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22.2二次函数与一元二次方程
【知识点1】抛物线与x轴的交点 1
【知识点2】图象法求一元二次方程的近似根 1
【题型1】二次函数图象与一元二次不等式之间的关系 2
【题型2】利用二次函数图象求一元二次方程的解 4
【题型3】二次函数图象与一元二次方程之间的关系 6
【知识点1】抛物线与x轴的交点
求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
【知识点2】图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）
【题型1】二次函数图象与一元二次不等式之间的关系
【典型例题】若二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+f的图象如图，当y1＜y2时，关于x的取值范围，有可能是下列不等式组解中的哪一个（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（　　）
A.ac＞0
B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3
C.不等式ax2+bx+c＜0的解集是-1＜x＜3
D.当x＞0时，y随x的增大而减小
【举一反三2】如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，该图象的对称轴是直线，与x轴的一个交点A的坐标是（﹣3，0），则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）
A.x＜﹣3或x＞2 B.﹣3＜x＜2 C.x＜﹣3或x＞4 D.﹣3＜x＜4
【举一反三3】不等式x2+ax+b≥0（a≠0）的解集为全体实数，假设f（x）=x2+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜c的解集为m＜x＜m+6，则实数c的值为_______．
【举一反三4】已知二次函数y＝x2﹣3x+2，根据其图象写出一元二次方程x2﹣3x+2﹣0的两个根分别为x1＝　 　，x2＝　 　，一元二次不等式x2﹣3x+2＞0的解集是 　 　；一元二次不等式x2﹣3x+2＜0的解集是 　 　．
【举一反三5】已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＜0的解集为　 　．
【举一反三6】已知二次函数y=x2－6x+8，求：
（1）抛物线与x轴y轴相交的交点坐标；
（2）抛物线的顶点坐标；
（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：
①方程x2－6x＋8=0的解是什么？
②x取什么值时，函数值大于0？
③x取什么值时，函数值小于0？
【题型2】利用二次函数图象求一元二次方程的解
【典型例题】如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣9中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣9＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　）
A.2 B.2.1 C.2.2 D.2.3
【举一反三1】二次函数y=-x2+mx的图象如图所示，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A.t＞-5 B.-5＜t＜3 C.3＜t≤4 D.-5＜t≤4
【举一反三2】已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是（　　）
A.-0.01＜x＜0.02 B.6.17＜x＜6.18 C.6.18＜x＜6.19 D.6.19＜x＜6.20
【举一反三3】在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是________________．
【举一反三4】利用函数图象求方程-x2+2x+2=0的实数根（精确到0.1），要先作函数_____________的图象，如图所示，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7、2.7，所以方程-x2+2x+2=0的实数根为x1≈________，x2≈__________．
【举一反三5】二次函数的图象如图，对称轴为x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是____________．
【举一反三6】小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程x2-x-1=0的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．如图，把方程x2-x-1=0的解看成是二次函数y=___________的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．
（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解．
①把方程x2-x-1=0的解看成是二次函数y=______的图象与一个一次函数y=_________的图象交点的横坐标；
②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．
【题型3】二次函数图象与一元二次方程之间的关系
【典型例题】已知二次函数y＝x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的解为（　　）
A.x1＝3，x2＝1 B.x1＝﹣3，x2＝1 C.x1＝﹣3，x2＝3 D.x1＝﹣3，x2＝﹣1
【举一反三1】已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a，x2=b（a＜b），则二次函数y=x2+mx+n中，当y＜0时，x的取值范围是（　　）
A.x＜a B.x＞b C.a＜x＜b D.x＜a或x＞b
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB=3，则点M到直线l的距离为（　　）
A. B. C.2 D.
【举一反三3】二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的关系：
（1）抛物线与x轴有两个交点，则对应方程ax2+bx+c＝0的判别式　 　；反之，方程ax2+bx+c＝0的判别式　 　，则抛物线与x轴有两个交点；
（2）抛物线与x轴只有一个交点，则对应方程ax2+bx+c＝0的判别式　 　；反之，方程ax2+bx+c＝0的判别式　 　，则抛物线与x轴有　 　；
（3）抛物线与x轴没有交点，则对应方程ax2+bx+c＝0的判别式　 　；反之，方程ax2+bx+c＝0的判别式　 　，则抛物线与x轴　 　．
【举一反三4】若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是__________．
【举一反三5】若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是_________．
【举一反三6】已知抛物线y＝ax2+2x+c经过A（1，0），B（0，﹣3）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若k是图象与x轴交点的横坐标，求M的值．
【举一反三7】已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝﹣1和x＝5时的函数值相等．
（1）求二次函数y＝x2﹣ax+b图象的对称轴；
（2）若二次函数y＝x2﹣ax+b的图象与x轴只有一个交点，求b的值．22.2二次函数与一元二次方程
【知识点1】抛物线与x轴的交点 1
【知识点2】图象法求一元二次方程的近似根 1
【题型1】二次函数图象与一元二次不等式之间的关系 2
【题型2】利用二次函数图象求一元二次方程的解 6
【题型3】二次函数图象与一元二次方程之间的关系 10
【知识点1】抛物线与x轴的交点
求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
【知识点2】图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）
【题型1】二次函数图象与一元二次不等式之间的关系
【典型例题】若二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+f的图象如图，当y1＜y2时，关于x的取值范围，有可能是下列不等式组解中的哪一个（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图形可以看出：抛物线y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx+f（k≠0）的交点横坐标分别为-1，1，
当y1＜y2时，x的取值范围正好在两交点之间，即-1＜x＜1．
而选项中只有A的不等式组的解为-1＜x＜1．
【举一反三1】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（　　）
A.ac＞0
B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3
C.不等式ax2+bx+c＜0的解集是-1＜x＜3
D.当x＞0时，y随x的增大而减小
【答案】B
【解析】A．∵抛物线的开口向下，∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，故本选项错误；
B．∵抛物线的对称轴为x=1，与x轴的一个交点是（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（-1，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；
C．∵由图可知当x＜-1或x＞3时，抛物线在x轴的下方，
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜-1或x＞3，故本选项错误；
D．由图可知，当0＜x＜1时，y随x的增大而增大，故本选项错误．
【举一反三2】如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，该图象的对称轴是直线，与x轴的一个交点A的坐标是（﹣3，0），则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）
A.x＜﹣3或x＞2 B.﹣3＜x＜2 C.x＜﹣3或x＞4 D.﹣3＜x＜4
【答案】A
【解析】解：∵图象的对称轴是直线，与x轴的一个交点A的坐标是（﹣3，0），
∴图象与x轴的另一个交点为（2，0），
∴关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣3或x＞2，
故选：A．
【举一反三3】不等式x2+ax+b≥0（a≠0）的解集为全体实数，假设f（x）=x2+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜c的解集为m＜x＜m+6，则实数c的值为_______．
【答案】9
【解析】∵不等式x2+ax+b≥0的解为全体实数，
∴函数f（x）=x2+ax+b的图象与x轴只有一个交点，即△=a2-4b=0，则b=，
∵不等式f（x）＜c的解集为m＜x＜m+6，
∴x2+ax+＜c的解集为m＜x＜m+6．
∴x2+ax+-c=0的两根为m，m+6．
∴|m+6-m|=，解得c=9．
【举一反三4】已知二次函数y＝x2﹣3x+2，根据其图象写出一元二次方程x2﹣3x+2﹣0的两个根分别为x1＝　 　，x2＝　 　，一元二次不等式x2﹣3x+2＞0的解集是 　 　；一元二次不等式x2﹣3x+2＜0的解集是 　 　．
【答案】1，2；x＜1或x＞2；1＜x＜2
【解析】解：将y＝0代入y＝x2﹣3x+2得，
x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2．
所以一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根分别为x1＝1，x2＝2．
故答案为：1，2；
一元二次不等式x2﹣3x+2＞0，即令y＞0．
由二次函数y＝x2﹣3x+2的图象在x轴上方部分x的取值范围是：x＜1或x＞2得，
一元二次不等式x2﹣3x+2＞0的解集为：x＜1或x＞2．
故答案为：x＜1或x＞2．
一元二次不等式x2﹣3x+2＞0，即令y＜0．
由二次函数y＝x2﹣3x+2的图象在x轴下方部分x的取值范围是：1＜x＜2得，
一元二次不等式x2﹣3x+2＜0的解集为：1＜x＜2．
故答案为：1＜x＜2．
【举一反三5】已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＜0的解集为　 　．
【答案】x＜﹣1或x＞3
【解析】解：由图可知，对称轴为直线x＝1，
所以，二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
所以，﹣x2+2x+m＜0的解集为x＜﹣1或x＞3．
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
【举一反三6】已知二次函数y=x2－6x+8，求：
（1）抛物线与x轴y轴相交的交点坐标；
（2）抛物线的顶点坐标；
（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：
①方程x2－6x＋8=0的解是什么？
②x取什么值时，函数值大于0？
③x取什么值时，函数值小于0？
【答案】解：（1）由题意，得x2－6x+8=0．则（x－2）(x－4）= 0，x1=2，x2=4．
所以与x轴交点为（2,0）和（4，0）当x1=0时，y=8．
所以抛物线与y轴交点为（0，8），抛物线的顶点坐标为（3，－1）
（2）
（3）如图所示．
①由图象知，x2－6x+8=0的解为x1=2，x2=4．
②当x＜2或x＞4时，函数值大于0；
③当2＜x＜4时，函数值小于0．
【题型2】利用二次函数图象求一元二次方程的解
【典型例题】如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣9中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣9＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　）
A.2 B.2.1 C.2.2 D.2.3
【答案】C
【解析】解：当x＝2.1时，y＝﹣0.39；当x＝2.2时，y＝0.24．
∵0.24更接近于0，
∴方程的一个近似根为2.2．
故选：C．
【举一反三1】二次函数y=-x2+mx的图象如图所示，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A.t＞-5 B.-5＜t＜3 C.3＜t≤4 D.-5＜t≤4
【答案】D
【解析】如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=-5，
由图象可知关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴-5＜t≤4．
【举一反三2】已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是（　　）
A.-0.01＜x＜0.02 B.6.17＜x＜6.18 C.6.18＜x＜6.19 D.6.19＜x＜6.20
【答案】C
【解析】由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是________________．
【答案】-1＜x2＜0
【解析】由图象可知x=2时，y＜0；x=3时，y＞0；
由于直线x=1是它的对称轴，
则由二次函数图象的对称性可知：x=0时，y＜0；x=-1时，y＞0；
所以另一个根x2的取值范围为-1＜x2＜0．
【举一反三4】利用函数图象求方程-x2+2x+2=0的实数根（精确到0.1），要先作函数_____________的图象，如图所示，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7、2.7，所以方程-x2+2x+2=0的实数根为x1≈________，x2≈__________．
【答案】y=-2x2+2x+2；-0.7；2.7
【解析】由函数图象求方程-x2+2x+2=0的实数根（精确到0.1），要先作函数 y=-2x2+2x+2的图象，如图所示，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7、2.7，所以方程-x2+2x+2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7.
【举一反三5】二次函数的图象如图，对称轴为x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是____________．
【答案】-1≤t＜8
【解析】对称轴为直线x=-=1，
解得b=-2，
所以二次函数解析式为y=x2-2x，
y=（x-1）2-1，
x=-1时，y=1+2=3，
x=4时，y=16-2×4=8，
∵x2+bx-t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当-1≤t＜8时，在-1＜x＜4的范围内有解．
【举一反三6】小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程x2-x-1=0的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．如图，把方程x2-x-1=0的解看成是二次函数y=___________的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．
（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解．
①把方程x2-x-1=0的解看成是二次函数y=______的图象与一个一次函数y=_________的图象交点的横坐标；
②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．
【答案】解：（1）由原方程，得 (x-)2-=0，即(x-)2=；
解得x1=，x2=．
（2）设二次函数方程为y=ax2+bx+c（a，b，c均为实数，且a≠0）．
由图象得知，该函数过点（0，-1），所以该点满足方程y=ax2+bx+c，
∴把（0，-1）代入方程y=ax2+bx+c，得c=-1，①
二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2-x-1=0的解；
∴x1 x2==-1，即c=-a；②
x1+x2=-=1；③
由①②③，得；
∴二次函数方程为y=x2-x-1．
（3）
【题型3】二次函数图象与一元二次方程之间的关系
【典型例题】已知二次函数y＝x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的解为（　　）
A.x1＝3，x2＝1 B.x1＝﹣3，x2＝1 C.x1＝﹣3，x2＝3 D.x1＝﹣3，x2＝﹣1
【答案】B
【解析】解：由函数图象，得二次函数y＝x2+2x+m经过（﹣3，0）这一点，
把（﹣3，0）代入y＝x2+2x+m，得：
0＝9﹣6+m，
解得：m＝﹣3，
∴y＝x2+2x﹣3，
∴x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1．
故选：B．
【举一反三1】已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a，x2=b（a＜b），则二次函数y=x2+mx+n中，当y＜0时，x的取值范围是（　　）
A.x＜a B.x＞b C.a＜x＜b D.x＜a或x＞b
【答案】C
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a，x2=b（a＜b），
∴二次函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标分别是（a，0）、（b，0）（a＜b），且抛物线的开口方向向上，
∴该二次函数的图象如图所示：
根据图示知，符合条件的x的取值范围是a＜x＜b．
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB=3，则点M到直线l的距离为（　　）
A. B. C.2 D.
【答案】B
【解析】抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴Δ=b2-4ac=0，∴b2-4c=0，
设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c=m两根的差为3，
可得b2-4（c-m）=9，解得m=．
【举一反三3】二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的关系：
（1）抛物线与x轴有两个交点，则对应方程ax2+bx+c＝0的判别式　 　；反之，方程ax2+bx+c＝0的判别式　 　，则抛物线与x轴有两个交点；
（2）抛物线与x轴只有一个交点，则对应方程ax2+bx+c＝0的判别式　 　；反之，方程ax2+bx+c＝0的判别式　 　，则抛物线与x轴有　 　；
（3）抛物线与x轴没有交点，则对应方程ax2+bx+c＝0的判别式　 　；反之，方程ax2+bx+c＝0的判别式　 　，则抛物线与x轴　 　．
【答案】（1）Δ＞0 Δ＞0（2）Δ＝0 Δ＝0 一个交点（3）Δ＜0 Δ＜0 没有交点
【解析】（1）抛物线与x轴有两个交点，则对应方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＞0；反之，方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＞0，则抛物线与x轴有两个交点；
（2）抛物线与x轴只有一个交点，则对应方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝0；反之，方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝0，则抛物线与x轴有一个交点；
（3）抛物线与x轴没有交点，则对应方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＜0；反之，方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＜0，则抛物线与x轴没有交点．
故答案为Δ＞0，Δ＞0；Δ＝0，Δ＝0，一个交点；Δ＜0，Δ＜0．
【举一反三4】若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是__________．
【答案】m＞1
【解析】∵二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，
∴方程x2+2x+m=0没有实数根，
∴判别式Δ=22-4×1×m＜0，解得m＞1.
【举一反三5】若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是_________．
【答案】m＜1
【解析】∵二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴4-4m＞0，
∴m＜1．
【举一反三6】已知抛物线y＝ax2+2x+c经过A（1，0），B（0，﹣3）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若k是图象与x轴交点的横坐标，求M的值．
【答案】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过A（1，0），B（0，﹣3）两点，
把A（1，0），B（0，﹣3）代入得：
，
解得，，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）由（1）知：y＝x2+2x﹣3
令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，
解得，x1＝1，x2＝﹣3，
∵k是图象与x轴交点的横坐标，
∴k1＝1，k2＝﹣3，
∵，
∴，
当k＝1时，；
当k＝﹣3时，，
∴，
综上，M的值为．
【举一反三7】已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝﹣1和x＝5时的函数值相等．
（1）求二次函数y＝x2﹣ax+b图象的对称轴；
（2）若二次函数y＝x2﹣ax+b的图象与x轴只有一个交点，求b的值．
【答案】解：（1）由题意，∵二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝﹣1和x＝5函数值相等，
∴对称轴为直线x＝＝2．
（2）由（1）得，对称轴是直线x＝2＝，
∴a＝4．
∴抛物线为y＝x2﹣4x+b．
又因为二次函数y＝x2﹣ax+b的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝16﹣4b＝0．∴b＝4．

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