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21.3实际问题与一元二次方程
【知识点1】一元二次方程的应用 1
【知识点2】由实际问题抽象出一元二次方程 2
【题型1】用二次函数解决面积问题 3
【题型2】用二次函数解决商品利润问题 5
【题型3】二次函数解决固定型抛物线问题 7
【题型4】二次函数解决运动型抛物线问题 9
【知识点1】一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
1.（2023秋 文昌校级期末）直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（　　）
A． B．5 C． D．7
2.（2024秋 临高县期中）临高教育局要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（每两队都赛一场），计划安排36场比赛，则参加比赛的球队有（　　）支．
A．7 B．8 C．9 D．10
3.（2024春 牟平区期中）某批发店将进价为4元的小商品按5元卖出时，可卖出500件，已知这种商品每件涨价1元，其销售量就减少10件，若要赚得4100元利润，售价应定为（　　）
A．45元 B．14元 C．45元或14元 D．50元
【知识点2】由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
1.（2025春 石景山区期末）某科技产业园区2022年的营业收入为5亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，2024年的营业收入达到7.2亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为x,依题意，可列方程为（　　）
A．5（1+x）2=7.2 B．5（1+2x）=7.2
C．5（1-x）2=7.2 D．7.2（1+x）2=5
2.（2025春 田阳区期末）电影《哪吒2》于2025年春节档上映，票房一路冲高．某影城也因为绝佳观影体验走红，《哪吒2》首日票房达到4.5亿元，第三天的票房达到6.48亿元，若在此期间内每天票房按相同的增长率增长，设票房收入的增长率为x,则方程可列为（　　）
A．4.5（1+x）2=6.48
B．4.5+4.5x+4.5x2=6.48
C．4.5（1+x）3=6.48
D．4.5+4.5（1+x）+4.5（1+x）2=6.48
3.（2025 五华区校级三模）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x,根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．1210（1-x）2=1000 B．1000（1+x）2=1210
C．1000（1+2x）=1210 D．1210（1-2x）=1000
【题型1】用二次函数解决面积问题
【典型例题】如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为48m2；小亮认为：隔离区的面积可能为36m2，你认为他们俩的说法是（　　）
A.小明正确，小亮错误 B.小明错误，小亮正确 C.两人均正确 D.两人均错误
【举一反三1】如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（　　）
A.60 m2 B.63 m2 C.64 m2 D.66 m2
【举一反三2】用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（　　）
A.9 B.8 C.6 D.不能确定
【举一反三3】某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论是 　 　．
【举一反三5】如图线段AB=6，点C是AB上一点，点D是AC的中点，分别以AD，DC，CB为边作正方形，则AC=__________时，三个正方形的面积之和最小．
【举一反三6】如图，用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为______________米2．
【举一反三7】学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．
（1）要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？
（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平米30米，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？
【题型2】用二次函数解决商品利润问题
【典型例题】某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件售价为x元（x为非负整数），则若要使每星期的利润最大且每星期的销量较大，x应为多少元？（　　）
A.41 B.42 C.42.5 D.43
【举一反三1】某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件，他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提高1元，每天的销售量就会减少10件，为了能使一天所得的利润最大，他应将售价定为（　　）
A.4元 B.13元 C.14元 D.15元
【举一反三2】一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（　　）
A.3.6 元 B.5 元 C.10 元 D.12 元
【举一反三3】某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=-x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（　　）
A.30万元 B.40万元 C.45万元 D.46万元
【举一反三4】某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种__________棵橘子树，橘子总个数最多．
【举一反三5】某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为____________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
【举一反三6】电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在铅售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣2x+320（其中100≤x≤120，且x为整数），电商平台每周销售这款玩具所获的最大利润是 　 　元．
【举一反三7】某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg,销售价每涨一元，月销售量就减少10kg.
（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式．
（2）当销售价定为55元时，计算月销售量和利润．
（3）商店想在月销售成本不超过3000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（4）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（5）当售价为多少时，会获得最大利润？求出最大利润．
【题型3】二次函数解决固定型抛物线问题
【典型例题】株洲五桥主桥主孔为拱梁刚构组合体系如图1，小明在五桥观光，发现拱梁的路面部分有均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20米，拱高（中柱）10米，于是他建立如图2的坐标系，将余下的8根支柱的高度都算出来了，你认为中柱右边第二根支柱的高度是（　　）米．
A.7 B.7.6 C.8 D.8.4
【举一反三1】一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD为某一抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，如图2若盛有部分水的水杯倾斜45°（即∠ABP＝45°），水面正好经过点B，则此时点P到杯口AB的距离为（　　）
A.5cm B.6cm C. D.7cm
【举一反三2】如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是8m，公司想在大门两侧距地面5m处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（　　）
A. B. C. D.4m
【举一反三3】生物学研究表明、在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐晰减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y（单位：IU）与温度t（单位：℃）的关系可以近似用二次函数y＝﹣x2+14x+142来表示．则当温度为最适宜时，该种酶的活性值为（　　）
A.14 B. C.240 D.44
【举一反三4】某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口．如图，要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求BC∥AD，最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.5米，BC＝2米，AD＝4米，则点C到AD的距离为 　 　米．
【举一反三5】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．若水面再上升1.5m，则水面的宽度为 　 　m．
【举一反三6】为了弘扬耕读文化，进一步引导中学生树立正确的劳动价值观，提升劳动技能，某校搭建了一座劳动实践基地．基地中某一根黄瓜藤在钢圈的支撑下，其形状近似呈如图所示的抛物线形，黄瓜藤的藤根O和藤梢A均在地面上，以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的竖直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，矩形BCDE是钢圈的支架，边BC在x轴上，顶点D、E均在抛物线上，经测量，OA＝6dm，BC＝2dm，BE＝dm，已知图中所有的点都在同一平面内．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知在瓜藤上的点P处有一根黄瓜，点P到y轴的距离为dm，为使黄瓜不长成弯曲状（黄瓜长度大于点P到x轴的距离时，黄瓜会长成弯曲状），在黄瓜不超过多长时就应该从瓜藤上摘下？
【举一反三7】一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为5m，宽为3m的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．
【题型4】二次函数解决运动型抛物线问题
【典型例题】一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A.第3.3秒 B.第4.3秒 C.第5.2秒 D.第4.6秒
【举一反三1】掷实心球是中考体育考试选考项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，共竖直高度与水平距离之间满足二次函数关系，明明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程，实心球在空中运动时的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的数据如表：
在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离为（　　）
A.6米 B.8米 C.9米 D.10米
【举一反三2】水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离S与时间t的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　）
A.小球滑行6秒停止 B.小球滑行12秒停止 C.小球向前滑行的速度不变 D.小球向前滑行的速度越来越大
【举一反三3】在扬州市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　 　米．
【举一反三4】小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系为：h＝﹣4t2+12t，则足球距离地面的最大高度为 　 　m．
【举一反三5】“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图1，北京地铁（BeijingSubway）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．
（1）建立模型
①收集数据
②建立平面直角坐标系
为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系．
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是 　 　函数的图象．
⑤求函数解析式
解：设s＝at2+bt+c（a≠0），因为t＝0时，s＝256，所以c＝256，则s＝at2+bt+256．
请根据表格中的数据，求a，b的值．
验证：把a，b的值代入s＝at2+bt+256中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式．
（2）应用模型
列车从减速开始经过 　 　秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为 　 　米．
【举一反三6】如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6m，若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，小静恰在点C（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线C2：的一部分．
（1）抛物线C1的最高点坐标为 　 　；
（2）求a，c的值；
（3）小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为 　 　．21.3实际问题与一元二次方程
【知识点1】一元二次方程的应用 1
【知识点2】由实际问题抽象出一元二次方程 3
【题型1】用二次函数解决面积问题 4
【题型2】用二次函数解决商品利润问题 9
【题型3】二次函数解决固定型抛物线问题 13
【题型4】二次函数解决运动型抛物线问题 20
【知识点1】一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
1.（2023秋 文昌校级期末）直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（　　）
A． B．5 C． D．7
【答案】B
【分析】设其中一条直角边的长为x,则另一条直角边的长为（7-x），根据三角形的面积为x建立方程就可以求出两直角边，由勾股定理就可以求出斜边．
【解答】解：设其中一条直角边的长为x,则另一条直角边的长为（7-x），由题意，得
x（7-x）=6，
解得：x1=3．，x2=4，
由勾股定理，得
斜边为：=5．
故选：B．
2.（2024秋 临高县期中）临高教育局要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（每两队都赛一场），计划安排36场比赛，则参加比赛的球队有（　　）支．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】设参加比赛的球队有x支，利用比赛的总场数=参赛球队数×（参赛球队数-1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设参加比赛的球队有x支，根据题意，得
x（x-1）=36，
整理，得x2-x-72=0，
解方程，得x1=9，x2=-8（不符合题意，舍去），
∴参加比赛的球队有9支．
故选：C．
3.（2024春 牟平区期中）某批发店将进价为4元的小商品按5元卖出时，可卖出500件，已知这种商品每件涨价1元，其销售量就减少10件，若要赚得4100元利润，售价应定为（　　）
A．45元 B．14元 C．45元或14元 D．50元
【答案】C
【分析】设售价应定为x元，则销售量为500-10（x-5）=550-10x件，根据总利润=单件利润×销售数量结合总利润为4100元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设售价应定为x元，则销售量为500-10（x-5）=550-10x件，
根据题意得：（x-4）（550-10x）=4100，
整理得：x2-59x+630=0，
解得：x1=14，x2=45．
故选：C．
【知识点2】由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
1.（2025春 石景山区期末）某科技产业园区2022年的营业收入为5亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，2024年的营业收入达到7.2亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为x,依题意，可列方程为（　　）
A．5（1+x）2=7.2 B．5（1+2x）=7.2
C．5（1-x）2=7.2 D．7.2（1+x）2=5
【答案】A
【分析】设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为x,根据该市2022年及202年的营业收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：5（1+x）2=7.2．
故选：A．
2.（2025春 田阳区期末）电影《哪吒2》于2025年春节档上映，票房一路冲高．某影城也因为绝佳观影体验走红，《哪吒2》首日票房达到4.5亿元，第三天的票房达到6.48亿元，若在此期间内每天票房按相同的增长率增长，设票房收入的增长率为x,则方程可列为（　　）
A．4.5（1+x）2=6.48
B．4.5+4.5x+4.5x2=6.48
C．4.5（1+x）3=6.48
D．4.5+4.5（1+x）+4.5（1+x）2=6.48
【答案】A
【分析】设票房收入的增长率为x,根据“首日票房达到4.5亿元，第三天的票房达到6.48亿元”列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：由题意可得：
∴4.5（1+x）2=6.48，
故选：A．
3.（2025 五华区校级三模）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x,根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．1210（1-x）2=1000 B．1000（1+x）2=1210
C．1000（1+2x）=1210 D．1210（1-2x）=1000
【答案】B
【分析】根据1月份的销售量×（1+增长率）2=3月份的销售量，列出方程即可．
【解答】解：设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x,根据题意得：
1000（1+x）2=1210，
故选：B．
【题型1】用二次函数解决面积问题
【典型例题】如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为48m2；小亮认为：隔离区的面积可能为36m2，你认为他们俩的说法是（　　）
A.小明正确，小亮错误 B.小明错误，小亮正确 C.两人均正确 D.两人均错误
【答案】B
【解析】解：设垂直于墙的一边为x m，则隔离区的另一边为（24﹣3x）m，
∴S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x；
根据题意，得不等式组，
解得：4≤x＜8，
当S＝48时，﹣3x2+24x＝48，
解得x1＝x2＝4（不合题意，舍去）；
当S＝36时，﹣3x2+24x＝36，
解得x1＝6，x2＝2（不合题意，舍去），
故小亮说法正确．
故选：B．
【举一反三1】如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（　　）
A.60 m2 B.63 m2 C.64 m2 D.66 m2
【答案】C
【解析】设BC=x m，则AB=（16-x）m，矩形ABCD面积为y m2，
根据题意得y=（16-x）x=-x2+16x=-（x-8）2+64，
当x=8 m时，ymax=64 m2，
则所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2．
【举一反三2】用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（　　）
A.9 B.8 C.6 D.不能确定
【答案】C
【解析】解：由图象可知，当x＝1时，y有最大，最大值为1.5，
∴当x＝1米，窗框的最大面积是1.5平方米，
根据矩形面积计算公式，另一边为1.5÷1＝1.5（米），
∴材料总长a＝1.5+1.5+1+1+1＝6（米）．
故选：C．
【举一反三3】某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】S△AEF=AE×AF=x2，S△DEG=DG×DE=×1×（3-x）=，
S五边形EFBCG=S正方形ABCD-S△AEF-S△DEG=9-x2-=-x2+x+，
则y=4×（-x2+x+）=-2x2+2x+30，
∵AE＜AD，∴x＜3，
综上可得y=-2x2+2x+30（0＜x＜3）．
【举一反三4】如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论是 　 　．
【答案】②③
【解析】解：设AD边长为x m，则AB边长为m，
当AB＝6时，＝6，
解得：x＝28，
∵AD的长不能超过26m，
∴x≤26，故①不正确；
∵菜园ABCD面积为192m2，
∴x ＝192，
整理得：x2﹣40x+384＝0，
解得：x＝24或x＝16，故②正确；
设矩形菜园的面积为Sm2，
根据题意得：S＝x ＝﹣（x2﹣40x）＝﹣（x﹣20）2+200，
∵﹣＜0，2
∴当x＝20时，S有最大值，最大值为200，故③正确；
∴正确结论是②③．
故答案为：②③．
【举一反三5】如图线段AB=6，点C是AB上一点，点D是AC的中点，分别以AD，DC，CB为边作正方形，则AC=__________时，三个正方形的面积之和最小．
【答案】4
【解析】设AC为x，三个正方形的面积和为y．则BC=6-x，AD=CD=，
∴y=2×（）2+（6-x）2=x2-12x+36，
∴x=-=4时，三个正方形的面积之和最小．
【举一反三6】如图，用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为______________米2．
【答案】4
【解析】∵AB为x米，则AD==4-x，
S长方形框架ABCD=AB×AD=-x2+4x=-（x-2）2+4，
当x=2时，S取得最大值=4；
∴长方形框架ABCD的面积S最大为4米2．
【举一反三7】学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．
（1）要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？
（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平米30米，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？
【答案】解：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，
根据题意，得：4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5200，
整理得，x2－45x＋350＝0，解得x1＝35，x2＝10，
经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，
所以，要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，
则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．
（2）设铺设矩形广场地面的总费为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，
则y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]，
即是y＝80x2－3600x＋240000，
配方得y＝80（x－22．5）2＋199500，
当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199500，
所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，
所铺设设铺设矩形广场地面的总费最小，最少费用为199500元．
【题型2】用二次函数解决商品利润问题
【典型例题】某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件售价为x元（x为非负整数），则若要使每星期的利润最大且每星期的销量较大，x应为多少元？（　　）
A.41 B.42 C.42.5 D.43
【答案】B
【解析】由题意得，涨价为（x-40）元，（0≤x≤5且x为整数），每星期少卖10（x-40）件， ∴每星期的销量为150-10（x-40）=550-10x，
设每星期的利润为y元，
则y=（x-30）×（550-10x）=-10（x-42.5）2+1562.5，
∵x为非负整数，∴当x=42或43时，利润最大为1560元，
又∵要求销量较大，∴x取42元．
答：若要使每星期的利润最大且每星期的销量较大，x应为42元．
【举一反三1】某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件，他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提高1元，每天的销售量就会减少10件，为了能使一天所得的利润最大，他应将售价定为（　　）
A.4元 B.13元 C.14元 D.15元
【答案】C
【解析】根据题中等量关系为：利润=（售价-进价）×售出件数，
y=（x-8）[100-10（x-10）] =-10x2+280x-1600 =-10（x-14）2+360（10≤x≤20）；
∴当x=14时，y最大=360元.
【举一反三2】一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（　　）
A.3.6 元 B.5 元 C.10 元 D.12 元
【答案】B
【解析】设每件降价x元，每天获得的利润记为W，
根据题意，W=（135-x-100）（100+4x）=-4x2+40x+3500 =-4（x-5）2+3600，
∵-4＜0，
∴当x=5时，W取得最大值，最大值为3600，
即每件降价5元时，每天获得的利润最大，最大利润为3600元．
【举一反三3】某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=-x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（　　）
A.30万元 B.40万元 C.45万元 D.46万元
【答案】D
【解析】设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15-x）量，
根据题意得出W=y1+y2=-x2+10x+2（15-x）=-x2+8x+30，
∴最大利润为==46（万元）．
【举一反三4】某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种__________棵橘子树，橘子总个数最多．
【答案】10
【解析】假设果园增种x棵橘子树，那么果园共有（x+100）棵橘子树，
∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子，
∴这时平均每棵树就会少结5x个橘子，
则平均每棵树结（600-5x）个橘子．
∵果园橘子的总产量为y，
∴则y=（x+100）（600-5x）=-5x2+100x+60000，
∴当x=-=10（棵）时，橘子总个数最多．
【举一反三5】某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为____________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
【答案】22
【解析】设定价为x元，
根据题意得y=（x-15）[8+2（25-x）] =-2x2+88x-870
∴y=-2x2+88x-87 =-2（x-22）2+98
∵a=-2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=22时，y最大值=98．
【举一反三6】电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在铅售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣2x+320（其中100≤x≤120，且x为整数），电商平台每周销售这款玩具所获的最大利润是 　 　元．
【答案】1600
【解析】解：由题意，利润w＝（x﹣100）（﹣2x+320）＝﹣2（x﹣130）2+1800．
∵﹣2＜0，
∴当x＜130时，y随x的增大而增大．
又∵100≤x≤120，
∴当x＝120时，w取得最大值，此时w＝1600．
答：当每件玩具售价为120元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1600元．
故答案为：1600．
【举一反三7】某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg,销售价每涨一元，月销售量就减少10kg.
（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式．
（2）当销售价定为55元时，计算月销售量和利润．
（3）商店想在月销售成本不超过3000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（4）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（5）当售价为多少时，会获得最大利润？求出最大利润．
【答案】解：（1）可卖出千克数为500-10（x-50）=1000-10x,
y与x的函数表达式为y=（x-40）（1000-10x）=-10x2+1400x-40000；
（2）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500-（55-50）×10=450（千克）；
利润=450×（55-40）=6750元；
（3）令y=8000，则8000=-10x2+1400x-40000
解得x1=60，x2=80．
当x=60时，销售价为60元，月销售量为400千克，则成本价为40×400=16000（元），超过了3000元，不合题意，舍去；
当x=80时，销售价为80元，月销售量为200千克，则成本价为40×200=8000（元），超过了3000元，不合题意，舍去；
故无解.
（3）设销售单价为a元，
，
解得，a=80，
答：商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元．
（5）y=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000，
∴当x=70时，利润最大为9000元．
答：当售价为70元，利润最大，最大利润是9000元．
【题型3】二次函数解决固定型抛物线问题
【典型例题】株洲五桥主桥主孔为拱梁刚构组合体系如图1，小明在五桥观光，发现拱梁的路面部分有均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20米，拱高（中柱）10米，于是他建立如图2的坐标系，将余下的8根支柱的高度都算出来了，你认为中柱右边第二根支柱的高度是（　　）米．
A.7 B.7.6 C.8 D.8.4
【答案】D
【解析】根据题目条件B的坐标是（10，-10），
设抛物线的解析式为y=ax2，
将B的坐标代入y=ax2，得-10=100a，解得a=-0.1．
所以抛物线的表达式y=-0.1x2．
可设中柱右边第二根支柱底端点的坐标为（4，y），于是y=-0.1×42=-1.6，
∴中柱右边第二根支柱的高度是10-1.6=8.4（米）．
【举一反三1】一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD为某一抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，如图2若盛有部分水的水杯倾斜45°（即∠ABP＝45°），水面正好经过点B，则此时点P到杯口AB的距离为（　　）
A.5cm B.6cm C. D.7cm
【答案】D
【解析】解：建立如图所示坐标系，作PE⊥x轴于点E．
各点坐标为：A（﹣4，0），B（4，0），C（﹣2，﹣12），D（2，﹣12）．
设y＝a（x+4）（x﹣4），
﹣12＝a（﹣2+4）（﹣2﹣4），
a＝1，
y＝（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16，
∵∠ABP＝45°，∠PEB＝90°，
∴∠BPE＝45°，
∴∠EPB＝∠EBP，
∴EP＝EB．
设P（x，y）．
BE＝4﹣x，EP＝﹣y，
﹣y＝4﹣x，
﹣（x2﹣16）＝4﹣x，
解得x1＝4（舍去），x2＝﹣3，
y＝9﹣16＝﹣7，
PE＝﹣y＝7．
故选：D．
【举一反三2】如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是8m，公司想在大门两侧距地面5m处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（　　）
A. B. C. D.4m
【答案】A
【解析】解：以地面所在直线为x轴，过大门最高点垂直于地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
∴抛物线的顶点坐标为（0，8），
设抛物线解析式为y＝ax2+8，
又知抛物线过（4，0），
∴0＝16a+8，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣x2+8，
把y＝5代入y＝﹣x2+8，
解得：x＝±，
故两壁灯之间水平距离为2．
故选：A．
【举一反三3】生物学研究表明、在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐晰减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y（单位：IU）与温度t（单位：℃）的关系可以近似用二次函数y＝﹣x2+14x+142来表示．则当温度为最适宜时，该种酶的活性值为（　　）
A.14 B. C.240 D.44
【答案】C
【解析】解：∵y＝﹣x2+14x+142
＝﹣（x2﹣28x+196）+240
＝﹣（x﹣14）2+240．
∴当温度为14℃时，最适宜，该种酶的活性值最大，为240．
故选：C．
【举一反三4】某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口．如图，要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求BC∥AD，最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.5米，BC＝2米，AD＝4米，则点C到AD的距离为 　 　米．
【答案】2
【解析】解：建立如下图所示的直角坐标系，
则可设点C（1，n），点D（3，m），
则点E（0，n+0.25），
故设抛物线的表达式为：y＝ax2+n+0.25，
将点C、D的坐标代入上式得：，
解得：n﹣m＝2，
故答案为：2．
【举一反三5】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．若水面再上升1.5m，则水面的宽度为 　 　m．
【答案】2
【解析】解：如图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
由已知可得，点（2，﹣2）在此抛物线上，
则﹣2＝a×22，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
当y＝﹣0.5时，﹣x2＝﹣0.5，
解得x＝±1，
此时水面的宽度为2m，
故答案为：2．
【举一反三6】为了弘扬耕读文化，进一步引导中学生树立正确的劳动价值观，提升劳动技能，某校搭建了一座劳动实践基地．基地中某一根黄瓜藤在钢圈的支撑下，其形状近似呈如图所示的抛物线形，黄瓜藤的藤根O和藤梢A均在地面上，以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的竖直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，矩形BCDE是钢圈的支架，边BC在x轴上，顶点D、E均在抛物线上，经测量，OA＝6dm，BC＝2dm，BE＝dm，已知图中所有的点都在同一平面内．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知在瓜藤上的点P处有一根黄瓜，点P到y轴的距离为dm，为使黄瓜不长成弯曲状（黄瓜长度大于点P到x轴的距离时，黄瓜会长成弯曲状），在黄瓜不超过多长时就应该从瓜藤上摘下？
【答案】解：（1）∵抛物线经过原点，
∴设抛物线解析式为y＝ax2+bx（a≠0）．
∵OA＝6dm，BC＝2dm，
∴点A的坐标为（6，0），OB+CA＝4（dm）．
∵四边形BCDE是矩形，
∴BE＝DC．
∴点D、E关于抛物线的对称轴对称．
∴点B、C关于抛物线的对称轴对称．
∵点O和点A关于抛物线的对称轴对称，
∴OB＝CA＝2（dm）．
∵BE＝dm，
∴E（2，）．
∴．
解得：．
∴抛物线的函数表达式：y＝﹣x2+4x；
（2）∵点P到y轴的距离为dm，
∴点P的横坐标为．
当x＝时，y＝．
答：为使黄瓜不长成弯曲状，在黄瓜不超过多长dm时就应该从瓜藤上摘下．
【举一反三7】一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为5m，宽为3m的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．
【答案】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2，
∴桥下水面宽度AB为20米，拱顶距离水面高度OC为4米，
∴点A（﹣10，﹣4），
∴﹣4＝100a，
解得：a＝﹣，
∴该抛物线的解析式y＝﹣x2；
（2）在y＝﹣x2中，设x＝得y＝﹣，
∵﹣﹣3＝﹣，
∴水面所在直线为y＝﹣，
在y＝﹣x2中，令y＝﹣得：﹣＝﹣x2，
解得x＝或x＝﹣，
∵﹣（﹣）＝5（m），
∴此时水面的宽度为5m．
【题型4】二次函数解决运动型抛物线问题
【典型例题】一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A.第3.3秒 B.第4.3秒 C.第5.2秒 D.第4.6秒
【答案】D
【解析】∵炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴方程为x=4.5．
∵4.6秒最接近4.5秒，
∴当4.6秒时，炮弹的高度最高．
【举一反三1】掷实心球是中考体育考试选考项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，共竖直高度与水平距离之间满足二次函数关系，明明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程，实心球在空中运动时的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的数据如表：
在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离为（　　）
A.6米 B.8米 C.9米 D.10米
【答案】D
【解析】解：由题意，可得抛物线的对称轴是直线x＝＝4，
∴顶点为（4，3.6）．
故可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6，
把（0，2）代入，
得a（0﹣4）2+3.6＝2．
∴a＝﹣0.1．
∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6．
令y＝0，
∴y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0．
∴﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0，
∴x1＝10或x2＝﹣2（不符合题意，舍去）．
∴实心球从起点到落地点的水平距离为10米．
故选：D．
【举一反三2】水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离S与时间t的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　）
A.小球滑行6秒停止 B.小球滑行12秒停止 C.小球向前滑行的速度不变 D.小球向前滑行的速度越来越大
【答案】A
【解析】解：如图所示：滑行的距离s与时间t的函数关系可得，当t＝6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止．根据图象可得小球滑行的距离随时间逐渐增大，速度是越来越小．
故选：A．
【举一反三3】在扬州市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　 　米．
【答案】10
【解析】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故答案为：10．
【举一反三4】小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系为：h＝﹣4t2+12t，则足球距离地面的最大高度为 　 　m．
【答案】9
【解析】解：∵h＝﹣4t2+12t，
a＝﹣4，b＝12，c＝0，
∴足球距地面的最大高度是：＝9m，
故答案为：9．
【举一反三5】“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图1，北京地铁（BeijingSubway）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．
（1）建立模型
①收集数据
②建立平面直角坐标系
为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系．
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是 　 　函数的图象．
⑤求函数解析式
解：设s＝at2+bt+c（a≠0），因为t＝0时，s＝256，所以c＝256，则s＝at2+bt+256．
请根据表格中的数据，求a，b的值．
验证：把a，b的值代入s＝at2+bt+256中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式．
（2）应用模型
列车从减速开始经过 　 　秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为 　 　米．
【答案】解：（1）③如图，
④可能是二次函数图象，
故答案为：二次；
⑤设s＝at2+bt+c（a≠0），
因为t＝0时，s＝256，所以c＝256，则s＝at2+bt+256．
把（4，196）和（8，144）代入可得，
，
解得：a＝，b＝﹣16，
∴s＝t2﹣16t+256，
当t＝12时，s＝×144﹣16×12+256＝100，
当t＝16时，s＝×256﹣16×16+256＝64，
当t＝20时，s＝×400﹣16×20+256＝36，
当t＝24时，s＝×576﹣16×24+256＝16，
∴其余几组数值都在函数图象上，减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式为s＝t2﹣16t+256；
（2）应用模型：
∵S＝t2﹣16t+256＝，
∴当s＝0时，＝0，
解得t＝32，
当t＝31时，s＝，
当t＝32时，s＝0，
∴﹣0＝（m）．
故答案为：32，．
【举一反三6】如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6m，若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，小静恰在点C（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线C2：的一部分．
（1）抛物线C1的最高点坐标为 　 　；
（2）求a，c的值；
（3）小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为 　 　．
【答案】解：（1）由题意，∵抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2，
∴抛物线 C1 的最高点坐标为的（3，2）．
故答案为：（3，2）．
（2）由题得，B（6，1）．
将B（6，1）代入抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2，
∴．
∴抛物线C1：y＝﹣（x﹣3）2+2．
∴当x＝0时，y＝c＝1．
（3）∵小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，
∴此时，点B的坐标范围是（5，1）～（7，1），
当经过（5，1）时，1＝﹣×25+×5+1+1，
解得：n＝．
当经过（7，1）时，1＝﹣×49+×7+1+1，
解得：n＝，
∴≤n≤，
∵n为整数，
∴符合条件的n的整数值为4和5．
故答案为：4或5．

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