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25.3用频率估计概率
【知识点1】利用频率估计概率 1
【知识点2】模拟试验 1
【题型1】概率与统计的综合应用 1
【题型2】用频率估计概率 6
【知识点1】利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
【知识点2】模拟试验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验．
（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可．
【题型1】概率与统计的综合应用
【典型例题】某水果公司新购进10000千克柑橘，每千克柑橘的成本为9元．柑橘在运输、存储过程中会有损坏，销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如表所示：
根据表中数据，估计柑橘损坏的概率为________(结果保留小数点后一位)；由此可知，去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为_________元．
【答案】0.1 10
【解析】从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，可以把柑橘损坏的概率估计为这个常数为0.1；
根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000千克．
设每千克柑橘的销售价为x元，则应有9000x＝9×10000，
解得x＝10．
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为10元，
故答案为：0.1，10．
【举一反三1】某公司以3元/kg的成本价购进10 000 kg柑橘,并希望出售这些柑橘能够获得12 000元利润,在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时,需要先进行“柑橘损坏率”统计,再确定每千克柑橘的售价,下表是销售部通过随机取样,得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分,由此可估计柑橘的完好率为　　　　(精确到0.1);从而可估计每千克柑橘的实际售价为　　　　元时(精确到0.1),可获得12 000元利润.
【答案】0.9 4.7
【解析】从表格可以看出,柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动,并且随统计量的增加这种规律逐渐明显,所以估计柑橘的完好率是1-0.1=0.9;设每千克柑橘的售价为x元,则有10 000×0.9x-3×10 000=12 000,解得x=≈4.7,所以去掉损坏的柑橘后,该公司若要获得12 000元利润,完好柑橘每千克的售价应为4.7元.
【举一反三2】睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图．
（1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为______．
（2）请补全条形统计图．
（3）被抽取调查的E类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进
行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
【答案】解：（1）14÷28%=50（人）；360°×=144°；
故答案为：50；144°；
（2）D类的人数为50-6-14-20-4（人），
补全条形统计图，如图，
（3）画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中两人恰好是2名男生的结果有2种．
∴P（抽到2男）==．
【举一反三3】“七彩云南 欢乐世界”是云南省重点历史文化旅游项目，以“古滇文化”、“民族文化”、“地域文化”为特色．某校为让学生了解家乡，亲近自然，增强学生集体观念和团体意识，组织全校师生去往此地开展研学活动．活动结束后，该校举行了“古滇文化知识竞赛活动”，并随机抽查八、九年级各15名同学成绩进行分析，相关信息如下：
说明：八年级抽取的15名同学的竞赛成绩在14≤x＜18分数段内的具体成绩为14，16，17，16，15，16，15，16．根据以上信息，解答下列问题．
（1）a＝　 　；b＝　 　；S八2　 　S九2（填“＞”“＜”或“＝”）．由此，你认为哪个年级同学掌握有关“古滇文化”的知识更好？请说明理由．
（2）学校从“18≤x≤20”范围内随机抽取了4名学生，其中有3名男生和1名女生，若从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的2名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】解：（1）将八年级抽取的15名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第8名的成绩为16，
∴a＝16．
由九年级抽取的15名同学的竞赛成绩统计图可知，b＝19．
∵八年级成绩的方差为8，九年级成绩的方差为2，
∴S八2＞S九2．
故答案为：16；19；＞．
九年级同学掌握有关“古滇文化”的知识更好．
理由：∵九年级成绩的平均数、中位数、众数都大于八年级，且九年级成绩的方差小于八年级，
∴九年级同学掌握有关“古滇文化”的知识更好．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中所选取的2名学生恰好是一男一女的结果有6种，
∴所选取的2名学生恰好是一男一女的概率为＝．
【题型2】用频率估计概率
【典型例题】某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是(　　)
A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B.在一个装有3个红球、6个白球的箱子里(小球除颜色外都相同)，从中摸到的是红球
C.抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是5
D.抛一枚质地均匀的硬币，出现的是反面
【答案】B
【解析】A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：＝＝0.25，不符合题意；
B.在一个装有3个红球、6个白球的箱子里(小球除颜色外都相同)，从中摸到的是红球的概率为：≈0.33，符合题意；
C.抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是5的概率为：≈0.17，不符合题意；
D.抛一枚质地均匀的硬币，出现的是反面的概率为：＝0.5，不符合题意．
故选：B．
【举一反三1】在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到白色球的频率稳定在85%左右，则口袋中红色球可能有(　　)
A.34个 B.30个 C.10个 D.6个
【答案】D
【解析】∵摸到白色球的频率稳定在85%左右，
∴口袋中红色球的频率为15%，故红球的个数为40×15%＝6个．
【举一反三2】育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下数据：
则a的值最有可能是(　　)
A.3680 B.3720 C.3880 D.3960
【答案】C
【解析】∵95÷100＝0.95，486÷500＝0.972，968÷1000＝0.968，1940÷2000＝0.97，2907÷3000＝0.969，
∴可估计某品种小麦发芽情况的概率为0.97，
而3680÷4000＝0.92，3720÷4000＝0.93，3880÷4000＝0.97，3960÷4000＝0.99．
故选：C．
【举一反三3】动物学家通过大量的调查,估计某种动物活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.5,据此若设刚出生的这种动物共有a只,则20年后存活的有　　　　只,现年20岁的这种动物活到25岁的概率是　　　　.
【答案】0.8a
【解析】刚出生的这种动物共有a只,则20年后存活的有0.8a只,活到25岁的有0.5a只,故现年20岁的这种动物活到25岁的概率为.
【举一反三4】近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 　　只A种候鸟．
【答案】800
【解析】设该湿地约有x只A种候鸟，
则200：10＝x：40，
解得x＝800．
故答案为：800．
【举一反三5】在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 　 　（精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 　 　个；
（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 　 　个或减少黑球 　 　个．
【答案】解：（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；
（2）黑球的个数为50×0.6＝30个，
故答案为：30；
（3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同，
即：在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个，
故答案为：10，10．
【举一反三6】在做重复试验时，随着试验次数的增多，事件发生的频率一般会有什么变化趋势？
【答案】解：在做重复试验时，随着试验次数的增多，事件发生的频率一般会越来越接近概率．25.3用频率估计概率
【知识点1】利用频率估计概率 1
【知识点2】模拟试验 1
【题型1】概率与统计的综合应用 1
【题型2】用频率估计概率 4
【知识点1】利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
【知识点2】模拟试验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验．
（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可．
【题型1】概率与统计的综合应用
【典型例题】某水果公司新购进10000千克柑橘，每千克柑橘的成本为9元．柑橘在运输、存储过程中会有损坏，销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如表所示：
根据表中数据，估计柑橘损坏的概率为________(结果保留小数点后一位)；由此可知，去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为_________元．
【举一反三1】某公司以3元/kg的成本价购进10 000 kg柑橘,并希望出售这些柑橘能够获得12 000元利润,在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时,需要先进行“柑橘损坏率”统计,再确定每千克柑橘的售价,下表是销售部通过随机取样,得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分,由此可估计柑橘的完好率为　　　　(精确到0.1);从而可估计每千克柑橘的实际售价为　　　　元时(精确到0.1),可获得12 000元利润.
【举一反三2】睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图．
（1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为______．
（2）请补全条形统计图．
（3）被抽取调查的E类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进
行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
【举一反三3】“七彩云南 欢乐世界”是云南省重点历史文化旅游项目，以“古滇文化”、“民族文化”、“地域文化”为特色．某校为让学生了解家乡，亲近自然，增强学生集体观念和团体意识，组织全校师生去往此地开展研学活动．活动结束后，该校举行了“古滇文化知识竞赛活动”，并随机抽查八、九年级各15名同学成绩进行分析，相关信息如下：
说明：八年级抽取的15名同学的竞赛成绩在14≤x＜18分数段内的具体成绩为14，16，17，16，15，16，15，16．根据以上信息，解答下列问题．
（1）a＝　 　；b＝　 　；S八2　 　S九2（填“＞”“＜”或“＝”）．由此，你认为哪个年级同学掌握有关“古滇文化”的知识更好？请说明理由．
（2）学校从“18≤x≤20”范围内随机抽取了4名学生，其中有3名男生和1名女生，若从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的2名学生恰好是一男一女的概率．
【题型2】用频率估计概率
【典型例题】某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是(　　)
A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B.在一个装有3个红球、6个白球的箱子里(小球除颜色外都相同)，从中摸到的是红球
C.抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是5
D.抛一枚质地均匀的硬币，出现的是反面
【举一反三1】在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到白色球的频率稳定在85%左右，则口袋中红色球可能有(　　)
A.34个 B.30个 C.10个 D.6个
【举一反三2】育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下数据：
则a的值最有可能是(　　)
A.3680 B.3720 C.3880 D.3960
【举一反三3】动物学家通过大量的调查,估计某种动物活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.5,据此若设刚出生的这种动物共有a只,则20年后存活的有　　　　只,现年20岁的这种动物活到25岁的概率是　　　　.
【举一反三4】近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 　　只A种候鸟．
【举一反三5】在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 　 　（精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 　 　个；
（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 　 　个或减少黑球 　 　个．
【举一反三6】在做重复试验时，随着试验次数的增多，事件发生的频率一般会有什么变化趋势？

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