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广西钦州市第四中学2025-2026学年上学期高一年级9月份考试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.四答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在签题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结来后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，集合的积集
B．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最多为8个
C．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最少为7个
D．存在4个正实数构成的集合，使其积集
2．设， ，则有（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C． D．
5．下列叙述正确的是（ ）
A．函数的最小值是 B．“0＜m≤4”是“mx2+mx+1≥0”的充要条件
C．若命题p： x∈R，x2﹣x+1≠0，则
6．若实数满足，则的值是（ ）
A． B．2 C．2或 D．或
7．已知集合，，则集合与的关系是 （ ）
A． B． C． D．
8．已知全集，集合，，则图中的阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）
9．当一个非空数集G满足“任意a，b∈G，则a+b，a-b，ab∈G，且b≠0时，∈G”时，我们称G就是一个数域，以下关于数域的说法.其中正确的选项有（ ）
A．0是任何数域的元素 B．若数域G有非零元素，则2 019∈G
C．集合P={x|x=2k，k∈Z}是一个数域 D．任何一个拥有有限个元素数域的元素个数必为奇数
10．已知为正实数，且，则（ ）
A．的最小值为8 B．的最小值为
C．的最大值为10 D．的最小值为
11．已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知正实数满足，则的最大值是 .
13．“”是“”的 条件．
14．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 .
四、解答题（共5小题，共77分）
15．已知函数，，关于的不等式的解集为{或}.
(1)求实数，的值；
(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围；
(3)当时，求关于的不等式的解集.
16．如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C．请用集合U，A，B，C分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ八个部分所表示的集合．

17．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）

18．某地区去年用电量为，电价为0.8元/，今年计划将电价降到0.55～0.75元/．用户心理承受价位是0.40元/．下调电价后，实际价位和用户心理价位仍存在差距，假设新增的用电量与这个差值成反比（比例系数为0.2a），该地区的电力成本价为0.3元/，那么电价定为多少时仍可保证电力部门的收益增长率不低于20%？
19．若存在实数λ∈（0，1）使得x＝λa+（1﹣λ）b，则称x是区间（a，b）（a＜b）的λ一内点.
（1）求证：x∈（a，b）的充要条件是存在λ∈（0，1），使得x是区间（a，b）的λ一内点；
（2）若实数a，b满足：0＜a＜b，求证：存在λ∈（0，1），使得是区间（，）的λ一内点；
（3）给定实数ω∈（0，1），若对于任意区间（a，b）（a＜b），x1是区间的λ1一内点，x2是区间的λ2一内点，且不等式x12≤ωa2+（1﹣ω）b2和不等式x22≤（1﹣ω）a2+ωb2对于任意a，b∈R都恒成立，求证：λ1+λ2＝1.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A D C C A D ABD AD
题号 11
答案 ACD
12． 13．充分不必要 14．
15．(1)，； (2)；
（3）先将代入不等式，将其因式分解为，再根据，解出方程的根，按照根的大小分类讨论得到不等式的解集.
16．图形I表示的集合为；
图形Ⅱ表示的集合为；
图形Ⅲ表示的集合为；
图形Ⅳ表示的集合为；
图形Ⅴ表示的集合为；
图形Ⅵ表示的集合为；
图形Ⅶ表示的集合为；
图形Ⅷ表示的集合为.
17．设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，，
，当且仅当，又，即，时取到等号，
故长为m，宽为m时总造价最低．
18．设下调后的电价为x元，
依题意知，新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为0.2a），
则新增用电量为，即用电量增至，
所以今年电力部门的收益
；
要保证电力部门的收益增长率不低于20%，
则，
由，
整理得，
解得．
答：当电价定到0.60～0.75元/，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
19．证明：（1）①若x是区间（a，b）（a＜b）的λ一内点，则存在实数λ∈（0，1）
使得x＝λa+（1﹣λ）b，则x＝λa+（1﹣λ）b＝（a﹣b）λ+b∈（a，b）；
②若x∈（a，b），取，则x＝λa+（1﹣λ）b，且，
则x是区间（a，b）（a＜b）的λ一内点；
可得x∈（a，b）的充要条件是存在λ∈（0，1），使得x是区间（a，b）的λ一内点；
（2）由，即；
.即，
则，
由（1）可得存在λ∈（0，1），使得是区间的λ一内点；
（3）x1是区间的λ1一内点，可得x1＝λ1a+（1﹣λ1）b，
则（λ1a+（1﹣λ1）b）2≤ωa2+（1﹣ω）b2，
则（ω﹣λ12）a2﹣2（λ1﹣λ12）ab+（2λ1﹣λ12﹣ω）b2≥0恒成立，
可得ω﹣λ12≤0时，上式不恒成立；
可得ω﹣λ12＞0，且，即4（λ1﹣λ12）2﹣4（ω﹣λ12）（2λ1﹣λ12﹣ω）≤0，
化为（λ1﹣ω）2≤0，即有λ1＝ω；
另外，x2是区间的λ2一内点，可得x2＝λ2a+（1﹣λ2）b，
则[λ2a+（1﹣λ2）b]2≤ωb2+（1﹣ω）a2，
则（1﹣ω﹣λ22）a2﹣2（λ2﹣λ22）ab+（2λ2﹣λ22+ω﹣1）b2≥0恒成立，
可得1﹣ω﹣λ22≤0时，上式不恒成立；
可得1﹣ω﹣λ22＞0，且，即4（λ2﹣λ22）2﹣4（1﹣ω﹣λ22）（2λ2﹣λ22+ω﹣1）≤0，
化为（λ2﹣1+ω）2≤0，即有λ2＝1﹣ω，
可得λ1+λ2＝1.

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