不能构成，舍去，
则，
所以
∵，，
∴为直角三角形，
故，
∴，
所以，
∵，，平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面．
法二：（基底法）如图，取中点，
由，，
得，，
故二面角的平面角为，
由题意，得，，
设，，，．
则，，，
，，
则
∵，
∴，
∴或（舍去），
∴，此时，平面平面．
（2）解：如图，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
设，，
则，
∴，得，
故.
设平面的法向量，
则
令，得，，
则，
设平面的法向量为，
则
令，则，
所以，
设二面角的平面角为，
则
得或（舍），
所以，
∴，
则.
17．【答案】（1）证明：取中点，连接，
，
平面平面，平面平面平面，
平面，
平面，
，
，
，
则，
又因为平面平面，
平面.
（2）解：连接，设，连接，
平面平面，平面平面，
，易知，
取中点，连接，
则两两互相垂直，
分别以为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
，
，
设平面的一个法向量，
则
所以
令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以，直线与平面所成角的.正弦值为.
18．【答案】（1）证明： 在直三棱柱中，面，因为面，所以，
又因为，，面，所以面，
又因为面，所以，
又因为，所以四边形是正方形，所以，
又因为，面，所以平面；
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
则，，
，，，
设直线与平面所成角为，平面的法向量为，
则，令，则，即平面的法向量为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
19．【答案】（1）①证明见解析；②；①证明：由题可设，易知是边长为4的正方形，且，，
由都在平面内，则平面，平面，
所以，又，都在平面内，则平面，
由平面，则，又，为的中点，则，
由都在平面内，则平面，平面，
所以平面平面.
②解：由平面，平面，则，且
同理可得，则，故，
由，
若到平面的距离为，则，可得，而，
所以直线与平面所成角的正弦值.
（2）法一：解：由，且，则，
所以，，，
所以，
故，故到的距离，
又到平面的距离，则二面角的正弦值，
又，则；
法二：解：由题设，构建如下图示空间直角坐标系，则，
所以，若是平面的一个法向量，
所以，令，则，
而平面的一个法向量为，则，
而，则，故，
所以，故二面角的正弦值范围.
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