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河南省固始县高级中学第一、二中学2025届高三上学期期末联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.若集合，则( )
A. B. C. D.
4.为了得到的图象，只要将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
5.若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数满足，则( )
A. B.
C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设平面向量，，( )
A. 若，则 B. 若，则
C. ， D. ，使
10.函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于中心对称
C. 在上单调递减
D. 把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象
11.设，为椭圆的左，右焦点，直线过交椭圆于，两点，则以下说法正确的是( )
A. 的周长为定值
B. 的面积最大值为
C. 的最小值为
D. 存在直线使得的重心为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知公比不为的等比数列中，且成等差数列，则 结果用幂表示
13.将甲、乙等人安排在天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为 结果用分数表示
14.若实数，，满足，，试确定，，的大小关系是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知锐角的内角，，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若，求的周长的取值范围．
16.本小题分
已知数列的前项和为，数列为等差数列，且满足．
求数列和的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在正三棱柱中，底面的边长为，为棱上一点．
若，为的中点，求异面直线与所成角的大小；
若，设二面角、的平面角分别为、，求的最值及取到最值时点的位置．
18.本小题分
已知函数，曲线在点处的切线为．
求，的值；
若对任意的，恒成立，求正整数的最大值．
19.本小题分
已知椭圆的两焦点分别为的离心率为，椭圆上有三点，直线分别过的周长为．
求的方程；
设点，求面积的表达式用表示．
参考答案
1.
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4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由已知得，，
则根据正弦定理得，
，
为锐角三角形，．
由正弦定理得，即，
则，
，
因为，解得，得，
所以，得．

16.解：令，
令，又，所以，即所以，
，
两式相减得，，
即是公比为的等比数列，且，
所以．
解：由可得
，．
累加可得，
，
而
，
．

17.解：如图所示：
取的中点，连接，，易知，
则为异面直线与所成的角，
又，，，
由余弦定理得；
如图所示：
分别取，的中点，，连接，，，
在正三棱柱中，
易知，，又，
所以平面，又平面，
所以，则为二面角的平面角，
同理为二面角的平面角，
设，则，
所以，，
则，，
当时，即为的中点时，取得最大值，

18.由得：
由切线方程可知：
，，解得：，
由知
则时，恒成立等价于时，恒成立
令，，则．
令，则
当时，，则单调递增
， ，使得
当时，；时，

，即正整数的最大值为

19.由题意，
在椭圆中，
的周长，解得，
因为椭圆的离心率为，所以，解得，
则，
故的方程为．
由题意及证明如下，
在中，
由几何知识得，直线和直线的斜率不为零，
设直线和直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得
同理得
因为，所以，
可得即；
同理可得，
可得即，
不妨设，
由，
又
则
把代入上式得，
．

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