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甘肃省天水市麦积区麦积区2026届高三上学期第一次检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，命题，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
4.已知在上是减函数．那么的取值范围( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.已知幂函数是定义域上的奇函数，则( )
A. 或 B. C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.已知一函数，其定义域为，则满足不等式的的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是( )
A. ， B. 所有的正方形都是矩形
C. ， D. 至少有一个实数，使
10.已知，下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论正确的是( )
A. B. 在区间上单调递减
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.是虚数单位，复数 ．
13.已知点在直线上，当时，的最小值为 ．
14.定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求；
若，点在边上，，求．
16.本小题分
林芝第二十一届桃花旅游文化节于年月日晚正式拉开帷幕某研究小组为了了解开幕式文艺演出时林芝市民的观看情况，从全市随机调查了名市民男女各名，统计到全程观看、部分观看和没有观看的人数如下表：
观看情况 全程观看 部分观看 没有观看
男性人数
女性人数
求出表中，的值；
从样本中没有观看的人中随机抽取人进一步了解情况，求恰好男女各人的概率；
根据表中统计的数据，完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，分析全程观看是否与性别有关
单位：人
性别 观看情况 合计
全程观看 非全程观看
男性
女性
合计
附：，．
17.本小题分
四棱锥中，四边形为菱形，，平面平面．

证明：；
若，且与平面成角为，点在棱上，且，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求证：单调递增；
若在上不单调，求的取值范围；
当时，证明：在上的最小值为参考数据：
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，过点，为坐标原点．
求椭圆的标准方程；
过点的直线交曲线于，两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点．
证明：直线过定点；
求面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

15.解：在中，由，得：，由余弦定理得，
即，整理得，由余弦定理得，
，而，
所以．
因为，即，而，则，，
所以，
又，则，显然是锐角三角形，
由，
所以，
所以在中，

16.解：由题意得，解得，
，解得．
由知没有观看的人数为，男女，设男生编号为，，，，女生编号为，，．
从人中抽人，所有可能的结果为
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，
恰好男女各人的结果为，，，，，，，，，，，，共种．
所以从没有观看的人中随机抽取人，恰好男女各人的概率．
完整列联表如下
性别 观看情况 合计
全程观看 非全程观看
男性
女性
合计
零假设为：是否全程观看与性别无关．
根据表中的数据，计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即是否全程观看与性别无关．

17.解：因为四边形为菱形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，故

如图，设，则为、的中点，
由可得，
又因为平面，平面，所以，
因为，、平面，
所以平面，
故可以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系．
且为与平面所成角，
由于四边形为边长为，的菱形，
所以，
则，，，，，
由，，
得，且
设平面的法向量为，
则，，故可取，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为

18.解：当时，，，
令，，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，
则，即恒成立，
故单调递增．
，因为，所以，
若在上单调，则有解，即在恒成立，
即，令，，
所以时，，单调递增，时，，单调递减，
，则时，在上单调，
所以若在上不单调，则．
由知，当时，在单调递增，所以；
当时，由知，在单调递增，在单调递减，如图，

则时，有两个根，
又，，所以不妨取，
当，，即，
同理可得或，，所以时，，单调递增，
时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，
令，，
所以时，，单调递减，又，
所以在上恒成立，即，又，
故此时的最小值为，
综上时，在上的最小值为．

19.解：由题意可得，，，，
解得，
故椭圆的标准方程为；
由题意可知，直线斜率存在且不为，则设，
故，
联立，得，，
设，
则，，
则，，
则，，
则直线的斜率的倒数为，
则直线的方程为
，
则直线恒过定点；
由可得，
令，则，求导得
令，则
对称轴为，，故存在使得，
则得；得；
则在上单调递减，在上单调递增，
因，
则当时，；当时，；
故在上单调递增，在上单调递减，
因此，当时，面积有最大值．

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