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16.1幂的运算
【知识点1】同底数幂的乘法 1
【知识点2】幂的乘方与积的乘方 2
【题型1】积的乘方的实际应用 2
【题型2】同底数幂乘法与新定义型问题 3
【题型3】同底数幂的乘法 4
【题型4】积的乘方 5
【题型5】幂的乘方 5
【题型6】积的乘方与其它幂运算及同类项的综合 6
【题型7】幂的乘方的逆向应用 6
【题型8】幂的乘方与同底数幂乘法及同类项的综合 7
【题型9】利用幂的乘方比较大小 8
【题型10】同底数幂乘法的逆向应用 9
【题型11】积的乘方的逆向应用 9
【知识点1】同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an=a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap=a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x-y）2与（x-y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
1.（2025春 城关区校级期末）下列计算结果等于a5的是（　　）
A．（-a）2（-a）3 B．（-a2）（-a3） C．（-a）2（-a3） D．（-a）（-a）4
2.（2025春 息烽县校级月考）计算x5 x3得（　　）
A．（x x）15 B．（x+x）8 C．x15 D．x8
3.（2025 嵩县模拟）若m,n是正整数，且满足5m+5m+5m+5m+5m=5n×5n×5n×5n×5n，则m与n的关系正确的是（　　）
A．m=n B．m+1=5n C．m+1=n5 D．5m=n5
【知识点2】幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n=amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n=anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
1.（2025 城区校级三模）下列计算正确的是（　　）
A．a4+a5=a9 B．a3 a4=a12
C．（-a2）4=a8 D．（-2a2）3=-6a6
2.（2024秋 费县期末）已知a=255，b=344，c=533，那么a、b、c的大小顺序是（　　）
A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
【题型1】积的乘方的实际应用
【典型例题】已知一个正方形的边长是，则它的面积是 （用科学记数法表示）．
【举一反三1】一个正方体的棱长为，则它的体积是 ．（结果用科学记数法表示）
【举一反三2】一个正方体的棱长是.求：
（1）它的表面积是多少？
（2）它的体积是多少？
【举一反三3】太阳可以近似地看成球体．已知太阳的半径约为6.96×108m，太阳的体积大约是多少？（π取3.14，V＝πr3，其中，V，r分别为球的体积与半径．）
【题型2】同底数幂乘法与新定义型问题
【典型例题】定义关于任意正整数的一种新运算：．例如，规定，则．若规定，则（）
A. B. C. D.
【举一反三1】如果，那么我们规定．例如：因为，所以．记．则和的关系是（ ）
A. B. C. D.无法确定
【举一反三2】对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，那么的结果是（ ）
A.2024 B. C. D.1012
【举一反三3】我们约定a&b=10a×10b，如2&3=102×103=105，那么4&9为(　　)
A.36 B.1013 C.1036 D.1310
【举一反三4】新定义题 同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ．
【举一反三5】我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：，若，则 ．
【举一反三6】规定两个数a，b之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定， ________，________；
(2)若，试说明等式成立．
【举一反三7】如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为42＝16，所以（4，16]＝2．
（1）（﹣2，16]＝　 　；若（3，y]＝27，则y＝　 　；
（2）已知（4，12]＝a，（4，5]＝b，（4，y]＝c，若a+b＝c，求y的值；
【题型3】同底数幂的乘法
【典型例题】下列计算正确的是（　　）
A.102×102＝2×102 B.102×102＝104 C.102+102＝104 D.102+102＝2×104
【举一反三1】下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是（　　）
A.（x﹣y）2（x+y）3 B.（﹣x﹣y）（x+y）2 C.（x+y）2+（x+y）2 D.﹣（x﹣y）2（﹣x﹣y）3
【举一反三2】x x2 _____＝x6，横线上填（　　）
A. x4 B. x3 C. x2 D. x
【举一反三3】若，则n的值为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【举一反三4】若(a+b) (a+b)2 (a+b)n=(a+b)12，则n的值等于 ．
【举一反三5】计算a3×（-a）2＝　 　．
【举一反三6】计算：
（1）108×102；
（2）（﹣x）2 （﹣x）3；
（3）an+2 an+1 an a；
（4）（y﹣1）2 （y﹣1）；
（5）（b+2）3 （b+2）5 （b+2）．
【举一反三7】计算下列各式，并用幂的形式表示结果．
（1）103×105
（2）86×82
（3）（﹣11）4×11
（4）（﹣13）3×（﹣13）7
【题型4】积的乘方
【典型例题】下列运算正确的是（ ）．
A. B. C. D.[2
【举一反三1】计算(ab3)2的结果是(　　)
A.a2b2 B.a2b3 C.a2b6 D.ab6
【举一反三2】计算：（﹣3a3b）2＝（　　）
A.9a6b2 B.6a6b2 C.﹣3a6b2 D.9a5b2
【举一反三3】下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】化简[-a(-a)2]3= ．
【举一反三5】计算：(2ab2)3＝________.
【举一反三6】计算（﹣3ab3）2的结果等于 　 ．
【举一反三7】计算：
（1）（a3b2）4；
（2）﹣（2x2y）4；
（3）（﹣4xy2z3）2；
（4）（m2 n3 y2）2；
（5）（a3 b c2）2.
【题型5】幂的乘方
【典型例题】下列各式，计算结果等于a2k的是（　　）
A.ak+ak B.a2 ak C.（ak）k D.（ak）2
【举一反三1】下列计算不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】若k为正整数，则（k3）2表示的是（　　）
A.2个k3相加 B.3个k2相加 C.2个k3相乘 D.5个k相乘
【举一反三3】计算的结果是（ ）
A.0 B. C. D.
【举一反三4】计算： ．（结果用幂的形式表示）
【举一反三5】计算： ．（结果用幂的形式表示）
【举一反三6】下面的计算是否正确？如有错误，请改正．
（1）( ) ；
（2）( ) ．
【举一反三7】（教材改编）计算：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【题型6】积的乘方与其它幂运算及同类项的综合
【典型例题】下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】若，则 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】若，则 ．
【举一反三4】计算：a3 a3+(-2a3)2+(-a2)3= ．
【举一反三5】（教材改编）计算：
（1）；（2）.
【题型7】幂的乘方的逆向应用
【典型例题】已知(ax ay)5=a20 (a＞0，且a≠1)，那么x、y应满足(　　)
A.x+y=15 B.xy=4 C.x+y=4 D.y=x4
【举一反三1】若，则的值是（ ）
A. B. C. D.-9
【举一反三2】计算(am)3 an的结果是(　　)
A. B.a3m+n C.a3(m+n) D.a3mn
【举一反三3】已知2m=x，43m=y，用含有字母x的式子表示y，则y= ．
【举一反三4】如果am=p，an=q(m，n是正整数)，那么a3m= ． a2n= ，a3m+2n= ．
【举一反三5】若，则的值为 ．
【举一反三6】若(9m+1)2=316，求正整数m的值．
【题型8】幂的乘方与同底数幂乘法及同类项的综合
【典型例题】下列运算结果为a6的是（　　）
A.a2 a3 B.a8﹣a2 C.a3+a3 D.（a2）3
【举一反三1】下列选项中计算结果为x7的是（　　）
A.x3+x4 B.x9﹣x2 C.（﹣x3）4 D.x3x4
【举一反三2】可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】若，则的值是（ ）
A. B. C. D.9
【举一反三4】已知，则
【举一反三5】若，则的值是 ．
【举一反三6】已知（都是正整数），用含的式子表示 ．
【举一反三7】(1)若xm＝10，xn＝－1，xk＝2，求xm+2k+3n的值；
(2)若3x＝4，3y＝6，求92x+y的值．
【题型9】利用幂的乘方比较大小
【典型例题】已知a=255，b=344，c=433，则a、b、c的大小关系为(　　)
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.b＞a＞c
【举一反三1】已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知，则a，b满足的关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：
因为，所以，
请你仿照上面的方法试比较和的大小关系（ ）
A. B. C. D.无法比较
【举一反三4】比较大小 ．
【举一反三5】比较大小： （填“”或“”或“=”）．
【举一反三6】用幂的运算知识，你能比较出3555与4444和5333的大小吗？请给出科学详细的证明过程．
【举一反三7】在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则的大小关系是______（填“”或“”．）
解：，且，
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______；
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法
C．幂的乘方 D．积的乘方
(2)比较的大小；
(3)比较与的大小；
(4)已知．求之间的等量关系．
【题型10】同底数幂乘法的逆向应用
【典型例题】若32×81=3n，n的值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
【举一反三1】已知，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知x+y-2=0，则3x 3y的值是（　　）
A.6 B.9 C. D.
【举一反三3】已知am=8，an＝，那么am+n= ．
【举一反三4】已知2×8x×16＝223，则x的值为　 　．
【举一反三5】计算：
（1）如果an﹣3 a2n+1＝a16，求n的值．
（2）已知3x（xn+5）＝3xn+1+45，求x的值．
（3）已知（﹣x）a+2 x2a （﹣x）3＝x32，a是正整数，求a的值．
【举一反三6】已知，试用含的式子表示．
【题型11】积的乘方的逆向应用
【典型例题】计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】若a与b互为倒数，的结果是（　　）
A. B.a C. D.1
【举一反三2】的计算结果是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】计算的结果是 ．
【举一反三4】计算的结果是 ．
【举一反三5】我们学过积的乘方：（ab）n＝anbn，已知142x﹣5＝2x﹣1 7x﹣1
（1）求x的值；
（2）求（0.25）2019 x2019的值
【举一反三6】上课时王老师给学生出了一道题：
计算：．同学们看了题目后发表不同的看法．小张说：“指数太大计算不了．”小李说：“可以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方解决问题．”
(1)下面是小李尚未完成的解题过程，请你帮他补充完整；
解：
________
(2)请你利用小李的解题方法解答下面问题：
①计算：；
②若，则的值为________________．16.1幂的运算
【知识点1】同底数幂的乘法 1
【知识点2】幂的乘方与积的乘方 2
【题型1】积的乘方的实际应用 3
【题型2】同底数幂乘法与新定义型问题 4
【题型3】同底数幂的乘法 7
【题型4】积的乘方 10
【题型5】幂的乘方 11
【题型6】积的乘方与其它幂运算及同类项的综合 13
【题型7】幂的乘方的逆向应用 15
【题型8】幂的乘方与同底数幂乘法及同类项的综合 16
【题型9】利用幂的乘方比较大小 18
【题型10】同底数幂乘法的逆向应用 20
【题型11】积的乘方的逆向应用 22
【知识点1】同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an=a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap=a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x-y）2与（x-y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
1.（2025春 城关区校级期末）下列计算结果等于a5的是（　　）
A．（-a）2（-a）3 B．（-a2）（-a3） C．（-a）2（-a3） D．（-a）（-a）4
【答案】B
【分析】根据运算法则进行判断即可．
【解答】解：根据幂的运算法则逐项分析判断如下：
（-a）2（-a）3=-a5，故A不符合题意；
（-a2）（-a3）=a5，故B符合题意；
（-a）2（-a3）=-a5，故C不符合题意；
（-a）（-a）4=-a5，故D不符合题意；
故选：B．
2.（2025春 息烽县校级月考）计算x5 x3得（　　）
A．（x x）15 B．（x+x）8 C．x15 D．x8
【答案】D
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
【解答】解：x5 x3=x8，
故选：D．
3.（2025 嵩县模拟）若m,n是正整数，且满足5m+5m+5m+5m+5m=5n×5n×5n×5n×5n，则m与n的关系正确的是（　　）
A．m=n B．m+1=5n C．m+1=n5 D．5m=n5
【答案】B
【分析】根据合并同类项法则计算等式的左边，根据同底数幂的乘法法则计算等式的右边，即可得出m、n之间的关系．
【解答】解：∵5m+5m+5m+5m+5m=5×5m=5m+1，5n×5n×5n×5n×5n=5n+n+n+n+n=55n，
又∵5m+5m+5m+5m+5m=5n×5n×5n×5n×5n，
∴5m+1=55n，
∴m+1=5n,
故选：B．
【知识点2】幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n=amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n=anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
1.（2025 城区校级三模）下列计算正确的是（　　）
A．a4+a5=a9 B．a3 a4=a12
C．（-a2）4=a8 D．（-2a2）3=-6a6
【答案】C
【分析】利用同底数幂乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方及积的乘方法则将各式计算后进行判断即可．
【解答】解：a4与a5不是同类项，无法合并，则A不符合题意；
a3 a4=a7，则B不符合题意；
（-a2）4=a8，则C符合题意；
（-2a2）3=-8a6，则D不符合题意；
故选：C．
2.（2024秋 费县期末）已知a=255，b=344，c=533，那么a、b、c的大小顺序是（　　）
A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
【答案】D
【分析】根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较底数大小即可．
【解答】解：因为a=255（25）11=3211，b=344=（34）11=8111，c=533=（53）11=12511，
∴255＜344＜533，
即a＜b＜c.
故选：D．
【题型1】积的乘方的实际应用
【典型例题】已知一个正方形的边长是，则它的面积是 （用科学记数法表示）．
【答案】
【解析】解：.
【举一反三1】一个正方体的棱长为，则它的体积是 ．（结果用科学记数法表示）
【答案】
【解析】解：正方体的体积是．
【举一反三2】一个正方体的棱长是.求：
（1）它的表面积是多少？
（2）它的体积是多少？
【答案】解：该正方体的表面积=（mm）；
该正方体的体积=（mm3）
【举一反三3】太阳可以近似地看成球体．已知太阳的半径约为6.96×108m，太阳的体积大约是多少？（π取3.14，V＝πr3，其中，V，r分别为球的体积与半径．）
【答案】解：根据题意得，
太阳的体积V＝×π×（6.96×108）3≈1.41×1027（m3），
答：太阳的体积大约是1.41×1027m3．
【题型2】同底数幂乘法与新定义型问题
【典型例题】定义关于任意正整数的一种新运算：．例如，规定，则．若规定，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵
由新运算，可知，
则，
∴．．
【举一反三1】如果，那么我们规定．例如：因为，所以．记．则和的关系是（ ）
A. B. C. D.无法确定
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
又∵，
∴，即．
【举一反三2】对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，那么的结果是（ ）
A.2024 B. C. D.1012
【答案】C
【解析】解：∵，且，

，
∵，
∴.
【举一反三3】我们约定a&b=10a×10b，如2&3=102×103=105，那么4&9为(　　)
A.36 B.1013 C.1036 D.1310
【答案】B
【解析】解：∵a&b=10a×10b，∴4&9=104×109=1013．故选B．
【举一反三4】新定义题 同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
，
∴，
．
【举一反三5】我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：，若，则 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∴．
【举一反三6】规定两个数a，b之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定， ________，________；
(2)若，试说明等式成立．
【答案】解：（1）．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴．
【举一反三7】如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为42＝16，所以（4，16]＝2．
（1）（﹣2，16]＝　 　；若（3，y]＝27，则y＝　 　；
（2）已知（4，12]＝a，（4，5]＝b，（4，y]＝c，若a+b＝c，求y的值；
【答案】解：（1）由题意可得：（﹣2，16]＝4，
∵（3，y]＝27，
∴y＝327；
故答案为：4，327；
（2）∵如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n，
∴由（4，12]＝a，可得4a＝12，
（4，5]＝b，可得4b＝5，
（4，y]＝c，可得4c＝y，
∵a+b＝c，
∴4a+b＝4c，
∵4c＝y，4a 4b＝4a+b＝12×5＝60，
∴y＝60．
【题型3】同底数幂的乘法
【典型例题】下列计算正确的是（　　）
A.102×102＝2×102 B.102×102＝104 C.102+102＝104 D.102+102＝2×104
【答案】B
【解析】解：A、102×102＝104≠2×102，故该项不正确，不符合题意；
B、102×102＝104，故该项正确，符合题意；
C、102+102＝2×102，故该项不正确，不符合题意；
D、102+102＝2×102≠2×104，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是（　　）
A.（x﹣y）2（x+y）3 B.（﹣x﹣y）（x+y）2 C.（x+y）2+（x+y）2 D.﹣（x﹣y）2（﹣x﹣y）3
【答案】B
【解析】解：A、（x﹣y）2与（x+y）3的底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故A不符合题意；
B、（﹣x﹣y）＝﹣（x+y），与（x+y）2的底数一样，能用同底数幂的乘法的法则运算，故B符合题意；
C、（x+y）2+（x+y）2只能用合并同类项的法则运算，故C不符合题意；
D、（﹣x﹣y）3＝﹣（x+y）3，与﹣（x﹣y）2的底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故D不符合题意；
故选：B．
【举一反三2】x x2 _____＝x6，横线上填（　　）
A. x4 B. x3 C. x2 D. x
【答案】B
【解析】解：∵x x2 x3＝x1+2+3＝x6，
∴横线上填x3，
故选：B．
【举一反三3】若，则n的值为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】解：∵,
∴．
【举一反三4】若(a+b) (a+b)2 (a+b)n=(a+b)12，则n的值等于 ．
【答案】9
【解析】解：(a+b) (a+b)2 (a+b)n =(a+b)1+2+n=(a+b)3+n，∴3+n=12，解得n=9．故答案为9．
【举一反三5】计算a3×（-a）2＝　 　．
【答案】a5
【解析】解：原式＝a3+2＝a5．
故答案为：a5．
【举一反三6】计算：
（1）108×102；
（2）（﹣x）2 （﹣x）3；
（3）an+2 an+1 an a；
（4）（y﹣1）2 （y﹣1）；
（5）（b+2）3 （b+2）5 （b+2）．
【答案】解：（1）原式＝108+2＝1010；
（2）原式＝x2 （﹣x3）＝﹣x2+3＝﹣x5；
（3）原式＝an+2+n+1+n+1＝a3n+4；
（4）原式＝（y﹣1）2+1＝（y﹣1）3；
（5）原式＝（b+2）3+5+1＝（b+2）9．
【举一反三7】计算下列各式，并用幂的形式表示结果．
（1）103×105
（2）86×82
（3）（﹣11）4×11
（4）（﹣13）3×（﹣13）7
【答案】解：（1）103×105＝108；
（2）86×82＝88；
（3）（﹣11）4×11＝114×11＝115；
（4）（﹣13）3×（﹣13）7＝（﹣13）10＝1310．
【题型4】积的乘方
【典型例题】下列运算正确的是（ ）．
A. B. C. D.[2
【答案】D
【解析】解：A，，故选项A运算错误，不符合题意；
B，，故选项B运算错误，不符合题意；
C，，故选项C运算错误，不符合题意；
D，[2，故选项D运算正确，符合题意．
【举一反三1】计算(ab3)2的结果是(　　)
A.a2b2 B.a2b3 C.a2b6 D.ab6
【答案】C
【解析】解：
【举一反三2】计算：（﹣3a3b）2＝（　　）
A.9a6b2 B.6a6b2 C.﹣3a6b2 D.9a5b2
【答案】A
【解析】解：（﹣3a3b）2＝9a6b2，
故选：A．
【举一反三3】下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A,，运算错误，不符合题意；
B,，运算正确，符合题意
C,，运算错误，不符合题意；
D,，运算错误，不符合题意.
【举一反三4】化简[-a(-a)2]3= ．
【答案】-a9
【解析】解：原式=(-a)3 (-a)2×3=(-a)3+6=(-a)9=-a9，故答案为-a9．
【举一反三5】计算：(2ab2)3＝________.
【答案】8a3b6
【解析】解：(2ab2)3＝8a3b6.
【举一反三6】计算（﹣3ab3）2的结果等于 　 ．
【答案】9a2b6．
【解析】解：（﹣3ab3）2＝9a2b6，
故答案为：9a2b6．
【举一反三7】计算：
（1）（a3b2）4；
（2）﹣（2x2y）4；
（3）（﹣4xy2z3）2；
（4）（m2 n3 y2）2；
（5）（a3 b c2）2.
【答案】解：（1）原式＝a3×4b2×4＝a12b8；
（2）原式＝﹣16x8y4；
（3）原式＝（﹣4）2x2y4z6＝16x2y4z6；
（4）原式＝m4n6y4；
（5）原式＝.
【题型5】幂的乘方
【典型例题】下列各式，计算结果等于a2k的是（　　）
A.ak+ak B.a2 ak C.（ak）k D.（ak）2
【答案】D
【解析】解：A、ak+ak＝2ak，不符合题意；
B、a2 ak＝a2+k，不符合题意；
C、（ak）k＝，不符合题意；
D、（ak）2＝a2k，符合题意；
故选：D．
【举一反三1】下列计算不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：D.，故不正确，符合题意.
【举一反三2】若k为正整数，则（k3）2表示的是（　　）
A.2个k3相加 B.3个k2相加 C.2个k3相乘 D.5个k相乘
【答案】C
【解析】解：（k3）2表示的是2个k3相乘．
故选：C．
【举一反三3】计算的结果是（ ）
A.0 B. C. D.
【答案】B
【解析】解：
=．
【举一反三4】计算： ．（结果用幂的形式表示）
【答案】
【解析】解：
．
【举一反三5】计算： ．（结果用幂的形式表示）
【答案】
【解析】解： ．
【举一反三6】下面的计算是否正确？如有错误，请改正．
（1）( ) ；
（2）( ) ．
【答案】×；；×；
【解析】解：，故（1）错误；
，故（2）错误．
【举一反三7】（教材改编）计算：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】解：
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
【题型6】积的乘方与其它幂运算及同类项的综合
【典型例题】下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，原选项计算错误，不符合题意；
，原选项计算错误，不符合题意；
，原选项计算错误，不符合题意；
，原选项计算正确，符合题意．
【举一反三1】若，则 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】解：
．
，
，
．
【举一反三2】下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A．，故原计算正确，符合题意；
B．，故原计算不正确，不符合题意；
C．与不是同类项，不能合并，故原计算不正确，不符合题意；
D．，故原计算不正确，不符合题意．
【举一反三3】若，则 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴
∵，
∴原式
．
【举一反三4】计算：a3 a3+(-2a3)2+(-a2)3= ．
【答案】4a6
【解析】解：原式=a6+4a6-a6=4a6，故答案为4a6．
【举一反三5】（教材改编）计算：
（1）；（2）.
【答案】解：
（1）
（2）
=
=.
【题型7】幂的乘方的逆向应用
【典型例题】已知(ax ay)5=a20 (a＞0，且a≠1)，那么x、y应满足(　　)
A.x+y=15 B.xy=4 C.x+y=4 D.y=x4
【答案】C
【解析】解：∵(ax ay)5=a20 (a＞0，且a≠1)，∴(ax+y)5=a20，∴x+y=4；故选C．
【举一反三1】若，则的值是（ ）
A. B. C. D.-9
【答案】C
【解析】解： ，
．
【举一反三2】计算(am)3 an的结果是(　　)
A. B.a3m+n C.a3(m+n) D.a3mn
【答案】B
【解析】解：(am)3 an=a3m an=a3m+n．故选B．
【举一反三3】已知2m=x，43m=y，用含有字母x的式子表示y，则y= ．
【答案】x6
【解析】解：∵2m=x，∴43m =(22)3m=(2m)6=x6．故答案是x6．
【举一反三4】如果am=p，an=q(m，n是正整数)，那么a3m= ． a2n= ，a3m+2n= ．
【答案】p3 q2 p3q2
【解析】解：a3m=(am)3=p3，a2n=(an)2=q2，a3m+2n=a3m a2n=p3q2．故填p3；q2；p3q2．
【举一反三5】若，则的值为 ．
【答案】
【解析】解：．
【举一反三6】若(9m+1)2=316，求正整数m的值．
【答案】解：∵(9m+1)2=92m+2=32(2m+2)=316，
∴2(2m+2)=16，
解得m=3．
【题型8】幂的乘方与同底数幂乘法及同类项的综合
【典型例题】下列运算结果为a6的是（　　）
A.a2 a3 B.a8﹣a2 C.a3+a3 D.（a2）3
【答案】D
【解析】解：A．a2 a3＝a5，不合题意；
B．a8﹣a2，无法计算，不合题意；
C．a3+a3＝2a3，不符合题意；
D．（a2）3＝a6，符合题意．
故选：D．
【举一反三1】下列选项中计算结果为x7的是（　　）
A.x3+x4 B.x9﹣x2 C.（﹣x3）4 D.x3x4
【答案】D
【解析】解：A、x3与x4不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
B、x9与x2不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
C、（﹣x3）4＝x12，故本选项错误，不符合题意；
D、x3 x4＝x7，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【举一反三2】可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A，，故此选项不符合题意；
B，，故此选项不符合题意；
C，，故此选项不符合题意；
D，，故此选项符合题意．
【举一反三3】若，则的值是（ ）
A. B. C. D.9
【答案】D
【解析】解： ,
．
【举一反三4】已知，则
【答案】675
【解析】解：∵，
∴，
∴.
【举一反三5】若，则的值是 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【举一反三6】已知（都是正整数），用含的式子表示 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴ ．
【举一反三7】(1)若xm＝10，xn＝－1，xk＝2，求xm+2k+3n的值；
(2)若3x＝4，3y＝6，求92x+y的值．
【答案】解： (1) xm+2k+3n
=xm·x2k·x3n
=10×4×（-1）
=－40
(2) 92x+y
=32（2x+y）
=34x+2y
=34x×32y
=44×62
=9216.
【题型9】利用幂的乘方比较大小
【典型例题】已知a=255，b=344，c=433，则a、b、c的大小关系为(　　)
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.b＞a＞c
【答案】C
【解析】解：∵a=(25)11=3211，b=(34)11=8111，c=(43)11=6411，∴b＞c＞a．故选C．
【举一反三1】已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵，
∵，
∴，
∴．
【举一反三2】已知，则a，b满足的关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，即：，
∴，
∴．
【举一反三3】在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：
因为，所以，
请你仿照上面的方法试比较和的大小关系（ ）
A. B. C. D.无法比较
【答案】A
【解析】解：，
，
∵，
∴，故A正确．
【举一反三4】比较大小 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∴．
【举一反三5】比较大小： （填“”或“”或“=”）．
【答案】
【解析】解：，
，
．
【举一反三6】用幂的运算知识，你能比较出3555与4444和5333的大小吗？请给出科学详细的证明过程．
【答案】解：因为它们的指数为555，444，333，
具有公因式111，
所以3555=(35)111=243111，4444=(44)111=256111，5333=(53)111=125111，
而256111＞243111＞125111，
所以4444＞3555＞5333
【举一反三7】在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则的大小关系是______（填“”或“”．）
解：，且，
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______；
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法
C．幂的乘方 D．积的乘方
(2)比较的大小；
(3)比较与的大小；
(4)已知．求之间的等量关系．
【答案】解：（1）由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则.
（2）∵，且，
∴.
（3）∵，且，
∴．
（4）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型10】同底数幂乘法的逆向应用
【典型例题】若32×81=3n，n的值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C
【解析】解：∵32×81=3n，∴32×34=3n，∴36=3n，故n的值为6．故选C．
【举一反三1】已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵，
∴．
【举一反三2】已知x+y-2=0，则3x 3y的值是（　　）
A.6 B.9 C. D.
【答案】B
【解析】解：∵x+y-2=0，
∴x+y=2，
∴3x 3y=3x+y=32=9．
故选：B．
【举一反三3】已知am=8，an＝，那么am+n= ．
【答案】4
【解析】解：am+n=am×an =8×=4．故答案为4．
【举一反三4】已知2×8x×16＝223，则x的值为　 　．
【答案】6
【解析】解：由题意，得
2 23x 24＝25+3x＝223，
5+3x＝23，
解得x＝6，
故答案为：6．
【举一反三5】计算：
（1）如果an﹣3 a2n+1＝a16，求n的值．
（2）已知3x（xn+5）＝3xn+1+45，求x的值．
（3）已知（﹣x）a+2 x2a （﹣x）3＝x32，a是正整数，求a的值．
【答案】解：（1）∵an﹣3 a2n+1=an﹣3+2n+1
∴n﹣3+2n+1＝16，
解得，n＝6．
（2）3x1+n+15x＝3xn+1+45，
∴15x＝45，
∴x＝3．
（3）∵（﹣x）a+2 x2a （﹣x）3＝x32，a是正整数，
∴a+2+2a+3＝32，
解得a＝9．
【举一反三6】已知，试用含的式子表示．
【答案】解：
.
【题型11】积的乘方的逆向应用
【典型例题】计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：
．
【举一反三1】若a与b互为倒数，的结果是（　　）
A. B.a C. D.1
【答案】C
【解析】解：a与b互为倒数，
，
．
【举一反三2】的计算结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：
．
【举一反三3】计算的结果是 ．
【答案】
【解析】解：
．
【举一反三4】计算的结果是 ．
【答案】
【解析】解：
．
【举一反三5】我们学过积的乘方：（ab）n＝anbn，已知142x﹣5＝2x﹣1 7x﹣1
（1）求x的值；
（2）求（0.25）2019 x2019的值
【答案】解：（1）2x﹣1 7x﹣1＝（2×7）x﹣1＝14x﹣1，
则2x﹣5＝x﹣1，
解得，x＝4；
（2）（0.25）2019 x2019＝（0.25×4）2019＝1．
【举一反三6】上课时王老师给学生出了一道题：
计算：．同学们看了题目后发表不同的看法．小张说：“指数太大计算不了．”小李说：“可以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方解决问题．”
(1)下面是小李尚未完成的解题过程，请你帮他补充完整；
解：
________
(2)请你利用小李的解题方法解答下面问题：
①计算：；
②若，则的值为________________．
【答案】解：（1）
．
（2）①
.
②，
∴，
∴，
∴，
解得．

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