资源简介

15.3等腰三角形
【知识点1】等边三角形的判定 1
【知识点2】等边三角形的判定与性质 2
【知识点3】等腰三角形的判定 2
【知识点4】直角三角形的性质 2
【知识点5】含30度角的直角三角形 3
【知识点6】直角三角形斜边上的中线 3
【知识点7】等腰三角形的判定与性质 3
【知识点8】等边三角形的性质 3
【知识点9】等腰三角形的性质 4
【题型1】用定义判定等腰三角形 4
【题型2】等边对等角 8
【题型3】尺规作图中的等角对等边 12
【题型4】等边三角形的性质和判定 17
【题型5】等边三角形的判定 21
【题型6】用定义判定格点中的等腰三角形 23
【题型7】等腰三角形的性质与尺规作图 27
【题型8】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数 30
【题型9】用等角对等边求边长、周长或面积 34
【题型10】等角对等边 38
【题型11】等腰三角形的概念 41
【题型12】等腰直角三角形的性质与判定 45
【题型13】等腰三角形性质与判定 50
【题型14】两腰相等 56
【题型15】等腰三角形性质与折叠 58
【题型16】含30°角的直角三角形的性质 61
【题型17】等腰三角形性质的实际应用 65
【题型18】等边三角形的性质 69
【题型19】三线合一 74
【知识点1】等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
【知识点2】等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
【知识点3】等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
【知识点4】直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
【知识点5】含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
【知识点6】直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
【知识点7】等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
【知识点8】等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
【知识点9】等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
【题型1】用定义判定等腰三角形
【典型例题】有3cm，3cm，6cm，6cm，12cm，12cm的六条线段，任选其中的三条线段组成一个等腰三角形，则最多能组成等腰三角形的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】解：由题意可得，3cm作腰，6cm作底或12cm作底，则三边分别为3cm，3cm，6cm，不能构成三角形，3cm，3cm，12cm，不能构成三角形；6cm作腰，3cm作底或12cm作底，则三边分别为6cm，6cm，3cm，能构成三角形，6cm，6cm，12cm，不能构成三角形；12cm作腰，3cm或6cm作底，则三边分别为12cm，12cm，3cm，能构成三角形，12cm，12cm，6cm，能构成三角形，故最多能组成3个等腰三角形，故选：C．
【举一反三1】下列各组线段中，能构成等腰三角形的是（　　）
A.1，1，2 B.2，2，4 C.3，3，5 D.3，4，5
【答案】C
【解析】解：对于选项A，
∵1+1＝2，
∴长度为1，1，2的三条线段不能构成三角形，
故选项A不符合题意；
对于选项B，
∵2+2＝4，
∴长度为2，2，4的三条线段不能构成三角形，
故选项B不符合题意；
对于选项C，
∵3+3＞5，
∴长度为3，3，5的三条线段能构成等腰三角形，
故选项C符合题意；
对于选项D，
∵3+4＞5，3≠4≠5，
∴长度为3，4，5的三条线段不能构成等腰三角形，
故选项D不符合题意．
故选：C．
【举一反三2】已知下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（　　）
A.1，2，1 B.2，2，1 C.1，3，1 D.2，2，5
【答案】B
【解析】解：要构成等腰三角形，要满足：①有两边相等，②满足三角形的三边关系；
选B.
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝21cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（　　）
A.2.5秒 B.3秒 C.3.5秒 D.4.2秒
【答案】D
【解析】解：设运动的时间为x cm，
在△ABC中，AB＝21cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x（cm），AQ＝2x（cm），
即21﹣3x＝2x，
解得x＝4.2（cm）．
故选：D．
【举一反三4】如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 　三角形．
【答案】等腰
【解析】解：∵∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴BD=CD，∴AD垂直平分BC ∴AB=AC，即这个三角形是等腰三角形.故答案为：等腰．
【举一反三5】如图，在△ABC中，已知边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线交于点P，连接PA、PB、PC，则图中有 　 　个等腰三角形．
【答案】3．
【解析】解：∵边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线交于点P，
∴AP＝PB，PB＝PC，
∴AP＝PC，
∴△ABP，△BPC，△APC都是等腰三角形；
故答案为：3．
【举一反三6】如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　 　秒．
【答案】4
【解析】解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
【举一反三7】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点M、N分别在BC所在的直线上，且AB=AC，BM=CN，试判断△AMN的形状，并说明理由．
【答案】解：△AMN是等腰三角形.
理由：∵AB=AC，AD⊥BC∴BD=CD
又BM=CN∴MD=ND即AD垂直平分MN
∴AM=AN
∴△AMN是等腰三角形.
【举一反三8】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，延长BC至B′，使C B′=BC，连接A B′．
求证：△ABB′是等腰三角形．
【答案】证明：∵∠ACB=90°，C B′=BC
∴AC垂直平分BB′
∴AB=AB′
∴△ABB′是等腰三角形．
【题型2】等边对等角
【典型例题】如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（　　）
A.35° B.40° C.45° D.50°
【答案】A
【解析】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，∴∠B=∠ADB=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，∵AD=CD，∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°，故选：A．
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）
A.15° B.17.5° C.20° D.22.5°
【答案】A
【解析】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=∠A=12×30°=15°．故选A．
【举一反三2】如图，已知DC∥EF，点A在DC上，BA的延长线交EF于点G，AB=AC，
∠AGE=130°，则∠B的度数是（　　）
A.50° B.65° C.75° D.55°
【答案】B
【解析】解：∵DC∥EF，∠AGE=130°，∴∠DAB=130°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵∠DAB=∠B+∠C，∴∠B=65°．故选B．
【举一反三3】如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC为（　　）
A.114° B.123° C.132° D.147°
【答案】B
【解析】解：∵BD=CD=CE，∴∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，∵∠ADC+∠ACD=114°，∴∠BDC+∠ECD=360°﹣114°=246°，∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣246°=114°，∴∠DCB+∠CDE=57°，∴∠DFC=180°﹣57°=123°，故选B．
【举一反三4】已知M，N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间的关系是 ．
【答案】∠MAN=∠MBN
【解析】解：先根据垂直平分线的性质得到MA=MB，然后再根据“等边对等角”得到∠MAO=∠MBO，结论可证.如图1，∵MN垂直平分AB，∴MA=MB，∴∠MAO=∠MBO，同理，∠NAO=∠NBO，∴∠MAO+∠NAO=∠MBO+∠NBO，即∠MAN=∠MBN．
如图2，同上可知，∠MAO-∠NAO=∠MBO-∠NBO，即∠MAN=∠MBN．
【举一反三5】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是 ．
【答案】50°或80°
【解析】解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°=80°，则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．
【举一反三6】等腰三角形的一个外角是60°，则其底角是 .
【答案】30°
【解析】解：当60°的外角在底角处时，则底角=180°﹣60°=120°，因此两底角和=240°＞180°，故此种情况不成立．因此只有一种情况：即60°的外角在顶角处．则底角=60°÷2=30°.
【举一反三7】如图所示，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，求∠C的度数．
【答案】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠FAC=∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C=180°，
解得∠C=24°．
【举一反三8】在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．
（1）如图，当∠BAC=78°时，求∠PAQ的度数；
（2）当∠PAQ=40°时，求∠BAC的度数．
【答案】解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∵∠BAC=78°，
∴∠B+∠C=180°-78°=102°，
∵AP=BP，AQ=CQ，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∴∠PAQ=∠BAP+∠CAQ-∠BAC=∠B+∠C-∠BAC=102°-78°=24°；
（2）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C，
当P点在Q点右侧时，
∵∠BAP+∠CAQ=∠BAC+∠PAQ，∠PAQ=40°，
∴∠B+∠C=∠BAC+40°，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=70°．
当P点在Q点左侧时，
∵∠BAP+∠CAQ+∠PAQ=∠BAC，∠PAQ=40°，
∴∠B+∠C=∠BAC-40°，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=110°．
综上∠BAC=70°或110°．
【题型3】尺规作图中的等角对等边
【典型例题】已知△ABC的三条边长分别为3，5，7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A.5条 B.4条 C.3条 D.2条
【答案】B
【解析】解：如图所示，当AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG，都能得到符合题意的等腰三角形．故选B．
【举一反三1】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（　　）
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【答案】B
【解析】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP；第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB=PB；第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PB；第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PA；第5个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PB；第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA=∠PAB；∴符合条件的点P有6个点．故选B．
【举一反三2】如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】解：如图：①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；②OA为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个．综上所述，符合条件的点P的个数共4个．故选C．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　 　个．
【答案】6
【解析】解：如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC于点P2；②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB=AP）；③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）．故符合条件的点有6个．故答案为6．
【举一反三4】已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C．②以D为圆心，长为半径画，与交于点E，连接并延长，使的延长线交于点P，连接，则的度数为 ．
【答案】
【解析】解：由作法得，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【举一反三5】如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则 ．
【答案】110°．
【解析】解：根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°，
∵∠BCM=∠MAN+∠ABC，
∴∠BCM=110°．
故答案为：110°
【举一反三6】证明与作图：

(1)已知：如图1，，，垂足分别为M，N，与相交于点P．若，求证：．
(2)尺规作图：如图2，已知：线段a，b，
求作：等腰三角形，使底边上的高为a，腰长为b．（提示：作图要保留作图痕迹，且要用2B铅笔，不用写作法）．
【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
（2）等腰三角形如下图所示：

【举一反三7】尺规作图：已知线段a，求作等腰直角三角形，使其斜边等于线段a．（不写作法，保留作图痕迹）．并加以证明.
【答案】解：如图：作线段AB=a，再作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，以点E为圆心EA为半径画弧交MN于点C，连接AC、BC，△ABC即为所求．
证明：∵MN垂直平分AB，
∴AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵EA=EC=EB=AB，
∴∠A=∠ACE=∠BCE=∠B，
又∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°，
∵AC=BC
∴△ABC是等腰直角三角形，且斜边等于线段a．
【题型4】等边三角形的性质和判定
【典型例题】如图，点D是BC的中点，点E是AC的中点，点F是AB的中点．如果AB=BC=AC，那么与BD（BD除外）相等的线段共有（　　）
A.6条 B.5条 C.4条 D.3条
【答案】B
【解析】解：∵AB=BC=AC，且点D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，∴AF=BF=AE=EC=CD=BD，∴与BD（BD除外）相等的线段共有5条，故选B．
【举一反三1】如图，已知：B是线段AD上的一点，△ABC、△BDE均为等边三角形，AE交BC于P，CD交BE于Q．则下列结论成立的有（ ）
（1）AE=CD；（2）BP=BQ；（3）PQ∥AD；（4）CQ=CA；（5）EP=QD．
A.5个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】解：∵△ABC、△BDE均为等边三角形，∴AB=AC=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60°，∴180°﹣∠EBD=180°﹣∠ABC，即∠ABE=∠CBD，在△ABE与△CBD中，AB=CB，∠ABE=∠CBD，BE=BD∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE=CD，（1）正确；∴∠BAP=∠BCQ，∵∠ABC=∠EBD=60°，∴∠CBQ=180°﹣60°×2=60°，∴∠ABC=∠CBQ=60°，在△ABP与△CBQ中，∠BAP=∠BCQ，AB=CB，∠ABC=∠CBQ∴△ABP≌△CBQ（ASA），∴BP=BQ，（2）正确；CQ=AP≠CA，（4）不正确；∵∠CBQ=60°，BP=BQ，∴△PBQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°=∠ABC，∴PQ∥AD，（3）正确；∵AE=CD，AP=CQ，∴EP=QD，（5）正确；正确的结论有4个．故选：D．
【举一反三2】如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④△CGF是等边三角形．其中正确结论的个数（ ）．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE=BD，（①正确）∠CBD=∠CAE，∵∠BCA=∠ACG=60°，AC=BC，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴AG=BF，（②正确）同理：△DFC≌△EGC（ASA），∴CF=CG，∴△CFG是等边三角形，∴CF=CG∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG∥BE，（③④正确）所以结论①②③④正确，故选D．
【举一反三3】如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.非等腰三角形
【答案】C
【解析】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°．∴∠BCE=∠ACD．∴△BCE≌△ACD．∴∠CBE=∠CAD，BE=AD．又点P与点M分别是线段BE和AD的中点，∴BP=AM．∴△BCP≌△ACM．∴PC=MC，∠BCP=∠ACM．∴∠PCM=∠ACB=60°．∴△CPM是等边三角形．故选：C．
【举一反三4】如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为　 　cm．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：由题意得，△ABC为等边三角形，BC＝5cm，BB'＝1cm，
∴B'C＝BC﹣BB'＝5﹣1＝4cm，且阴影部分为等边三角形，
∴阴影部分的周长为3×4＝12cm，
故答案为12．
【举一反三5】如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于点E，则△ADE是________三角形．
【答案】等边
【举一反三6】在同一平面内，将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（∠C＝60°，∠F＝45°），其中直角顶点D是BC的中点，点A在DE上，则∠CGF＝　 　°．
【答案】15
【解析】解：∵∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝60°，
∴∠EAG＝120°，
∴∠AGE＝180°﹣120°﹣45°＝15°，
∴∠CGF＝∠QGE＝15°，
故答案为：15．
【举一反三7】如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，且DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE为等边三角形；
（2）求证：E为AB的中点．
【答案】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC．
∵BD平分∠ABC，
∴．
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD．
∴，
即E为AB的中点．
【题型5】等边三角形的判定
【典型例题】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，则这个三角形一定是（　　）
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
【答案】A
【解析】解：∵一个三角形有两条边相等，
∴这个三角形是等腰三角形，
又∵这个三角形有一个内角为60°，
∴这个三角形一定为等边三角形．
故选：A．
【举一反三1】以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（　　）
A.2，2，3． B.2，3，3 C.2，4，5 D.4，4，4
【答案】D
【解析】解：A、2，2，3是等腰三角形，不是等边三角形，不符合题意；
B、2，3，3是等三角形，不符合题意；
C、2，4，5是直角三角形，不是等边三角形，不符合题意；
D、4，4，4是等腰三角形，是等边三角形，符合题意；
故选：D．
【举一反三2】已知△ABC的三边a，b，c满足b（a﹣b）+c（b﹣a）＝0，则△ABC是（　　）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【答案】B
【解析】解：∵b（a﹣b）+c（b﹣a）＝0，
∴ab﹣b2+cb﹣ac＝0，
∴（a﹣b）（b﹣c）＝0，
∴a＝b或b＝c，
∴△ABC是等腰三角形，
故选：B．
【举一反三3】如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为　 　．
【答案】等边三角形．
【解析】解：∵以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，
∴OA＝OC，
∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，
∴AC＝AO，
∴OC＝AC＝OA，
∴△AOC的形状是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
【举一反三4】如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出___________个．
【答案】2
【解析】解：可连接AB，分别以A、B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧在AB的上下方各有一个交点，因此最多可作2个位置不同的等边三角形．解：最多可作2个位置不同的等边三角形，如图．
【举一反三5】在△ABC中，∠A=60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是　 　．
【答案】此题答案不唯一，如AB=AC或AB=BC或AC=BC
【解析】解：∵在△ABC中，∠A=60°，∴要使是等边三角形，则需要添加一条件是：AB=AC或AB=BC或AC=BC．故答案为：此题答案不唯一，如AB=AC或AB=BC或AC=BC．
【题型6】用定义判定格点中的等腰三角形
【典型例题】如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：
所以符合条件的点C的个数为3个，
故选：C．
【举一反三1】在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点有几个（　　）
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】C
【解析】解：如图，
①若BA=BC，则符合要求的有：C1，C2共2个点；
②若AB=AC，则符合要求的有：C3，C4共2个点；
③若CA=CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点．
∴这样的C点有10个．故选：C．
【举一反三2】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，
若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】解：如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．因为S△ABC=1.5，所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．故选B．
【举一反三3】如图所示，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A、B为两格点，请在图中再寻找另一格点C，使△ABC成为等腰三角形．则满足条件的C点的个数为（　　）
A.10个 B.8个 C.6个 D.4个
【答案】B
【解析】解：如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是4+4=8．故选B．
【举一反三4】如图，A，B为4×4方格纸中格点上的两点，若以AB为边，在方格中取一点C（C在格点上），使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（　　）
A.9 B.8 C.7 D.6
【答案】B
【解析】解：如图所示，
故选：B．
【举一反三5】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，
若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】解：如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．因为S△ABC=1.5，所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．故选B．
【题型7】等腰三角形的性质与尺规作图
【典型例题】如图，∠AOB=8°，点P在OB上.以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不重合），连接P1P2；再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2P3；…按照这样的方法一直画下去，得到点Pn，若之后就不能再画出符合要求的点Pn+1，则n等于（ ）
A.13 B.12 C.11 D.10
【答案】C
【解析】解：由题意可知：PO=P1P，P1P=P2P1，…，
则∠POP1=∠OP1P，∠P1PP2=∠P1P2P，…，
∵∠BOA=8°，
∴∠PP1O=8°，
∴∠P1PB=16°，∠P2P1A=24°，∠P3P2B=32°，∠P4P3A=40°，…，
∴8°n＜90°，
解得n＜11．
由于n为整数，故n=11．
故选：C．
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=32°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（　　）
A.42° B.45° C.40° D.35°
【答案】A
【解析】解：∵AB=AC，∠A=32°，
∴∠ABC=∠ACB=74°，
又∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=74°，
∴∠DBC=32°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=74°-32°=42°，
故选：A．
【举一反三2】如图所示，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接.若，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵∠B=40°，∠C=36°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=104°
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠ADB=（180°-∠B）÷2=70°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°.
故选D．
【举一反三3】如图，∠AOB=8°，点P在OB上.以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不重合），连接P1P2；再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2P3；…按照这样的方法一直画下去，得到点Pn，若之后就不能再画出符合要求的点Pn+1，则n等于（ ）
A.13 B.12 C.11 D.10
【答案】C
【解析】解：由题意可知：PO=P1P，P1P=P2P1，…，
则∠POP1=∠OP1P，∠P1PP2=∠P1P2P，…，
∵∠BOA=8°，
∴∠PP1O=8°，
∴∠P1PB=16°，∠P2P1A=24°，∠P3P2B=32°，∠P4P3A=40°，…，
∴8°n＜90°，
解得n＜11．
由于n为整数，故n=11．
故选：C．
【举一反三4】如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠C＝20°，则∠EOB的度数是（ ）
A.40° B.50° C.60° D.80°
【答案】C
【解析】解：∵CD＝OD＝OE，
∴∠C＝∠DOC＝20°，
∴∠EDO＝∠E＝40°，
∴∠EOB＝∠C+∠E＝20°+40°＝60°．
故选：C．
【举一反三5】尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.
【答案】已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D，E两点；
（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F；
（3）作直线CF．
则直线CF就是所求作的垂线．
这样作图的依据是：等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线．
【举一反三6】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
【答案】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠BAC＝40°，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
由作图可知，AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠EAD）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°，
即∠BDE的度数为20°．
【题型8】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数
【典型例题】如图，直角坐标系中，点A（﹣2，2）、B（0，1）点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】解：如图，点A（﹣2，2）、B（0，1），①以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（﹣1，0），P2（﹣3，0），此时（AP=AB）；②以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（﹣2，0），（2，0）不能组成△ABP，故舍去，此时（BP=AB）；③AB的垂直平分线交x轴一点P4（PA=PB），此时（AP=BP）；∴符合条件的点有4个．故选D．
【举一反三1】在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】解：如图，∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外），∴以OA为腰的等腰三角形有3个；作OA的垂直平分线，交x轴于一点，∴以OA为底的等腰三角形有1个，综上所述，符合条件的点P共有4个，故选：D．
【举一反三2】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），在y轴上确定点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】B
【解析】解：因为△AOP为等腰三角形，所以可分成三类讨论：①AO=AP（有一个） 此时只要以A为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是P； ②AO=OP（有两个） 此时只要以O为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择（AO=OP=R） ③AP=OP（一个） 作AO的中垂线，与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择．（利用中垂线性质） 综上所述，共有4个．故选B.
【举一反三3】如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标可能有（　　）个．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】解：点P的位置如图所示共有4种情况，所以点P的坐标可能有4个．故选D．
【举一反三4】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有（　　）个．
A.4 B.5个 C.7个 D.8个
【答案】A
【解析】解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．故选A．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个．
A.5 B.6 C.8 D.9
【答案】C
【解析】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个综上所述，满足条件的点P有8个．故选C．
【题型9】用等角对等边求边长、周长或面积
【典型例题】如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG＝2，ED＝5，则BE+DC的值为（　　）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】C
【解析】解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵FG＝2，ED＝5，
∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG＝7，
故选：C．
【举一反三1】如图，E为AC上一点，连接BE，CD平分∠ACB交BE于点D，且BE⊥CD，∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为（　　）
A.1.2 B.1.5 C.2 D.3
【答案】C
【解析】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴∠BCD=∠ECD，∠BDC=∠EDC=90°
在△BCD和△ECD中
∴△BCD≌△ECD（AAS）
∴CE＝BC＝6，BD＝DE，
∴AE＝AC﹣CE＝10﹣6＝4，
∵∠A＝∠ABE，
∴BE＝AE＝4，
∴，
故选：C．
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于点E，F，则△AEF的周长是(　　)
A.12 B.13 C.14 D.18
【答案】B
【解析】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC
∴∠EBD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EBD
∴ED＝EB
同理DF=CF
∵AB=AE+BE，AC=AF+CF
∴AB=AE+DE，AC=AF+DF
△AEF的周长=AE+DE+DF+AF=AB+AC=5+8=13
故选B.
【举一反三3】如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于(　　)
A.3 cm B.4 cm C.1.5 cm D.2 cm
【答案】B
【解析】解：∵OC平分∠A0B，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CD∥OB
∴∠BOC＝∠C，
∴∠AOC＝∠C
∴CD＝OD=4(cm)
故选B.
【举一反三4】如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交BAB于D，交AC于F，若AB＝5，AC＝4，则△ADF周长为 　 　．
【答案】9．
【解析】解：∵DF∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，∠FEC＝∠ECB，
∵BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，∠FCE＝∠ECB，
∴∠DBE＝∠DEB，∠FEC＝∠FCE，
∴BD＝DE，EF＝FC，
∴△ADF周长＝AD+DF+AF＝AD+AF+DE+EF＝AD+AF+BD+FC＝AB+AC＝5+4＝9，
故答案为：9．
【举一反三5】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________．
【答案】9
【解析】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵MN∥BC
∴∠BEM＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠BEM
∴BM＝ME
同理CF=EN
∵MN=ME+EN
∴MN=BM+CN=9
故答案为9
【举一反三6】如图，在△ABC中，BC＝15厘米，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长为 　 　．
【答案】15cm．
【解析】解：∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠APB＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝15cm．
故答案为：15cm．
【举一反三7】如图，AE=AD，∠ABC=∠ACB，BE=4，AD=5，求AC的长度．
【答案】解：∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，
∵AE=AD，∴BE=CD，
∵AD=5，BE=4，∴CD=BE=4，
∴AC=AD+CD=5+4=9．
【题型10】等角对等边
【典型例题】在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　）
A.∠A=40°，∠B=50° B.∠A=40°，∠B=60° C.∠A=20°，∠B=80° D.∠A=40°，∠B=80°
【答案】C
【解析】解：当顶角为∠A=40°时，∠C=70°≠50°，当顶角为∠B=50°时，∠C=65°≠40°.所以A选项错误．当顶角为∠B=60°时，∠A=60°≠40°，当∠A=40°时，∠B=70°≠60°，所以B选项错误．当顶角为∠A=40°时，∠C=70°=∠B，根据等角对等边，可知C选项正确．当顶角为∠A=40°时，∠B=70°≠80°，当顶角为∠B=80°时，∠A=50°≠40°.所以D选项错误．故选C．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∵∠A=36°，∴∠ACB=∠B=12（180°﹣∠A）=72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=36°，∴∠CDB=∠A+∠ACD=72°，∵DE∥AC，∴∠EDB=∠A=36°，∠DEB=∠ACB=72°，∠CDE=∠ACD=36°，∴∠A=∠ACD=∠BCD=∠CDE=36°，∠B=∠ACD=∠DEB=∠CDB=72°，∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5个，故选D．
【举一反三2】在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（　　）
A.70° B.35° C.110°或35° D.110°
【答案】B
【解析】解：∵∠A的相邻外角是70°，∴∠A=180°﹣70°=110°，∴当∠B=12（180°﹣110°）=35°时，△ABC为等腰三角形．故选B．
【举一反三3】如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】解：∵∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴△ADE是等腰三角形，∵∠ADE=2∠B，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴△ABD是等腰三角形，∵∠AED=2∠C，∴∠C=∠EAC，∴AE=EC，∴△AEC是等腰三角形，∵∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．故选C．
【举一反三4】如图，已知∠A＝36°，BD平分∠ABC，∠C＝72°，则∠DBC＝________，∠BDC＝________，图中的等腰三角形有______________________．
【答案】36°　72°　△ABC，△DBA，△BCD.
【举一反三5】在△ABC中，∠A=100°，当∠B=　 　°时，△ABC是等腰三角形．
【答案】40
【解析】解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=100°，∴∠B=180°-100°2=40°．故答案为：40．
【举一反三6】如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是___________三角形．
【答案】等腰
【解析】解：三角形有两个角分别为80°，50°，那么第三个角为180°-80°-50°=50°，所以有两个角相等，这个三角形是等腰三角形.
【举一反三7】已知，D为△ABC所在平面内一点，且DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，DE＝DF.
(1)当点D在BC边上时(如图)，判断△ABC的形状(直接写出答案)；
(2)当点D在△ABC内部时，(1)中的结论是否一定成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例(画图说明)．
【答案】解：(1)△ABC是等腰三角形．
(2)如图，当点D在△ABC内部时，△ABC是等腰三角形依然成立．
理由：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△EBD与Rt△FCD中，
∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL)．
∴∠EBD＝∠FCD.
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB.
∴∠EBD＋∠DBC＝∠FCD＋∠DCB，
即∠EBC＝∠FCB.
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形.
【举一反三8】如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD．求证：△ACE是等腰三角形．
【答案】解：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD，∴∠AEC=∠ECA，∴AC=AE，∴△ACE是等腰三角形.
【题型11】等腰三角形的概念
【典型例题】如图，在△ABC中，BD=BC，则等腰△BDC的顶角是（ ）.
A.∠A B.∠ABC C.∠DBC D.∠EBC
【答案】C
【解析】解：在等腰三角形中，两腰的夹角叫顶角
∵BD=BC
且BD与BC的夹角是∠DBC
∴∠DBC是等腰△形BDC的顶角.
故选C.
【举一反三1】如图，△ABC中，AB=AC，AC⊥BD于E，则图中等腰△ABC腰上的高是线段（ ）
A.BE B.BD C.AE D.CE
【答案】A
【解析】解：在等腰三角形，由底边的端点向腰所作的垂线段叫等腰三角形腰上的高，所以在等腰△ABC中，腰上的高是线段BE.
所以选A.
【举一反三2】如图，△ADE中，AD=AE，则图中等腰△ADE的底角是（ ）
A.∠B B.∠C C.∠ADE D.∠AEC
【答案】C
【解析】解：在等腰三角形，腰与底边的夹角叫等腰三角形的底角，所以在等腰△ADE中，它的底角是∠ADE和∠AED.
所以选C.
【举一反三3】如图，AB=AD，AC=BC=CD，则BD图中等腰三角形（ ）的底边.
A.△ABC B.△ADC C.△ABD D.△ABD和△CBD
【答案】D
【解析】解：在等腰三角形，相等的两边叫做它的腰，第三边叫它的底边，所以在等腰△ABD中，AB=AD，所以线段AB和AD是腰，则第三边BD是底边；在等腰△CBD中，BC=DC，所以线段BC和DC是腰，则第三边BD是底边.
所以选D.
【举一反三4】如图，△ABC中，AB=BC，则图中等腰△ABC的顶角是（ ）
A.∠BAC B.∠B C.∠ACB D.都不对
【答案】B
【解析】解：在等腰三角形，两腰的夹角叫等腰三角形的顶角，所以在等腰△ABC中，它的顶角是∠B.
所以选B.
【举一反三5】如图，△ADE中，AD=AE，则图中等腰△ADE的底角是（ ）
A.∠B B.∠C C.∠ADE D.∠AEC
【答案】C
【解析】解：在等腰三角形，腰与底边的夹角叫等腰三角形的底角，所以在等腰△ADE中，它的底角是∠ADE和∠AED.
所以选C.
【举一反三6】如图，AB=BC=CD=DE=EF，则四个等腰中最大的顶角是 ，最小的顶角是 .
【答案】∠ABC；∠DEF
【解析】解：从图中可以看出，从左到右的四个等腰三角形中，最左边等腰△ABC的顶角∠ABC最大，最右边的等腰△DEB的顶角∠DEF最小.
故答案为∠ABC；∠DEF.
【举一反三7】如图，AE=BE，EC=BC，则等腰△ABE的底边是 ，等腰△BCE的底边是 .
【答案】AB；EB.
【解析】解：∵AE=BE，
∴等腰△ABE的底边是线段AB.
∵EC=BC，
∴等腰△BCE的底边是线段EB.
故答案为AB；EB.
【举一反三8】如图，在同一直线上有五个点，分别是点C，点，点，点，点，并且BC=，，，，图中四个等腰中，最大的底角最小的底角分别 和 （分别写一个）；最大的顶角和最小的顶角分别是 和 .
【答案】∠（或∠C）和∠（或∠），∠和∠B
【解析】解：在等腰三角形中，腰与底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫顶角.
从图中可以看出，随着等腰三角形的顶角的变大，它的底角越来越小.
∴四个等腰三角形中，最大的底角是原等腰△BC中的两个底角，
而最小的底角是等腰△中的两个底角
而最大的顶角就是等腰△中的顶角∠，最小的顶角是等腰△BC中∠B.
故答案为：∠（或∠C）和∠（或∠），∠和∠B.
【举一反三9】如图，AE=BE，EC=BC，则等腰△ABE的底边是 ，等腰△BCE的底边是 .
【答案】AB；EB.
【解析】解：∵AE=BE，
∴等腰△ABE的底边是线段AB.
∵EC=BC，
∴等腰△BCE的底边是线段EB.
故答案为AB；EB.
【题型12】等腰直角三角形的性质与判定
【典型例题】如图，将等腰直角三角板放在两条平行线上，若∠1＝25°，则∠2等于（　　）
A.20° B.22.5° C.25° D.45°
【答案】A
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠2，
∵∠1+∠ABC＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∵∠1＝25°，
∴∠2＝20°，
故选：A．
【举一反三1】如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE．则∠AFD的度数是（　　）
A.25° B.20° C.15° D.10°
【答案】C
【解析】解：如图，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，
∴∠D＝180°﹣∠EFD﹣∠DEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠D＝45°，
∴∠AFD＝∠1﹣∠A＝45°﹣30°＝15°，
故选：C．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点A在直线l1上．若∠1＝10°，l1∥l2，则∠2的度数为（　　）
A.25° B.35° C.45° D.55°
【答案】B
【解析】解：∵l1∥l2，
∴∠2＝∠CAD，
∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∵∠1＝10°，
∴∠2＝45°﹣10°＝35°．
故选：B．
【举一反三3】如图，△ABC中，∠ABC＝45°，D是BC上一点，BD＝3，以AD为边作等腰直角△ADE，当E恰好落在边AC上时，连接BE，则S△BDE＝　　．
【答案】．
【解析】解：如图，作AF⊥AB交BC 于F，连接EF，
∴∠BAD+∠DAF＝∠FAE+∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠FAE，
∵∠ABC＝45°，AF⊥AB，
∴AB＝AF，∠ABC＝AFB＝45°，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，
∴△ABD≌△AFE（SAS），
∴EF＝BD＝3，∠AFE＝∠ABC＝45°，
∴∠BFE＝90°，
∴．
故答案为：．
【举一反三4】七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【解析】解：如图所示，

依题意正方形ABCD的面积=16.
正方形四分之一的面积=4
阴影部分的面积=4÷2=2
故答案为：．
【举一反三5】如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】阴影部分的面积为：
故答案为：
【举一反三6】如图1，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=
∠DCE=90°，E在线段AC上，连接AD，BE的延长线交AD于F．
（1）猜想线段BE，AD的数量关系和位置关系： （不必证明）；
（2）当点E为△ABC内部一点时，使点D和点E分别在AC的两侧，其它条件不变．
①请你在图2中补全图形；
②（1）中结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】解：（1）BE=AD，BE⊥AD；
（2）①如图所示：
②（1）中结论仍然成立．
证明：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴BC=AC，EC=DC，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴BE⊥AD．
【题型13】等腰三角形性质与判定
【典型例题】如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AD是角平分线，DE⊥AC于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】C
【解析】解：∵AD是角平分线，DE⊥AC，∠ABC=90°，∴DB=DE，即△BDE是等腰三角形；∴∠DEB=∠DBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，即△ABE是等腰三角形，∵∠C=30°，∴∠BAC=60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠CAD=∠C，∴AD=CD，即△ACD是等腰三角形；∵∠ABE=60°，∴∠EBC=∠C=30°，∴△BEC是等腰三角形．故选C．
【举一反三1】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC；④OE=OD．从上述四个条件中，选取两个条件，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A.①② B.①③ C.③④ D.②③
【答案】D
【解析】解：选①②可根据AAS证△EBO和△DCO全等，推出OB=OC，再得出∠CBO=∠BCO，两角相加得出∠ABC=∠ACB，正确；①③根据OB=OC，∠EBO=∠DCO，两角相加得出∠ABC=∠ACB，正确；③④根据SAS证△EBO和△DCO全等，推出∠EBO=∠DCO，再根据OB=OC，得∠CBO=∠BCO，两角相加得出∠ABC=∠ACB，正确；②③不能证明出△EBO和△DCO全等，错误；故选D．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，DE⊥AB于点E，DE交BC于点D，连接AD，AD＝BD，若BE＝3，则AC的长为（　　）
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】A
【解析】解：∵DB＝DA，DE⊥AB，
∴AB＝2BE＝6，
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC＝6，
故选：A．
【举一反三3】下列说法错误的是（　　）
A.顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等
B.顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
C.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等
D.两个等边三角形全等
【答案】D
【解析】解：A选项中，两边夹一角，可证明其全等；
B选项中两角夹一边，也全等；
C选项中斜边对应相等的两个等腰直角三角形利用两角夹一边，亦全等；
D选项中两个等边三角形，虽然角相等，但边长不确定，所以不能确定其全等，所以D错误．故选D．
【举一反三4】如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：______．
【答案】①③（②③写一组即可）
【解析】解：由①③条件可判定△ABC是等腰三角形．证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，（对顶角相等）BE=CD，∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．
【举一反三5】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是　 　．
【答案】40°、70°或100°．
【解析】解：当BC＝CD时，如图所示，
∵∠A＝20°，AB＝AC，
∴∠ABC＝80°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CBD＝40°，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠BDC＝40°，
当BD＝BC时，如图所示，
∵∠A＝20°，AB＝AC，
∴∠ABC＝80°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CBD＝40°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝70°．
当DB＝DC时，如图所示，
∵∠A＝20°，AB＝AC，
∴∠ABC＝80°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CBD＝40°，
∵BD＝CD，
∴∠BDC＝100°，
故答案为：40°、70°或100°．
【举一反三6】如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝9cm，点D在AC上，CD＝4cm，将线段CD沿CB方向平移5cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC上，则△EBF的周长为 　 　cm．
【答案】12．
【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
由平移得：DE＝CF＝5cm，CD＝EF＝4cm，EF∥CD，
∴∠C＝∠EFB，
∴∠B＝∠EFB，
∴EB＝EF＝4cm，
∵BC＝9cm，
∴BF＝BC﹣CF＝9﹣5＝4（cm），
∴△EBF的周长＝EB+EF+BF＝4+4+4＝12（cm），
故答案为：12．
【举一反三7】（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 　 　个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是 　 　，△AEF的周长是 　 　.
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有 　 　个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．
【答案】解：（1）BE+CF＝EF．
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，
∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，
即BE+CF＝EF，
△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20．
故答案为：5；BE+CF＝EF；20；
（2）BE+CF＝EF，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，
∴等腰三角形有△BDE，△CFD，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF．
可得△AEF的周长为18．
（3）BE﹣CF＝EF，
由（1）知BE＝ED，
∵EF∥BC，
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，
∴CF＝DF，
又∵ED﹣DF＝EF，
∴BE﹣CF＝EF．
【题型14】两腰相等
【典型例题】已知等腰三角形两边的长分别是3和5，求此等腰三角形的周长．小明的解答过程如下：“当3是腰长时，底边长为5，则三角形周长为：3+3+5=11；当5是腰长时，底边长为3，则三角形周长为：3+5+5=13．”小明的解答方法体现的数学思想是（　　）
A.方程思想 B.分类讨论思想 C.公理化思想 D.转化思想
【答案】B
【解析】解：小明的解答方法体现的数学思想是分类讨论思想．
故选：B．
【举一反三1】边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（　　）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【答案】B
【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则其底边长为：21﹣2x．∵21﹣2x﹣x＜x＜21﹣2x+x，∴5.25＜x＜10.5，∵边长为整数，∴x的取值为：6，7，8，9，10，∴这样的等腰三角形共有5个，故选B．
【举一反三2】等腰三角形两边长分别为4和8，那么它的周长等于（ ）.
A.16 B.14或15 C.20 D.16或20
【答案】C
【解析】解：若腰为4，则4、4、8不能组成三角形，舍；若腰为8，则4、8、8能组成三角形且周长为20.
【举一反三3】若a，b为等腰△ABC的两边，且满足（a﹣4）2+|b﹣8|＝0，则△ABC的周长为（　　）
A.16 B.18 C.20 D.16或20
【答案】C
【解析】解：∵（a﹣4）2+|b﹣8|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣8＝0，
∴a＝4，b＝8，
如果等腰三角形的腰长是4，
∵4+4＝8，不满足三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的腰长不能是4，4只能是底边长，
如果等腰三角形的腰长是8，
∵8+4＞8，满足三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的腰长是8，底边是4，
∴等腰三角形的周长＝8×2+4＝20．
故选：C．
【举一反三4】已知，在△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是___________．
【答案】x＞3
【解析】解：在△ABC中，AB=AC=x，BC=6．
根据三角形三边关系得：AB+AC＞BC，即x+x＞6，∴x＞3．
故答案为：x＞3．
【举一反三5】等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则该等腰三角形的底边长为_________．
【答案】6或4
【解析】解：当腰为6时，则底边4，此时三边满足三角形三边关系；
当底边为6时，则另两边长为5、5，此时三边满足三角形三边关系，
故答案为：6或4．
【举一反三6】一个等腰三角形的周长为40cm．
（1）求腰长的取值范围；
（2）若一边长为10cm，求另外两边长．
【答案】解：（1）设腰长为x，则底边为40﹣2x，
由题意得x+x＞40-2x，x+40-2x＞x，解得10＜x＜20；
（2）有两种情况，①当等腰三角形的一腰长为10cm时，其底边长为40﹣10﹣10=20cm；不能构成三角形．
②当等腰三角形底边长为10cm时，其腰长为（40-10）÷2=15cm．
故另外两边长10cm，15cm．
【题型15】等腰三角形性质与折叠
【典型例题】如图将一张长方形纸的一角折叠过去，使顶点落在处，为折痕，若且为的平分线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵∠A=90°，AC=AB，∴∠ABC=45°，
∵将顶点A折叠落在A’处，∴∠ABC=∠A’BC=45°，
∵BD为∠CBE的平分线，
∴∠CBD=∠DBE=×(180°- 45°)=67.5°，
∴∠A’BD=67.5°- 45°=22.5°．
故选：C．
【举一反三1】已知△ABC中，AC=BC，点D，E分别在边AB, BC 上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Ｂ＇处，DB＇，EB＇分别交AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的大小为（ 　 ）．

A.60° B.70° C.80° D.90°
【答案】C
【解析】解：由翻折变换的性质得：∠B′＝∠B，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B′，
∵∠A＋∠ADF＋∠AFD＝180°，∠B′＋∠B′GF＋∠B′FG＝180°，∠AFD＝∠B′FG，
∴∠B′GF＝∠ADF＝80°，
∴∠EGC＝∠B′GF＝80°．
故选：C．
【举一反三2】如图，中，，，，,将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段EF的长为（ ）

A. B. C.4 D.
【答案】B
【解析】解：根据折叠性质可知：CD=AC=3，BC==4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠CF，CE⊥AB，
∴∠DCE+∠CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
又∵CE⊥AB，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，
又∵S△ABC=AC BC=AB CE，
∴AC BC=AB CE，
∵，，,
∴，
∴EF.
所以答案为B选项.
【举一反三3】如图，纸片△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将纸片对折，使点A与点B重合，折痕为DE，连结BE．则∠EBC 的度数为（ ）
A.30° B.40° C.60° D.80°
【答案】A
【解析】解：由题可得，∠ABC=(180°-40°)÷2=70°，
由翻折的性质可得：∠A=∠DBE=40°，
∴∠EBC=∠ABC-∠DBE=70°-40°=30°，
故选：A．
【举一反三4】如图，纸片△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将纸片对折，使点A与点B重合，折痕为DE，连结BE．则∠EBC 的度数为（ ）
A.30° B.40° C.60° D.80°
【答案】A
【解析】解：由题可得，∠ABC=(180°-40°)÷2=70°，
由翻折的性质可得：∠A=∠DBE=40°，
∴∠EBC=∠ABC-∠DBE=70°-40°=30°，
故选：A．
【举一反三5】如图将一张长方形纸的一角折叠过去，使顶点落在处，为折痕，若且为的平分线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵∠A=90°，AC=AB，∴∠ABC=45°，
∵将顶点A折叠落在A’处，∴∠ABC=∠A’BC=45°，
∵BD为∠CBE的平分线，
∴∠CBD=∠DBE=×(180°- 45°)=67.5°，
∴∠A’BD=67.5°- 45°=22.5°．
故选：C．
【题型16】含30°角的直角三角形的性质
【典型例题】如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD＝150°，BD＝500m，∠D＝60°．如果要使A，C，E三点在同一直线上，那么开挖点E离点D的距离是（　　）
A.200m B.250m C.300m D.350m
【答案】B
【解析】解：∵∠ABD＝150°，
∴∠DBE＝180°﹣∠ABD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠E＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△BDE是直角三角形，
∴开挖点E离点D的距离：（m），
故选：B．
【举一反三1】如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，则AD的长是（　　）
A.7 B.6 C.5 D.4
【答案】A
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，AB=CA，∠BAE=∠ACD，AE=CD∴△ABE≌△CAD（SAS）；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°﹣60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=7．故选A．
【举一反三2】如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA于点D，若PC＝3，则PD等于(　　)
A.3 B.2 C.1.5 D.1
【答案】C
【解析】解：
【举一反三3】中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形．如右图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为30°，腰为10m，则底边上的高是（　　）
A.5m B.10m C.m D.m
【答案】A
【解析】解：如图，AD⊥BC，∠C＝∠B＝30°，AB＝AC＝10m，
∴AD＝AB＝5m，
即底边上的高是5m，
故选：A．
【举一反三4】上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC＝60°，点C在点B的正西方向，海岛A与灯塔C之间的距离是 　 　海里．
【答案】60．
【解析】解：根据题意得：△ABC为直角三角形，
由∠BAC＝60°，可得∠ACB＝30°．
AB＝2×15＝30海里．
根据在直角三角形中30度所对直角边是斜边的一半可得：
AC＝2AB＝60海里．
故答案为：60．
【举一反三5】如图，在等边△ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为　 　．
【答案】
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，
∵DF⊥AC，FE⊥BC，
∴∠AFD＝∠CEF＝90°，
∴∠ADF＝∠CFE＝30°，
∴AF＝AD，CE＝CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝1，
∴AF＝，CF＝，CE＝，
∴BE＝BC﹣CE＝2﹣，
故答案为：．
【举一反三6】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，边AB的垂直平分线DE交AC于D，若CD＝8cm，则AD＝　 　cm．
【答案】16．
【解析】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA＝30°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠DBA＝30°，
∵CD＝8cm，
∴BD＝2CD＝16（cm），
∴AD＝DB＝16cm，
故答案为：16．
【举一反三7】如图所示，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1,∠A=30°,∠ADC=120°,试求CD的长.
【答案】解：延长AD、BC交于点E,
在Rt△ABE中，∠E=180°-90°-30°=60°, 又∵∠CDE=180°-120°=60°,∴∠DCE=60°.∴△CED是等边三角形.设CD=x,则BE=1+x,AE=4+x,在Rt△ABE中，∵∠A=30°,∴AE=2BE.即4+x=2(1+x),解得x=2,即CD的长为2.
【题型17】等腰三角形性质的实际应用
【典型例题】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（　　）
A.60° B.69° C.76° D.88°
【答案】D
【解析】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝69°，
∴∠ODC＝23°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝111°，
∴∠CDE＝111°﹣∠ODC＝88°，
故选：D．
【举一反三1】如图，小刚荡秋千，秋千旋转了80°，小刚的位置从A点运动到了A′点，则∠OAA′的度数为（　　）
A.40° B.50° C.55° D.65°
【答案】B
【解析】解：∵秋千旋转了80°，小刚的位置也从A点运动到了A'点，
∴∠AOA′＝80°，OA＝OA′，
∴∠OAA'＝×（180°﹣80°）＝50°．
故选：B．
【举一反三2】某厂家生产填色手工风筝，如图，其布面是一等腰三角形，若它的两边长分别是4和9，则该等腰三角形的周长是（　　）
A.17 B.22 C.17或22 D.无法确定
【答案】B
【解析】解：分为两种情况：
①当等腰三角形的三边为9，9，4时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是：9+9+4=22，
②当等腰三角形的三边为9，4，4时，
∵4+4＜9，
∴不符合三角形的三边关系定理，此时三角形不存在，
故选：B．
【举一反三3】在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若底角∠B＝50°，则顶角∠A的度数为（　　）
A.50° B.60° C.70° D.80°
【答案】D
【解析】解：∵△ABC是等腰三角形，且底角∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°×2＝80°，
故选：D．
【举一反三4】随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知OC＝OD，∠BOD＝100°，则凳腿与地面所成的角∠ODC为（　　）
A.36° B.50° C.54° D.72°
【答案】B
【解析】解：∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠BOD＝100°，
∴∠BOD＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝100°，
∴∠ODC＝50°，
故选：B．
【举一反三5】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A.等边对等角 B.等角对等边 C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
【举一反三6】如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC=120°，∠B，∠C，∠BAD，∠CAD各是多少度？
【答案】解：
∵AB=AC且∠BAC=120°，
∴∠B=∠C==30°
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°．
【举一反三7】如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，为了画出五角星，还需要知道∠AMB的度数，算一算∠AMB等于多少度．
【答案】解：如图，连接MN，则点C、N、M、B在同一直线上，
∵AM=AN，∠A=36°，
∴∠AMN==72°，
∴∠AMB=180°-72°=108°，
答：∠AMB=108°．
【题型18】等边三角形的性质
【典型例题】下图分别表示甲、乙、丙三人由A地到C地的路线图．已知甲的路线为：A→B→C，△ABC是等边三角形； 乙的路线为：A→B→D→E→C，其中D为AC的中点，△ABD、△DEC都是等边三角形；丙的路线为：A→B→D→E→C，其中D在AC上（AD≠DC），△ABD、△DEC都是等边三角形；则三人行进的路程（　　）
A.甲最短 B.乙最短 C.丙最短 D.三人行进的路程相同
【答案】D
【解析】解：设等边三角形ABC的边长是a，则乙图中等边△ADB、△DEC的边长是12a，丙图中等边三角形的边长AB+DE=a，∴甲：a+a=2a，乙：4×a=2a，丙：2（AB+DE）=2a．故选D．
【举一反三1】如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，则∠AFB等于（　　）
A.50° B.60° C.45° D.∠BCD
【答案】B
【解析】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，
∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CE=CD，
∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，
设AD与BC相交于P点，在△ACP和△BFP中，有一对对顶角，∴∠AFB=∠ACB=60°．故选B．
【举一反三2】如图，直线m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线m，n上，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）
A.45° B.50° C.55° D.60°
【答案】B
【解析】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵m∥n，
∴∠3＝∠1＝70°，
又∵∠3+∠2+∠ABC＝180°，
∴∠2＝50°．
故选：B．
【举一反三3】如图，点B，E是等边三角形△ACD的边CD所在直线上的两点，且BC＝CD＝DE，则∠BAE＝　 　度．
【答案】120．
【解析】解：∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝CD＝AD，∠ACD＝∠CAD＝∠ADC＝60°，
∴∠ACB＝∠ADE＝120°，
∵BC＝CD＝DE，
∴AC＝BC＝AD＝DE，
∴∠B＝∠BAC＝30°，∠E＝∠DAE＝30°，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝120°．
故答案为：120．
【举一反三4】如图，等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴上，A（﹣2，0），过点B作BD⊥AB，则点D的坐标为 　 　．
【答案】（6，0）．
【解析】解：∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵△ABC是等边三角形，OB⊥AC，
∴OC＝OA＝2，
∴AC＝BC＝4，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵BD⊥AB，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝30°，
∴∠BDC＝∠ACB﹣∠DBC＝30°，
∴∠BDC＝∠CBD，
∴CD＝BC＝4，
∴OD＝OC+CD＝6，
∴点D的坐标（6，0）．
故答案为：（6，0）．
【举一反三5】已知：如图，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，过C作CE∥AB，且AE⊥CE，
那么∠CAE=∠ABD吗？请说明理由．
【答案】解：∠CAE=∠ABD，
理由如下：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，
∴AC=BA，∠BAC=∠BCA=60°，BD⊥AC，∴∠BDA=90°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠BDA=90°，又∵CE∥AB，∴∠ACE=∠BAD，
∴90°﹣∠ACE=90°﹣∠BAD，即∠CAE=∠ABD．
【举一反三6】如图，△ABC中，AB=AC，∠A＜60°，△ABE为等边三角形，D在BE上，且∠ADB=∠ACB．求证：AB=BD+DC．
【答案】证明：∵△ABE为等边三角形∴∠ABD=∠E=60°，AE=AB=AC，
∵∠1+∠ABD=∠ABC=∠ACB=∠ADB=∠4+∠E，∴∠1=∠4，
∵∠3=∠2+∠ADB=∠1+∠ACB，
∴∠1=∠2∴∠2=∠4，
在△ACD和△AED中AE=AC，∠2=∠4，AD= AD，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴DC=DE，
∴AB=BE=CD+BD．
【题型19】三线合一
【典型例题】下列各线中，不属于等腰三角形“三线合一”的线是（　　）
A.顶角的平分线 B.底边上的中线 C.底边上的中垂线 D.底边上的高线
【答案】C
【解析】解：等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，故选项C不符合条件，故选C．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD为△ABC的中线，那么下列结论错误的是（ ）
A.△ABD≌△ACD B.AD为△ABC的高线 C.AD为△ABC的角平分线 D.△ABC是等边三角形
【答案】D
【解析】解：∵∠B=∠C，∴AB=AC，∵AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，即AD是△ABC的高，AD为△ABC的角平分线，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中∠B=∠C，∠ADC=∠ADB，AD=AD，∴△ABD≌△ACD，即选项A、B、C都正确，根据已知只能推出AC=AB，不能推出AC、AB和BC的关系，即不能得出△ABC是等边三角形，选项D错误，故选D．
【举一反三2】如图，△ABC中，若AB=AC，AD是∠BAC的平分线，则∠ADB=（　　）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【答案】B
【解析】解：∵△ABC中，若AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，故选B．
【举一反三3】等腰三角形的对称轴是（　　）
A.顶角的平分线 B.底边上的高 C.底边上的中线 D.底边上的高所在的直线
【答案】D
【解析】解：根据等腰三角形的性质“三线合一”可知：顶角平分线、底边的中、底边的高所在的直线是等腰三角形的对称轴．故选D．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为__________．
【答案】55°
【解析】解：AB=AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，∴∠BAC=2∠BAD=70°，∴∠C=（180°﹣70°）=55°．
故答案为：55°．
【举一反三5】等腰三角形的对称轴是 ．
【答案】底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在直线
【解析】解：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在直线．故填底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在直线．
【举一反三6】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°．AD是BC边的中线，BE是∠ABC的平分线，AD与BE交于点O，则∠DOE的度数为 　 　°．
【答案】115．
【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝∠C＝＝50°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠EBC＝∠ABC＝25°，
∵AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴∠ADB＝90°（三线合一），
∵∠DOE是△BOD的一个外角，
∴∠DOE＝∠EBC+∠ADB＝115°，
故答案为：115．
【举一反三7】如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
【答案】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB=AC，∴BP=PC，
∵AD=AE，∴DP=PE，
∴BP﹣DP=PC﹣PE，
∴BD=CE．
【举一反三8】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线，∠BAC＝50°，AE＝CE，EF∥AB，求∠FEC的度数．
【答案】解：∵AB＝AC，AD为△ABC的中线，
∴AD平分∠BAC．
∵∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝∠DAC＝25°．
∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA＝25°，
∴∠DEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣（180°﹣25°﹣25°）＝50°．
∵EF∥AB，
∴∠FED＝∠BAD＝25°，
∴∠FEC＝75°15.3等腰三角形
【知识点1】等边三角形的判定 1
【知识点2】等边三角形的判定与性质 2
【知识点3】等腰三角形的判定 2
【知识点4】直角三角形的性质 2
【知识点5】含30度角的直角三角形 3
【知识点6】直角三角形斜边上的中线 3
【知识点7】等腰三角形的判定与性质 3
【知识点8】等边三角形的性质 3
【知识点9】等腰三角形的性质 4
【题型1】用定义判定等腰三角形 4
【题型2】等边对等角 6
【题型3】尺规作图中的等角对等边 7
【题型4】等边三角形的性质和判定 9
【题型5】等边三角形的判定 11
【题型6】用定义判定格点中的等腰三角形 12
【题型7】等腰三角形的性质与尺规作图 13
【题型8】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数 15
【题型9】用等角对等边求边长、周长或面积 16
【题型10】等角对等边 18
【题型11】等腰三角形的概念 19
【题型12】等腰直角三角形的性质与判定 21
【题型13】等腰三角形性质与判定 23
【题型14】两腰相等 25
【题型15】等腰三角形性质与折叠 26
【题型16】含30°角的直角三角形的性质 28
【题型17】等腰三角形性质的实际应用 30
【题型18】等边三角形的性质 32
【题型19】三线合一 34
【知识点1】等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
【知识点2】等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
【知识点3】等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
【知识点4】直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
【知识点5】含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
【知识点6】直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
【知识点7】等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
【知识点8】等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
【知识点9】等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
【题型1】用定义判定等腰三角形
【典型例题】有3cm，3cm，6cm，6cm，12cm，12cm的六条线段，任选其中的三条线段组成一个等腰三角形，则最多能组成等腰三角形的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】下列各组线段中，能构成等腰三角形的是（　　）
A.1，1，2 B.2，2，4 C.3，3，5 D.3，4，5
【举一反三2】已知下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（　　）
A.1，2，1 B.2，2，1 C.1，3，1 D.2，2，5
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝21cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（　　）
A.2.5秒 B.3秒 C.3.5秒 D.4.2秒
【举一反三4】如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 　三角形．
【举一反三5】如图，在△ABC中，已知边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线交于点P，连接PA、PB、PC，则图中有 　 　个等腰三角形．
【举一反三6】如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　 　秒．
【举一反三7】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点M、N分别在BC所在的直线上，且AB=AC，BM=CN，试判断△AMN的形状，并说明理由．
【举一反三8】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，延长BC至B′，使C B′=BC，连接A B′．
求证：△ABB′是等腰三角形．
【题型2】等边对等角
【典型例题】如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（　　）
A.35° B.40° C.45° D.50°
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）
A.15° B.17.5° C.20° D.22.5°
【举一反三2】如图，已知DC∥EF，点A在DC上，BA的延长线交EF于点G，AB=AC，
∠AGE=130°，则∠B的度数是（　　）
A.50° B.65° C.75° D.55°
【举一反三3】如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC为（　　）
A.114° B.123° C.132° D.147°
【举一反三4】已知M，N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间的关系是 ．
【举一反三5】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是 ．
【举一反三6】等腰三角形的一个外角是60°，则其底角是 .
【举一反三7】如图所示，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，求∠C的度数．
【举一反三8】在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．
（1）如图，当∠BAC=78°时，求∠PAQ的度数；
（2）当∠PAQ=40°时，求∠BAC的度数．
【题型3】尺规作图中的等角对等边
【典型例题】已知△ABC的三条边长分别为3，5，7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A.5条 B.4条 C.3条 D.2条
【举一反三1】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（　　）
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【举一反三2】如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　 　个．
【举一反三4】已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C．②以D为圆心，长为半径画，与交于点E，连接并延长，使的延长线交于点P，连接，则的度数为 ．
【举一反三5】如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则 ．
【举一反三6】证明与作图：

(1)已知：如图1，，，垂足分别为M，N，与相交于点P．若，求证：．
(2)尺规作图：如图2，已知：线段a，b，
求作：等腰三角形，使底边上的高为a，腰长为b．（提示：作图要保留作图痕迹，且要用2B铅笔，不用写作法）．
【举一反三7】尺规作图：已知线段a，求作等腰直角三角形，使其斜边等于线段a．（不写作法，保留作图痕迹）．并加以证明.
【题型4】等边三角形的性质和判定
【典型例题】如图，点D是BC的中点，点E是AC的中点，点F是AB的中点．如果AB=BC=AC，那么与BD（BD除外）相等的线段共有（　　）
A.6条 B.5条 C.4条 D.3条
【举一反三1】如图，已知：B是线段AD上的一点，△ABC、△BDE均为等边三角形，AE交BC于P，CD交BE于Q．则下列结论成立的有（ ）
（1）AE=CD；（2）BP=BQ；（3）PQ∥AD；（4）CQ=CA；（5）EP=QD．
A.5个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④△CGF是等边三角形．其中正确结论的个数（ ）．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三3】如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.非等腰三角形
【举一反三4】如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为　 　cm．
【举一反三5】如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于点E，则△ADE是________三角形．
【举一反三6】在同一平面内，将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（∠C＝60°，∠F＝45°），其中直角顶点D是BC的中点，点A在DE上，则∠CGF＝　 　°．
【举一反三7】如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，且DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE为等边三角形；
（2）求证：E为AB的中点．
【题型5】等边三角形的判定
【典型例题】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，则这个三角形一定是（　　）
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
【举一反三1】以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（　　）
A.2，2，3． B.2，3，3 C.2，4，5 D.4，4，4
【举一反三2】已知△ABC的三边a，b，c满足b（a﹣b）+c（b﹣a）＝0，则△ABC是（　　）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【举一反三3】如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为　 　．
【举一反三4】如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出___________个．
【举一反三5】在△ABC中，∠A=60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是　 　．
【题型6】用定义判定格点中的等腰三角形
【典型例题】如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点有几个（　　）
A.8 B.9 C.10 D.11
【举一反三2】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，
若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三3】如图所示，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A、B为两格点，请在图中再寻找另一格点C，使△ABC成为等腰三角形．则满足条件的C点的个数为（　　）
A.10个 B.8个 C.6个 D.4个
【举一反三4】如图，A，B为4×4方格纸中格点上的两点，若以AB为边，在方格中取一点C（C在格点上），使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（　　）
A.9 B.8 C.7 D.6
【举一反三5】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，
若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【题型7】等腰三角形的性质与尺规作图
【典型例题】如图，∠AOB=8°，点P在OB上.以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不重合），连接P1P2；再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2P3；…按照这样的方法一直画下去，得到点Pn，若之后就不能再画出符合要求的点Pn+1，则n等于（ ）
A.13 B.12 C.11 D.10
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=32°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（　　）
A.42° B.45° C.40° D.35°
【举一反三2】如图所示，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接.若，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，∠AOB=8°，点P在OB上.以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不重合），连接P1P2；再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2P3；…按照这样的方法一直画下去，得到点Pn，若之后就不能再画出符合要求的点Pn+1，则n等于（ ）
A.13 B.12 C.11 D.10
【举一反三4】如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠C＝20°，则∠EOB的度数是（ ）
A.40° B.50° C.60° D.80°
【举一反三5】尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.
【举一反三6】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
【题型8】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数
【典型例题】如图，直角坐标系中，点A（﹣2，2）、B（0，1）点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个．
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），在y轴上确定点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【举一反三3】如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标可能有（　　）个．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三4】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有（　　）个．
A.4 B.5个 C.7个 D.8个
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个．
A.5 B.6 C.8 D.9
【题型9】用等角对等边求边长、周长或面积
【典型例题】如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG＝2，ED＝5，则BE+DC的值为（　　）
A.5 B.6 C.7 D.8
【举一反三1】如图，E为AC上一点，连接BE，CD平分∠ACB交BE于点D，且BE⊥CD，∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为（　　）
A.1.2 B.1.5 C.2 D.3
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于点E，F，则△AEF的周长是(　　)
A.12 B.13 C.14 D.18
【举一反三3】如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于(　　)
A.3 cm B.4 cm C.1.5 cm D.2 cm
【举一反三4】如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交BAB于D，交AC于F，若AB＝5，AC＝4，则△ADF周长为 　 　．
【举一反三5】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________．
【举一反三6】如图，在△ABC中，BC＝15厘米，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长为 　 　．
【举一反三7】如图，AE=AD，∠ABC=∠ACB，BE=4，AD=5，求AC的长度．
【题型10】等角对等边
【典型例题】在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　）
A.∠A=40°，∠B=50° B.∠A=40°，∠B=60° C.∠A=20°，∠B=80° D.∠A=40°，∠B=80°
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三2】在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（　　）
A.70° B.35° C.110°或35° D.110°
【举一反三3】如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三4】如图，已知∠A＝36°，BD平分∠ABC，∠C＝72°，则∠DBC＝________，∠BDC＝________，图中的等腰三角形有______________________．
【举一反三5】在△ABC中，∠A=100°，当∠B=　 　°时，△ABC是等腰三角形．
【举一反三6】如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是___________三角形．
【举一反三7】已知，D为△ABC所在平面内一点，且DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，DE＝DF.
(1)当点D在BC边上时(如图)，判断△ABC的形状(直接写出答案)；
(2)当点D在△ABC内部时，(1)中的结论是否一定成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例(画图说明)．
【举一反三8】如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD．求证：△ACE是等腰三角形．
【题型11】等腰三角形的概念
【典型例题】如图，在△ABC中，BD=BC，则等腰△BDC的顶角是（ ）.
A.∠A B.∠ABC C.∠DBC D.∠EBC
【举一反三1】如图，△ABC中，AB=AC，AC⊥BD于E，则图中等腰△ABC腰上的高是线段（ ）
A.BE B.BD C.AE D.CE
【举一反三2】如图，△ADE中，AD=AE，则图中等腰△ADE的底角是（ ）
A.∠B B.∠C C.∠ADE D.∠AEC
【举一反三3】如图，AB=AD，AC=BC=CD，则BD图中等腰三角形（ ）的底边.
A.△ABC B.△ADC C.△ABD D.△ABD和△CBD
【举一反三4】如图，△ABC中，AB=BC，则图中等腰△ABC的顶角是（ ）
A.∠BAC B.∠B C.∠ACB D.都不对
【举一反三5】如图，△ADE中，AD=AE，则图中等腰△ADE的底角是（ ）
A.∠B B.∠C C.∠ADE D.∠AEC
【举一反三6】如图，AB=BC=CD=DE=EF，则四个等腰中最大的顶角是 ，最小的顶角是 .
【举一反三7】如图，AE=BE，EC=BC，则等腰△ABE的底边是 ，等腰△BCE的底边是 .
【举一反三8】如图，在同一直线上有五个点，分别是点C，点，点，点，点，并且BC=，，，，图中四个等腰中，最大的底角最小的底角分别 和 （分别写一个）；最大的顶角和最小的顶角分别是 和 .
【举一反三9】如图，AE=BE，EC=BC，则等腰△ABE的底边是 ，等腰△BCE的底边是 .
【题型12】等腰直角三角形的性质与判定
【典型例题】如图，将等腰直角三角板放在两条平行线上，若∠1＝25°，则∠2等于（　　）
A.20° B.22.5° C.25° D.45°
【举一反三1】如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE．则∠AFD的度数是（　　）
A.25° B.20° C.15° D.10°
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点A在直线l1上．若∠1＝10°，l1∥l2，则∠2的度数为（　　）
A.25° B.35° C.45° D.55°
【举一反三3】如图，△ABC中，∠ABC＝45°，D是BC上一点，BD＝3，以AD为边作等腰直角△ADE，当E恰好落在边AC上时，连接BE，则S△BDE＝　　．
【举一反三4】七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 ．

【举一反三5】如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为 ．
【举一反三6】如图1，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=
∠DCE=90°，E在线段AC上，连接AD，BE的延长线交AD于F．
（1）猜想线段BE，AD的数量关系和位置关系： （不必证明）；
（2）当点E为△ABC内部一点时，使点D和点E分别在AC的两侧，其它条件不变．
①请你在图2中补全图形；
②（1）中结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【题型13】等腰三角形性质与判定
【典型例题】如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AD是角平分线，DE⊥AC于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三1】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC；④OE=OD．从上述四个条件中，选取两个条件，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A.①② B.①③ C.③④ D.②③
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，DE⊥AB于点E，DE交BC于点D，连接AD，AD＝BD，若BE＝3，则AC的长为（　　）
A.6 B.5 C.4 D.3
【举一反三3】下列说法错误的是（　　）
A.顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等
B.顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
C.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等
D.两个等边三角形全等
【举一反三4】如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：______．
【举一反三5】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是　 　．
【举一反三6】如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝9cm，点D在AC上，CD＝4cm，将线段CD沿CB方向平移5cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC上，则△EBF的周长为 　 　cm．
【举一反三7】（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 　 　个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是 　 　，△AEF的周长是 　 　.
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有 　 　个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．
【题型14】两腰相等
【典型例题】已知等腰三角形两边的长分别是3和5，求此等腰三角形的周长．小明的解答过程如下：“当3是腰长时，底边长为5，则三角形周长为：3+3+5=11；当5是腰长时，底边长为3，则三角形周长为：3+5+5=13．”小明的解答方法体现的数学思想是（　　）
A.方程思想 B.分类讨论思想 C.公理化思想 D.转化思想
【举一反三1】边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（　　）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【举一反三2】等腰三角形两边长分别为4和8，那么它的周长等于（ ）.
A.16 B.14或15 C.20 D.16或20
【举一反三3】若a，b为等腰△ABC的两边，且满足（a﹣4）2+|b﹣8|＝0，则△ABC的周长为（　　）
A.16 B.18 C.20 D.16或20
【举一反三4】已知，在△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是___________．
【举一反三5】等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则该等腰三角形的底边长为_________．
【举一反三6】一个等腰三角形的周长为40cm．
（1）求腰长的取值范围；
（2）若一边长为10cm，求另外两边长．
【题型15】等腰三角形性质与折叠
【典型例题】如图将一张长方形纸的一角折叠过去，使顶点落在处，为折痕，若且为的平分线，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知△ABC中，AC=BC，点D，E分别在边AB, BC 上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Ｂ＇处，DB＇，EB＇分别交AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的大小为（ 　 ）．

A.60° B.70° C.80° D.90°
【举一反三2】如图，中，，，，,将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段EF的长为（ ）

A. B. C.4 D.
【举一反三3】如图，纸片△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将纸片对折，使点A与点B重合，折痕为DE，连结BE．则∠EBC 的度数为（ ）
A.30° B.40° C.60° D.80°
【举一反三4】如图，纸片△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将纸片对折，使点A与点B重合，折痕为DE，连结BE．则∠EBC 的度数为（ ）
A.30° B.40° C.60° D.80°
【举一反三5】如图将一张长方形纸的一角折叠过去，使顶点落在处，为折痕，若且为的平分线，则（ ）
A. B. C. D.
【题型16】含30°角的直角三角形的性质
【典型例题】如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD＝150°，BD＝500m，∠D＝60°．如果要使A，C，E三点在同一直线上，那么开挖点E离点D的距离是（　　）
A.200m B.250m C.300m D.350m
【举一反三1】如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，则AD的长是（　　）
A.7 B.6 C.5 D.4
【举一反三2】如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA于点D，若PC＝3，则PD等于(　　)
A.3 B.2 C.1.5 D.1
【举一反三3】中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形．如右图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为30°，腰为10m，则底边上的高是（　　）
A.5m B.10m C.m D.m
【举一反三4】上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC＝60°，点C在点B的正西方向，海岛A与灯塔C之间的距离是 　 　海里．
【举一反三5】如图，在等边△ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为　 　．
【举一反三6】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，边AB的垂直平分线DE交AC于D，若CD＝8cm，则AD＝　 　cm．
【举一反三7】如图所示，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1,∠A=30°,∠ADC=120°,试求CD的长.
【题型17】等腰三角形性质的实际应用
【典型例题】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（　　）
A.60° B.69° C.76° D.88°
【举一反三1】如图，小刚荡秋千，秋千旋转了80°，小刚的位置从A点运动到了A′点，则∠OAA′的度数为（　　）
A.40° B.50° C.55° D.65°
【举一反三2】某厂家生产填色手工风筝，如图，其布面是一等腰三角形，若它的两边长分别是4和9，则该等腰三角形的周长是（　　）
A.17 B.22 C.17或22 D.无法确定
【举一反三3】在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若底角∠B＝50°，则顶角∠A的度数为（　　）
A.50° B.60° C.70° D.80°
【举一反三4】随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知OC＝OD，∠BOD＝100°，则凳腿与地面所成的角∠ODC为（　　）
A.36° B.50° C.54° D.72°
【举一反三5】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A.等边对等角 B.等角对等边 C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一”
【举一反三6】如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC=120°，∠B，∠C，∠BAD，∠CAD各是多少度？
【举一反三7】如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，为了画出五角星，还需要知道∠AMB的度数，算一算∠AMB等于多少度．
【题型18】等边三角形的性质
【典型例题】下图分别表示甲、乙、丙三人由A地到C地的路线图．已知甲的路线为：A→B→C，△ABC是等边三角形； 乙的路线为：A→B→D→E→C，其中D为AC的中点，△ABD、△DEC都是等边三角形；丙的路线为：A→B→D→E→C，其中D在AC上（AD≠DC），△ABD、△DEC都是等边三角形；则三人行进的路程（　　）
A.甲最短 B.乙最短 C.丙最短 D.三人行进的路程相同
【举一反三1】如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，则∠AFB等于（　　）
A.50° B.60° C.45° D.∠BCD
【举一反三2】如图，直线m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线m，n上，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）
A.45° B.50° C.55° D.60°
【举一反三3】如图，点B，E是等边三角形△ACD的边CD所在直线上的两点，且BC＝CD＝DE，则∠BAE＝　 　度．
【举一反三4】如图，等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴上，A（﹣2，0），过点B作BD⊥AB，则点D的坐标为 　 　．
【举一反三5】已知：如图，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，过C作CE∥AB，且AE⊥CE，
那么∠CAE=∠ABD吗？请说明理由．
【举一反三6】如图，△ABC中，AB=AC，∠A＜60°，△ABE为等边三角形，D在BE上，且∠ADB=∠ACB．求证：AB=BD+DC．
【题型19】三线合一
【典型例题】下列各线中，不属于等腰三角形“三线合一”的线是（　　）
A.顶角的平分线 B.底边上的中线 C.底边上的中垂线 D.底边上的高线
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD为△ABC的中线，那么下列结论错误的是（ ）
A.△ABD≌△ACD B.AD为△ABC的高线 C.AD为△ABC的角平分线 D.△ABC是等边三角形
【举一反三2】如图，△ABC中，若AB=AC，AD是∠BAC的平分线，则∠ADB=（　　）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【举一反三3】等腰三角形的对称轴是（　　）
A.顶角的平分线 B.底边上的高 C.底边上的中线 D.底边上的高所在的直线
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为__________．
【举一反三5】等腰三角形的对称轴是 ．
【举一反三6】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°．AD是BC边的中线，BE是∠ABC的平分线，AD与BE交于点O，则∠DOE的度数为 　 　°．
【举一反三7】如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
【举一反三8】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线，∠BAC＝50°，AE＝CE，EF∥AB，求∠FEC的度数．

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