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25.2用列举法求概率
【知识点1】游戏公平性 1
【知识点2】列表法与树状图法 1
【题型1】列表法或画树状图法求概率 2
【题型2】直接列举法求概率 5
【题型3】三步试验概率 7
【题型4】用概率解决游戏公平性问题 9
【知识点1】游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率=．
【知识点2】列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
【题型1】列表法或画树状图法求概率
【典型例题】如图所示的两张扑克牌除正面图案外其他完全相同，将这两张扑克牌从正中间（沿图中虚线）剪断，得到四张形状大小相同的卡片．将四张卡片洗匀后背面朝上，从中随机抽取一张，不放回，接着再随机抽取一张，则抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的概率是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：将这两张扑克牌从正中间剪断，分别记为A，B，C，D，其中A和B能拼成一张完整扑克牌，C和D能拼成一张完整扑克牌，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的结果有：AB，BA，CD，DC，共4种，
∴抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的概率为．
故选：B．
【举一反三1】从﹣2，﹣，0，4中任取两个数，记为m，n．满足mn＞0的概率是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意画图如下：
共有12种情况，其中满足mn＞0的有2种结果，
所以满足mn＞0的概率是＝．
【举一反三2】一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据树形图，可知
蚂蚁可选择食物的路径有6条，即有6种等可能的结果，
有食物的有两条．
所以它获取食物的概率．
【举一反三3】化学实验课上，张老师带来了Mg（镁）、AI（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg、AI、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是 　 　．
【答案】
【解析】解：设Mg用A表示、AI用B表示、Zn用C表示，Cu用D表示，
根据题意，画树状图如下：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的有9种，
∴二人所选金属均能置换出氢气的概率是，
故答案为．
【举一反三4】深圳市去年中考首次对九年级学生进行了物理，化学实验操作考试，其中化学实验操作考试有3个考题[分别记为A、B、C供学生选择，每个学生都可以从3个考题中随机抽取一个考题进行操作，如果每一个考题被抽到的机会均等，那么甲乙两个学生抽到的考题都是A的概率是　　．
【答案】
【解析】画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中甲乙两个学生抽到的考题都是A的有1种结果，
所以甲乙两个学生抽到的考题都是A的概率为．
【举一反三5】长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区.甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区.他们准备了3张不透明的卡片,正面分别写上长白山、松花湖、净月潭.卡片除正面景区名称不同外其余均相同,将3张卡片正面朝下洗匀,甲先从中随机抽取一张卡片,记下景区名称后正面朝下放回,洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片,请用画树状图或列表的方法,求两人都决定去长白山的概率.
画树状图如下:
【答案】解 由图知,两人都决定去长白山的概率为.
【题型2】直接列举法求概率
【典型例题】在x2□2xy□y2的空格□中,分别填上“+”或“-”,在所得的代数式中,能构成完全平方式的概率是(　　)
A.1 B. C. D.
【答案】C
【解析】能够凑成完全平方公式，则2xy前可是“－”，也可以是“＋”，但y2前面的符号一定是：“＋”，此题总共有(－，－)、(＋，＋)、(＋，－)、(－，＋)四种情况，能构成完全平方公式的有2种，所以概率为：.
故答案为C.
【举一反三1】有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】所有的情况有：2，4，6；2，4，8；2，4，10；2，6，8；2，6，10；2，8，10；4，6，8；4，6，10；4，8，10；6，8，10，共10种，其中能构成三角形的有：4，6，8；6，8，10；4，8，10，共3种，
则P＝．
故选：B．
【举一反三2】从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从2、3、4中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是 .
【答案】
【解析】从1，2，3，4中任取一个数作为十位上的数，再从2，3，4中任取一个数作为个位上的数，共4×3=12种取法，其中4个两位数是3的倍数：12、24、33、42，故其概率为．
【举一反三3】如图，从给出的四个条件：
(1)∠3＝∠4；
(2)∠1＝∠2；
(3)∠A＝∠DCE；
(4)∠D+∠ABD＝180°．
恰能判断AB∥CD的概率是　　．
【答案】
【解析】∵恰能判断AB∥CD的有(2)，(3)，(4)，
∴恰能判断AB∥CD的概率是：．
故答案为：．
【举一反三4】不透明袋子中有红、绿小球各一个，除颜色外无其他并别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个.求下列事件的概率：
（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球；
（2）两次都摸到相同颜色的小球；
（3）两次摸到的球中一个绿球，一个红球.
【答案】解：列举摸出两个小球所能产生的全部结果，它们是：红红，绿绿，红绿，绿红.所有可能的结果共有4种，并且这4种结果的可能性相等.
（1）第一次摸出红球，第二次绿球的结果只有一种，
所以P（第一次红球，第二次绿球）=.
（2）两次都摸到相同颜色的小球，共有2种结果，红红，绿绿.
所以P（两次摸到颜色相同）==.
（3）两次摸到球中一个绿球，一个红球，共有2种结果，
所以P（两次颜色相同）==.
【题型3】三步试验概率
【典型例题】小明上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红灯、绿灯的可能性都相等．他上学经过三个路口时，不全是红灯的概率是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画树状图：
从图中可知共有8种可能，其中他上学经过三个路口时，不全是红灯的有7种，
所以不全是红灯的概率是．
【举一反三1】随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】画树状图如下：
由树状图知，共有8种等可能结果，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的有3种结果，
所以恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为，
故选：B．
【举一反三2】一个竖直放置的钉板如图所示,其中,黑色圆面表示钉板上的钉子,A1、B1、B2、…、D3、D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙,这些空隙大小均相等,从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球,圆球下落过程中,总是碰到空隙正下方的钉子,且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等,直至圆球落入下面的某个槽内,则圆球落入③号槽内的概率为　　　　.
【答案】
【解析】根据题意,画树状图如下:
由树状图可知,共有8种等可能的结果,其中圆球落入③号槽内的结果有3种,∴P(圆球落入③号槽内)=.
【举一反三3】合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，求学生B坐在2号座位且C坐3号座位的概率是____________．
【答案】
【解析】画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中学生B坐在2号座位且C坐3号座位的结果数为1，
所以学生B坐在2号座位的概率＝．
【举一反三4】现有甲、乙、丙三名学生参加学校演讲比赛，并通过抽签确定三人演讲的先后顺序．
(1)求甲第一个演讲的概率；
(2)画树状图或表格，求丙比甲先演讲的概率．
【答案】解 (1)甲第一个演讲的概率为；
(2)画树状图如图：
共有6个等可能的结果，丙比甲先演讲的结果有3个，
∴丙比甲先演讲的概率＝＝．
【题型4】用概率解决游戏公平性问题
【典型例题】教科书117页游戏1中的“抢30”游戏，规则是：第一人先说“1”或“1，2”，第二个要接着往下说一个或两个数，然后又轮到第一个，再接着往下说一个或两个数，这样两个人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但不可以连说三个数，谁先抢到30，谁就获胜．若按同样的规则改为抢“40”，其结果是(　　)
A.后报数者胜 B.先报数者胜 C.两者都可能胜 D.很难预料
【答案】B
【解析】谁先抢到37，对方无论叫“38”或“39”你都获胜．若甲同学先报数1，为抢到37，甲每次报的个数和对方合起来是三个，(37﹣1)÷3＝12，先报数者胜．
【举一反三1】甲、乙两人分别投掷一枚质地均匀的正方体骰子，规定掷出的两个骰子“和为奇数”算甲赢，否则算乙赢，这个游戏对甲乙双方(　　)
A.公平 B.对甲有利 C.对乙有利 D.无法确定
【答案】A
【解析】列表如下
由表可知，共有36种等可能结果，其中和为奇数的有18种，和为偶数的有18种结果，
∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
故这个游戏对甲乙双方是公平的，
故选：A．
【举一反三2】口袋中有10个球(每个球除颜色外都相同)，其中白球x个，红球2x个，其余为蓝球．从袋中随机摸出一个球，摸到红球则甲获胜，摸到蓝球则乙获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该等于 　　．
【答案】2
【解析】由题意知，篮球的个数与红球的个数相等，
即2x+x+2x＝10，
解得x＝2，
故答案为：2．
【举一反三3】一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出一个球，则摸出红球的概率是 　　；
(2)如果将摸出的第一个球放回搅匀再摸出第二个球，两次摸球就可能出现3种结果，即“都是红球”、“都是白球”、“一红一白”．甲乙两人玩游戏，约定若摸到“都是白球”则甲赢；若摸到“一红一白”则乙赢，问这个游戏公平吗，请说明理由．
【答案】解 (1)摸出红球的概率是，
故答案为：．
(2)画树状图如图所示：
由图可知共有9种等可能的结果，
P(两白)＝，P(一红一白)＝．
∵概率相同，
∴游戏公平．25.2用列举法求概率
【知识点1】游戏公平性 1
【知识点2】列表法与树状图法 1
【题型1】列表法或画树状图法求概率 2
【题型2】直接列举法求概率 3
【题型3】三步试验概率 4
【题型4】用概率解决游戏公平性问题 5
【知识点1】游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率=．
【知识点2】列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
【题型1】列表法或画树状图法求概率
【典型例题】如图所示的两张扑克牌除正面图案外其他完全相同，将这两张扑克牌从正中间（沿图中虚线）剪断，得到四张形状大小相同的卡片．将四张卡片洗匀后背面朝上，从中随机抽取一张，不放回，接着再随机抽取一张，则抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的概率是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】从﹣2，﹣，0，4中任取两个数，记为m，n．满足mn＞0的概率是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三3】化学实验课上，张老师带来了Mg（镁）、AI（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg、AI、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是 　 　．
【举一反三4】深圳市去年中考首次对九年级学生进行了物理，化学实验操作考试，其中化学实验操作考试有3个考题[分别记为A、B、C供学生选择，每个学生都可以从3个考题中随机抽取一个考题进行操作，如果每一个考题被抽到的机会均等，那么甲乙两个学生抽到的考题都是A的概率是　　．
【举一反三5】长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区.甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区.他们准备了3张不透明的卡片,正面分别写上长白山、松花湖、净月潭.卡片除正面景区名称不同外其余均相同,将3张卡片正面朝下洗匀,甲先从中随机抽取一张卡片,记下景区名称后正面朝下放回,洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片,请用画树状图或列表的方法,求两人都决定去长白山的概率.
画树状图如下:
【题型2】直接列举法求概率
【典型例题】在x2□2xy□y2的空格□中,分别填上“+”或“-”,在所得的代数式中,能构成完全平方式的概率是(　　)
A.1 B. C. D.
【举一反三1】有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从2、3、4中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是 .
【举一反三3】如图，从给出的四个条件：
(1)∠3＝∠4；
(2)∠1＝∠2；
(3)∠A＝∠DCE；
(4)∠D+∠ABD＝180°．
恰能判断AB∥CD的概率是　　．
【举一反三4】不透明袋子中有红、绿小球各一个，除颜色外无其他并别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个.求下列事件的概率：
（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球；
（2）两次都摸到相同颜色的小球；
（3）两次摸到的球中一个绿球，一个红球.
【题型3】三步试验概率
【典型例题】小明上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红灯、绿灯的可能性都相等．他上学经过三个路口时，不全是红灯的概率是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】一个竖直放置的钉板如图所示,其中,黑色圆面表示钉板上的钉子,A1、B1、B2、…、D3、D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙,这些空隙大小均相等,从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球,圆球下落过程中,总是碰到空隙正下方的钉子,且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等,直至圆球落入下面的某个槽内,则圆球落入③号槽内的概率为　　　　.
【举一反三3】合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，求学生B坐在2号座位且C坐3号座位的概率是____________．
【举一反三4】现有甲、乙、丙三名学生参加学校演讲比赛，并通过抽签确定三人演讲的先后顺序．
(1)求甲第一个演讲的概率；
(2)画树状图或表格，求丙比甲先演讲的概率．
【题型4】用概率解决游戏公平性问题
【典型例题】教科书117页游戏1中的“抢30”游戏，规则是：第一人先说“1”或“1，2”，第二个要接着往下说一个或两个数，然后又轮到第一个，再接着往下说一个或两个数，这样两个人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但不可以连说三个数，谁先抢到30，谁就获胜．若按同样的规则改为抢“40”，其结果是(　　)
A.后报数者胜 B.先报数者胜 C.两者都可能胜 D.很难预料
【举一反三1】甲、乙两人分别投掷一枚质地均匀的正方体骰子，规定掷出的两个骰子“和为奇数”算甲赢，否则算乙赢，这个游戏对甲乙双方(　　)
A.公平 B.对甲有利 C.对乙有利 D.无法确定
【举一反三2】口袋中有10个球(每个球除颜色外都相同)，其中白球x个，红球2x个，其余为蓝球．从袋中随机摸出一个球，摸到红球则甲获胜，摸到蓝球则乙获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该等于 　　．
【举一反三3】一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出一个球，则摸出红球的概率是 　　；
(2)如果将摸出的第一个球放回搅匀再摸出第二个球，两次摸球就可能出现3种结果，即“都是红球”、“都是白球”、“一红一白”．甲乙两人玩游戏，约定若摸到“都是白球”则甲赢；若摸到“一红一白”则乙赢，问这个游戏公平吗，请说明理由．

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