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24.3正多边形和圆
【知识点1】正多边形和圆 1
【题型1】正多边形的综合与圆 1
【题型2】正六边形与圆 9
【题型3】正三角形、正四边形、正五边形与圆 16
【题型4】其它正多边形与圆 21
【知识点1】正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
【题型1】正多边形的综合与圆
【典型例题】如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，若⊙O的半径为6，则四边形ACDF的周长是（　　）
A. B. C. D.6+12
【答案】C
【解析】解：如图，连接OA，OF，OD，过点O作OM⊥DF于点M，则FM＝DM＝DF，
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴∠AOF＝＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是正三角形，
∴AF＝OA＝6，
在Rt△FOM中，∠OFM＝90°﹣60°＝30°，OF＝6，
∴FM＝OF＝3，
∴DF＝2FM＝6，
∴四边形ACDF的周长是2AF+2DF＝12+12，
故选：C．
【举一反三1】如图，O是正六边形ABCDEF的中心，图中可以通过一次旋转与△ABF重合的三角形（△ABF自身除外）的个数是（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
【解析】解：将△BOD，即将△①绕着点B逆时针旋转到BO与BA重合时，△BOD就与△BAF重合；
将△FOD，即将△②绕着点F顺时针旋转到FO与FA重合时，△FOD就与△BAF重合；
将△BOF，即将△③绕着BF的中点，逆时针旋转180°与△BAF重合；
将△BCD，即将△④绕着点O顺时针旋转到OB与OF重合时，△BCD就与△BAF重合；
将△FDE，即将△⑤绕着点O逆时针旋转到OF与OB重合时，△FDE就与△BAF重合；
即图中△①，△②，△③，△④，△⑤可以通过1次旋转与△ABF重合，
故选：D．
【举一反三2】如图，AB，CD分别是⊙O的内接正十边形和正五边形的边，AD，BC交于点P，则∠APC的度数为（　　）
A.126° B.127° C.128° D.129°
【答案】A
【解析】如图，连接OA、OB、OC、OD、BD，
∵AB，CD分别是⊙O的内接正十边形和正五边形的边，
∴∠AOB＝＝36°，∠COD＝＝72°，
∴∠ADB＝∠AOB＝18°，∠CBD＝∠COD＝36°，
∴∠APC＝∠BPD＝180°﹣18°﹣36°＝126°，
故选：A．
【举一反三3】如图，画出了⊙O的内接正四边形和内接正五边形，且点A在B，C之间，则∠ABC＝（　　）
A.6° B.9° C.12° D.18°
【答案】B
【解析】解：如图，连接OB，OA，OC，
则，°，
∴∠AOC＝90°﹣72°＝18°，
则．
故选：B．
【举一反三4】某装修公司拟用三种边长相同的正多边形地砖无缝除、无重叠的铺满整个客厅，如图所示，已知点A周围有三块地砖，则第三块地砖的边数为 　 　．
【答案】12
【解析】解：正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°，
因此第三块地砖的每一个内角为：360°﹣120°﹣90°＝150°，
设第三快地砖的边数为n，则有，
＝150°，
解得，n＝12，
故答案为：12．
【举一反三5】如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则（1）⊙O的直径长为 　 　；（2）△AMN周长的最小值是 　 　．
【答案】2，4
【解析】解：∵⊙O的面积为2π，
∴圆的半径为，
∴BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，
∴四边形MCA′N为平行四边形，
∴A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
∴A′A＝＝3，
∴△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故答案为：2，4．
【举一反三6】某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形的边长为1cm，目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案 　 　，两种方案底面积差为 　 　（结果保留根号）．
【答案】方案二，（9π﹣12）（cm2）
【解析】解：如图1中，圆的半径为3，
∴底面积为9π（cm2）．
如图2中，连接OA，OD．
∵OD＝2cm，∠OAD＝30°，∠ADO＝90°，
∴OA＝2OD＝4cm，
∴AD＝＝2（cm），
∴等边三角形的边长AC＝4（cm），
∴底面积＝×（4）2＝12（cm2）＜9π（cm2），
∴等边三角形作为底面时，面积比较小，底面积为12cm2，
两种方案底面积差为（9π﹣12）（cm2），
故答案为：方案二，（9π﹣12）（cm2）．
【举一反三7】把圆分成n（n≥3）等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，⊙O的半径是R，分别求它的外切正三角形，外切正方形，外切六边形的边长．
【答案】解：如图，外切正三角形时，∠AOD=360°÷6=60°，
∠OAD=30°，
∴OA=2OD
∴OD=R
由勾股定理，得AD=R，
所以，外切正三角形边长AB=2AD=2R.
外切正方形时，∠AOD=360°÷8=45°，
所以，△AOD是等腰直角三角形，
所以，AD=OD，
外切正方形的边长AB=2AD=2R；
外切六边形时，∠AOD=360°÷12=30°，
∴OA=2AD
∴AD=R
由勾股定理，得AD=R，
所以，外切六边形的边长AB=2AD=R．
【举一反三8】用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现在四种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大？
【答案】解：当绿化场地是正三角形时，
∵周长是48m,
∴正三角形的边长是16m,
∴正三角形的面积是×162=64（m2）；
当绿化场地是正方形时，
∵周长是48m,
∴正方形的边长是12m,
∴正方形的面积是12×12=144（m2）；
当绿化场地是正正六边形时，
∵周长是48m,
∴正六边形的边长是8m,
∴正六边形的面积是×82×6=96≈166.3（m2）；
当绿化场地是圆时，
∵周长是48m,
∴圆的半径是m,
∴圆的面积是π×()2≈183.4（m2）．
∴圆的面积最大．
【题型2】正六边形与圆
【典型例题】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，已知⊙O的半径为1，连接OA，OE，则四边形AOEF的周长为（　　）
A.6 B. C.4 D.
【答案】C
【解析】连接OF，如解图所示．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOF＝∠EOF＝60°．
又∵OA＝OF＝OE＝1，
∴△AOF，△EOF 均为等边三角形．
∴OA＝OE＝EF＝AF＝1．
∴四边形AOEF的周长为1×4＝4，
故选C．
【举一反三1】已知，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若四边形AOEF的面积为，则⊙O的半径等于（　　）
A.1 B.2 C. D.
【答案】B
【解析】解：连接OF，AE，相交点G，
∵，正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOF＝∠EOF＝60°，
∵OE＝OF＝OA，
∴△AOF，△EOF均为等边三角形，
∴OE＝OF＝OA＝AF＝EF，
∴四边形AOEF是菱形，
∴AE⊥OF，AG＝GE，
∴∠EOG=30°
∴OE=2OG
由勾股定理，得GE=OE
∴．
∵，
∴，
∴OF＝2（负值舍去）．
故选：B．
【举一反三2】如图，点O是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，若S正六边形ABCDEF＝30，则阴影部分的面积为（　　）
A.10 B.15 C.20 D.随点O位置而变化
【答案】B
【解析】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝FE，BC＝ED，∠ABC＝∠FED，
∴△ABC≌△FED，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B＝∠BAF＝∠AFE＝120°，
∵BC＝ED，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴∠CAF＝90°，
同理∠AFD＝∠FDC＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
连接CF，
∵四边形ACDF是矩形，
∴S△ACF＝S△DCF
根据三角形面积公式可得：
S△ACO＝S△ACF，
∴S△ABC+S△ACO＝S△FED+S△FCD，
即：阴影部分的面积＝S正六边形ABCDEF＝15．
故选：B．
【举一反三3】如图，正六边形螺帽的边长是4，那么这个正六边形半径和扳手的开口的值分别是（　　）
A.2， B.4， C.4， D.4，
【答案】D
【解析】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OC，OB，AB，AB与OC交于G，
则∠AOC＝＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝4cm，
即这个正六边形半径R为4cm；
∵△AOC是等边三角形，
同理△BOC是等边三角形，
∴AC＝OA＝OB＝BC，
∴四边形ACBO是菱形，
∴AB⊥OC，∠CAG＝CAO＝30°，
∵AC＝4cm，
∴CG＝2cm，
∴AG＝＝2（cm），
∴a＝AB＝4（cm），
即a的值是4cm，
故选：D．
【举一反三4】大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，如图所示，若边心距，则这个正六边形的面积是 　 　mm2．
【答案】
【解析】解：连接OB，OC，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴OB＝BC＝OC，
∵OM⊥BC，
∴，，
∴，
根据勾股定理得：BO2﹣BM2＝OM2，
即，
解得：BO＝2，负值舍去，
∴BC＝BO＝2mm，
∴，
∴．
故答案为：．
【举一反三5】蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是 　 　．
【答案】6
【解析】解：∵正六边形的内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠1＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
由图可得：用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是6个，
故答案为：6．
【举一反三6】如图，点M是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，若AB＝2，则阴影部分的面积为 　 　．
【答案】6
【解析】解：如图，连接AC，过点B作BG⊥AC于点G，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝＝120°，AB＝BC＝CD＝AF＝2，
∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝60°，
在Rt△ABG中，AB＝2，∠ABG＝60°，
∴BG＝AB＝，AG＝AB＝，
∴AC＝2AG＝2，
∴S阴影部分＝S△ABC+S△AMC
＝×2×+×2×2
＝6．
【举一反三7】如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，过点D作⊙O的切线，交AF的延长线于点P，连接FD，AD，⊙O的半径为6．
（1）求∠ADF的度数；
（2）求线段PD的长；
（3）若点M为FD上一点（不与点F，D重合），连接AM，CM，直接写出△AFM与△CDM的面积之和．
【答案】解：（1）如图，连接FO，
∵正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，
∴AD为⊙O的直径，∠AFD＝90°，
∴∠AOF＝60°，
∴；
（2）∵PD与⊙O相切，AD为⊙O的直径，
∴∠ADP＝90°，
∵正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，
∠PAD＝64°，
在Rt△PAD中，AD＝12，
∴；
（3）S△AFM+S△CDM＝S△AFM+S△AMD＝S△AFD，
在Rt△AFD中，∠ADF=30°
∴AD=2AF=12
∴AF=6
由勾股定理，得DF＝6，
∴，
∴．
【题型3】正三角形、正四边形、正五边形与圆
【典型例题】如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（　　）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C
【解析】解：∵正五边形的每个内角为180°×（5﹣2）÷5＝108°，
∴组成的正多边形的每个内角为360°﹣2×108°﹣24°＝120°，
∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
∴形成的正多边形为正n边形，则，
解得：n＝6．
故选：C．
【举一反三1】在学习了圆后，数学兴趣小组的同学开始了对正五边形拼接的图案设计，小明将有公共顶点O的两个边长为4的正五边形（不重叠），以点O为圆心，4为半径作弧，构成一个“盛装芭蕾”形图案（阴影部分），则这个“盛装芭蕾”形图案的面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：正五边形的内角为：，
∴阴影部分的扇形圆心角的和为：360°﹣2×108°＝144°，
∴阴影部分面积为：，
故选：C．
【举一反三2】如图，正五边形ABCDE中，点F是CD的中点，连接AC，AF，则∠CAF的度数为（　　）
A.15° B.18° C.22.5° D.30°
【答案】B
【解析】如图，连接AD，
∵正五边形ABCDE中，
∴AB＝AE＝BC＝DE，∠B＝∠E，
在△ABC与△AED中，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴∠BAC＝∠EAD，AC＝AD，
∵F为CD边中点，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B＝∠BCD＝＝108°，BA＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ACF＝∠BCD﹣∠BCA＝72°，
∴∠CAF＝90°﹣∠ACF＝18°，
故选：B．
【举一反三3】如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（　　）
A.10 B.9 C.8 D.7
【答案】D
【解析】解：∵五边形的内角和为（5﹣2） 180°＝540°，
∴正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，
则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：D．
【举一反三4】如图，以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A′B′CD′E′的顶点D′落在BC 的延长线上，则正五边ABCDE旋转的最小度数为 　 　．
【答案】72°
【解析】解：如图，正五边形ABCDE的外角∠DCM＝＝72°，
即将正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A′B′CD′E′的顶点D′落在BC 的延长线上，则正五边ABCDE旋转的最小度数为72°，
故答案为：72°．
【举一反三5】如图，点F为正五边形ABCDE的边CD的中点，连接AC、AF，则∠CAF的度数为 　 　°．
【答案】18
【解析】解：连接AD，
∵点F为正五边形ABCDE的边CD的中点，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，，
，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD＝36°，
∴∠ACF＝108°﹣36°＝72°，∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝180°﹣∠ACF﹣∠AFC＝180°﹣72°﹣90°＝18°，
故答案为：18．
【举一反三6】要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？
【答案】解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，AB=a,
∴AC⊥BD，AO=BO，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
由勾股定理，得⊙O的半径AO=a,
∴选用的圆形铁片的半径至少是a.
【举一反三7】如图，H，I，J，K，L分别是正五边形ABCDE各边的中点.求证：五边形HIJKL是正五边形.
【答案】证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，AB=BC=CD=DE=AE，
∵H、I、J、K、L分别是正五边形ABCDE各边的中点，
∴AI=BI=BJ=CJ=CK=DK=DL=EL=EH=AH，
∴∠AHI=∠AIH=∠BIJ=∠BJI=∠CJK=∠CKJ=∠DKL=∠DLK=∠ELH=∠EHL，
∴∠HIJ=∠IJK=∠JKL=∠KLH=∠LHI，
在△AHI和△BIJ和△CIK和△DKL和△ELH中，
，
∴△AHI≌△BIJ≌△CJK≌△DKL≌△ELH（SAS）
∴TJ=JK=KL=HL=HI，
∴五边形HIJKL是正五边形．
【题型4】其它正多边形与圆
【典型例题】正八边形的中心角的度数为（　　）
A.36° B.45° C.60° D.72°
【答案】B
【解析】正八边形的中心角的度数＝360°÷8＝45°．
【举一反三1】如图，弦AB，BC是⊙O内接正八边形的两条边，D是优弧AC上一点，则∠ADC的度数为（　　）
A.22.5° B.30° C.45° D.67.5°
【答案】C
【解析】解：∵正八边形的内角和为180°（8﹣2）＝1080°，
∴每个内角为1080°÷8＝135°，
∴∠B＝135°，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣135°＝45°，
故选：C．
【举一反三2】半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为120°，则这个内接正多边形的边长为（　　）
A.1 B.2 C. D.
【答案】B
【解析】解：∵正多边形的每个内角都相等，且为120°，
∴其一个外角度数为180°﹣120°＝60°，
则这个正多边形的边数为360°÷60°＝6，
∴三角形AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2，
故选：B．
【举一反三3】刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利出圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率．如图，多边形A1A2A3…An是⊙O的内接正n边形．已知⊙O的半径为r，∠A1OA2的度数为α，点O到A1A2的距离为d，△A1OA2的面积为S．下面推断中，
①当n变化时，α随n的变化而变化，α与n满足函数关系．
②无论n，r为何值，总有nS＝πr2．
其中正确的是 　 　．（填序号）．
【答案】①
【解析】解：①当n变化时，α随n的变化而变化，α与n满足函数关系α＝，故①符合题意；
②当n＝6时，d＝r，CD＝r，
∴ns＝6×，r×r＝r2≠πr2故③不符合题意；
故答案为：①
【举一反三4】如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，连接OA、OB，则∠AOB＝　 　°．
【答案】45
【解析】解：∵点O是正八边形ABCDEFGH的中心，
∴∠AOB为正八边形ABCDEFGH的中心角，
∵中心角和为360°，且正多边形中心角相等，
∴∠AOB＝360°÷8＝45°．
故答案为：45．
【举一反三5】古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点O为中心，共有内外两圈，均可以绕着点O旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H8个点将圆八等分，内圈仅有J，K两个点，且点A，K，O，J四点共线，连结AO，OD．
（1）求∠AOD的度数；
（2）固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过6s．求外圈只转一周且当JK与∠AOD一边垂直时，经过多少时间？
【答案】解：（1）由题意得，将圆8等分，∠AOD占其中的3份，
∴；
（2）由题意得，外圈转动速度为 360°÷6＝60°/s，
分类讨论可得：①当JK⊥AO时，点A在右侧半圆上，时间 ，
点A在左侧半圆上，时间 ，
②当 JK⊥DO时，点D在右侧半圆上，时间 ，
点D在左侧半圆上，时间 ，
综上所述，外圈只转一周且当JK与∠AOD一边垂直时，经过1.5s或4.5s或．
【举一反三6】如图所示，已知正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AC、BD，相交于点P，若⊙O的半径为1．
（1）求AC的长；
（2）求∠APD的度数．
【答案】解：（1）如图，连接OA，OB，设OB与AC交于点Q，
由题意可知，QA＝QC，OB⊥AC，
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOB＝＝45°，
∵OA=1
∴由勾股定理，得QA＝OQ＝，
∴AC＝2QA＝；
（2）∵所对的圆心角为5∠AOB＝225°，
∴所对的圆周角为∠ABD＝×225°＝112.5°，
∵∠BAC＝×45°＝22.5°，
∴∠APD＝∠ABD+∠BAC＝135°．24.3正多边形和圆
【知识点1】正多边形和圆 1
【题型1】正多边形的综合与圆 1
【题型2】正六边形与圆 3
【题型3】正三角形、正四边形、正五边形与圆 6
【题型4】其它正多边形与圆 7
【知识点1】正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
【题型1】正多边形的综合与圆
【典型例题】如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，若⊙O的半径为6，则四边形ACDF的周长是（　　）
A. B. C. D.6+12
【举一反三1】如图，O是正六边形ABCDEF的中心，图中可以通过一次旋转与△ABF重合的三角形（△ABF自身除外）的个数是（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三2】如图，AB，CD分别是⊙O的内接正十边形和正五边形的边，AD，BC交于点P，则∠APC的度数为（　　）
A.126° B.127° C.128° D.129°
【举一反三3】如图，画出了⊙O的内接正四边形和内接正五边形，且点A在B，C之间，则∠ABC＝（　　）
A.6° B.9° C.12° D.18°
【举一反三4】某装修公司拟用三种边长相同的正多边形地砖无缝除、无重叠的铺满整个客厅，如图所示，已知点A周围有三块地砖，则第三块地砖的边数为 　 　．
【举一反三5】如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则（1）⊙O的直径长为 　 　；（2）△AMN周长的最小值是 　 　．
【举一反三6】某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形的边长为1cm，目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案 　 　，两种方案底面积差为 　 　（结果保留根号）．
【举一反三7】把圆分成n（n≥3）等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，⊙O的半径是R，分别求它的外切正三角形，外切正方形，外切六边形的边长．
【举一反三8】用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现在四种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大？
【题型2】正六边形与圆
【典型例题】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，已知⊙O的半径为1，连接OA，OE，则四边形AOEF的周长为（　　）
A.6 B. C.4 D.
【举一反三1】已知，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若四边形AOEF的面积为，则⊙O的半径等于（　　）
A.1 B.2 C. D.
【举一反三2】如图，点O是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，若S正六边形ABCDEF＝30，则阴影部分的面积为（　　）
A.10 B.15 C.20 D.随点O位置而变化
【举一反三3】如图，正六边形螺帽的边长是4，那么这个正六边形半径和扳手的开口的值分别是（　　）
A.2， B.4， C.4， D.4，
【举一反三4】大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，如图所示，若边心距，则这个正六边形的面积是 　 　mm2．
【举一反三5】蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是 　 　．
【举一反三6】如图，点M是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，若AB＝2，则阴影部分的面积为 　 　．
【举一反三7】如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，过点D作⊙O的切线，交AF的延长线于点P，连接FD，AD，⊙O的半径为6．
（1）求∠ADF的度数；
（2）求线段PD的长；
（3）若点M为FD上一点（不与点F，D重合），连接AM，CM，直接写出△AFM与△CDM的面积之和．
【题型3】正三角形、正四边形、正五边形与圆
【典型例题】如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（　　）
A.4 B.5 C.6 D.7
【举一反三1】在学习了圆后，数学兴趣小组的同学开始了对正五边形拼接的图案设计，小明将有公共顶点O的两个边长为4的正五边形（不重叠），以点O为圆心，4为半径作弧，构成一个“盛装芭蕾”形图案（阴影部分），则这个“盛装芭蕾”形图案的面积为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，正五边形ABCDE中，点F是CD的中点，连接AC，AF，则∠CAF的度数为（　　）
A.15° B.18° C.22.5° D.30°
【举一反三3】如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（　　）
A.10 B.9 C.8 D.7
【举一反三4】如图，以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A′B′CD′E′的顶点D′落在BC 的延长线上，则正五边ABCDE旋转的最小度数为 　 　．
【举一反三5】如图，点F为正五边形ABCDE的边CD的中点，连接AC、AF，则∠CAF的度数为 　 　°．
【举一反三6】要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？
【举一反三7】如图，H，I，J，K，L分别是正五边形ABCDE各边的中点.求证：五边形HIJKL是正五边形.
【题型4】其它正多边形与圆
【典型例题】正八边形的中心角的度数为（　　）
A.36° B.45° C.60° D.72°
【举一反三1】如图，弦AB，BC是⊙O内接正八边形的两条边，D是优弧AC上一点，则∠ADC的度数为（　　）
A.22.5° B.30° C.45° D.67.5°
【举一反三2】半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为120°，则这个内接正多边形的边长为（　　）
A.1 B.2 C. D.
【举一反三3】刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利出圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率．如图，多边形A1A2A3…An是⊙O的内接正n边形．已知⊙O的半径为r，∠A1OA2的度数为α，点O到A1A2的距离为d，△A1OA2的面积为S．下面推断中，
①当n变化时，α随n的变化而变化，α与n满足函数关系．
②无论n，r为何值，总有nS＝πr2．
其中正确的是 　 　．（填序号）．
【举一反三4】如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，连接OA、OB，则∠AOB＝　 　°．
【举一反三5】古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点O为中心，共有内外两圈，均可以绕着点O旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H8个点将圆八等分，内圈仅有J，K两个点，且点A，K，O，J四点共线，连结AO，OD．
（1）求∠AOD的度数；
（2）固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过6s．求外圈只转一周且当JK与∠AOD一边垂直时，经过多少时间？
【举一反三6】如图所示，已知正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AC、BD，相交于点P，若⊙O的半径为1．
（1）求AC的长；
（2）求∠APD的度数．

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